第十九章 几何证明（单元重点综合测试）

第十九章几何证明单元重点综合测试注意事项：本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置选择题（6小题，每小题2分，共12分）1．（2022下·上海·七年级专题练习）下列命题中，假命题是（）A．如果两边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等B．如果两边及其中一边的对角对应相等，那么这两个三角形全等C．如果两角及它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等D．如果两角及其中一角的对边对应相等，那么这两个三角形全等2．（2023上·江苏徐州·八年级统考期中）在中，的对边分别为，下列条件中，不能判断是直角三角形的是（）A． B．C． D．3．（2023上·广东湛江·八年级统考期中）如图，在中，，线段的垂直平分线交于点，的周长是，则的长为（）

A． B． C． D．4．（2020上·上海普陀·八年级统考期中）如图，在中，，为上一点，联结，点在上，过点作，，垂足分别为M、N．下面四个结论：

①如果，那么；②如果，那么；③如果，那么；④如果，那么．其中正确的有（）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．（2022上·全国·八年级专题练习）如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N，若∠BAC＝，则∠EAN的度数为（）A． B． C． D．6．（2022上·上海·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于点、．，，将沿直线翻折，点的对应点恰好落双曲线（是常数，）的图像上，则的值为（）A． B． C． D．二、填空题（12小题，每小题2分，共24分）7．（2020上·上海普陀·八年级统考期中）把命题“平行于同一直线的两直线平行”改写成“如果...，那么...”的形式：__________．8．（2023上·上海青浦·八年级校考期中）在中，，，，点D为斜边的中点，那么________．9．（2023上·上海宝山·八年级校考期中）已知直角坐标平面内的三个顶点、、的坐标分别为、、，则的形状是______．10．（2023上·上海·八年级校考阶段练习）在中，若，于，，，则__________．11．（2022上·上海·八年级上海市民办上宝中学校考期中）若线段，以线段为斜边的直角三角形的顶点C的轨迹是_______________．12．（2023上·上海静安·九年级上海市市北初级中学校考期中）如图，在中，已知，，点在边上，，把绕着点逆时针旋转（）度后，如果点恰好落在初始的边上，那么___________

13．（2023上·上海松江·九年级统考期中）如图，在中，，，点在边上，且，将绕点旋转，使点的对应点落在的边上，则的长为_____．14．（2022上·上海静安·八年级上海市市北初级中学校考期中）如图，在四边形中，为的中点，连接，延长交的延长线于点．若，则________．

15．（2020上·上海青浦·九年级校考阶段练习）如图，中，，，，，则________

16．（2019上·河南郑州·八年级郑州外国语中学校考开学考试）如图，中，平分，的中垂线交于点，交于点，连接．若，，则的度数为______．

17．（2023上·上海黄浦·九年级上海市民办立达中学校考期中）如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做“半高三角形”．这条高称为“半高”．若一个三角形既是等腰三角形又是半高三角形，且“半高”长为，则该等腰三角形底边长为___________．18．（2023下·上海浦东新·九年级校考阶段练习）两块全等的等腰直角三角板如图放置，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，当点落在直线上时，如果，那么____________．

三、解答题（9小题，共64分）19．（2021下·上海青浦·七年级校考期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∠ABC的平分线交AD于点E，EF⊥AB于点F，已知EF＝3，求ED的长．20．（2023上·上海·八年级校考阶段练习）已知：如图，在四边形中，，，，．

(1)求的度数．(2)求四边形的面积．21．（2021下·上海松江·七年级校考期中）如图，在中，已知是边的中点，过点的直线交于，交的平行线于点，，交的延长线于点，联结．(1)说明与相等的理由；(2)说明与相等的理由．22．（2021下·上海闵行·七年级校考期中）如图，点P在外，点Q在边上，按要求画图，写出作图结论，并填空．(1)过点P分别画，垂足分别是E、F．(2)连接，用尺规作线段的垂直平分线．(3)过P、Q两点分别作、的平行线交于点G；若，则______________．23．（2022下·上海闵行·七年级校考期末）如图，在中，，．点在边的延长线上，点在边上，且，连接、，延长与相交于点．

(1)试说明的理由；(2)如果平分，试说明的理由．24．（2023下·上海嘉定·八年级校考开学考试）定义：如图1，点、把线段分割成、、，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点、是线段的勾股分割点．

(1)已知点、是线段的勾股分割点，，，求的长；(2)如图2，中，，，点、在斜边上，，①求证：点、是线段的勾股分割点；②当，时，请直接写出线段的长．25．（2021上·上海·八年级校考开学考试）如图，在中，，点是边上的动点（不与点、重合），把沿过点的直线折叠，点的对应点是点，折痕为．

(1)若点恰好在边上．①如图1，当时，连接，求证：．②如图2，当，且，，求与的周长差．(2)如图3，点在边上运动时，若直线始终垂直于，的面积是否变化？请说明理由．

第十九章几何证明单元重点综合测试答案全解全析选择题（6小题，每小题2分，共12分）1．（2022下·上海·七年级专题练习）下列命题中，假命题是（）A．如果两边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等B．如果两边及其中一边的对角对应相等，那么这两个三角形全等C．如果两角及它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等D．如果两角及其中一角的对边对应相等，那么这两个三角形全等【答案】B【详解】根据全等三角形的判定定理对各选项分析论证得出正确选项．【解答】解：A．如果两边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等，符合判定定理边角边，是真命题．B．如果两边及其中一边的对角对应相等，那么这两个三角形全等．因为两边相等，其夹角不一定相等，所以两三角形不一定全等，故是假命题．C．如果两角及它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等，符合判定定理角边角，是真命题．D．如果两角及其中一角的对边对应相等，那么这两个三角形全等．两角相等，则根据三角和内角和定理可推出三个角分别相等，有一边相等，所以符合判定定理角边角，是真命题．故选：B．【点评】此题考查的是全等三角形的判定，关键是每个选项是否符合全等三角形的判定定理．2．（2023上·江苏徐州·八年级统考期中）在中，的对边分别为，下列条件中，不能判断是直角三角形的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质，勾股定理的逆定理的应用；本题利用勾股定理的逆定理判断A、D，利用等腰三角形的性质结合三角形的内角和定理判断B、C，从而可得答案．【详解】解：A．由题可得：满足勾股定理的逆定理，是直角三角形，故A选项不符合题意；B．，，∵，由三角形内角和定理得：，不是直角三角形，故B选项符合题意；C．∵，设，则，，由三角形内角和定理得：，解得：，，，是直角三角形，故C选项不符合题意；D．由题可得：满足勾股定理的逆定理，是直角三角形，故D选项不符合题意．故选B3．（2023上·广东湛江·八年级统考期中）如图，在中，，线段的垂直平分线交于点，的周长是，则的长为（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质；先根据线段垂直平分线的性质可得，再根据三角形的周长公式即可得．【详解】解：是线段的垂直平分线，，，，的周长是，，，故选：A．4．（2020上·上海普陀·八年级统考期中）如图，在中，，为上一点，联结，点在上，过点作，，垂足分别为M、N．下面四个结论：

①如果，那么；②如果，那么；③如果，那么；④如果，那么．其中正确的有（）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】①，，根据等腰三角形的性质，可证得是的角平分线，又由，，根据角平分线的性质，即可证得；②根据证明，利用全等三角形的性质和等腰三角形的性质得出；③根据等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质得出；④根据全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质得出．【详解】解：①∵，，∴，∵，，∴，故①正确；②∵，，∴，∵，∴；故②正确；③∵，，∴，∵，，∴，∴，∴；故③正确；④∵，，∵，，∴，∴，∴，∴．故④正确；故选：D．【点睛】此题考查了角平分线的性质、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．5．（2022上·全国·八年级专题练习）如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N，若∠BAC＝，则∠EAN的度数为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据三角形内角和定理可求∠B+∠C，根据垂直平分线性质，EA＝EB，NA＝NC，则∠EAB＝∠B，∠NAC＝∠C，从而可得∠BAC＝∠BAE+∠NAC－∠EAN＝∠B+∠C－∠EAN，即可得到∠EAN＝∠B+∠C－∠BAC，即可得解．【详解】解：∵∠BAC＝，∴∠B+∠C＝，∵AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N，∴EA＝EB，NA＝NC，∴∠EAB＝∠B，∠NAC＝∠C，∴∠BAC＝∠BAE+∠NAC－∠EAN＝∠B+∠C－∠EAN，∴∠EAN＝∠B+∠C－∠BAC，＝＝．故选：B．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和，线段垂直平分线的性质，角的和差关系，能得到求∠EAN的关系式是关键．6．（2022上·上海·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于点、．，，将沿直线翻折，点的对应点恰好落双曲线（是常数，）的图像上，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】过点C作CD⊥x轴，根据折叠的性质可得∠CAB=∠OAB=30°，AC=AO=4，∠ACB=AOB=90°，用含30°直角三角形的性质和勾股定理求出AD和CD的长，进而得到OD的长，即可得到点C的坐标，即可得出k的值．【详解】解：如图，过点C作CD⊥x轴，∵将△ABO沿直线AB翻折，∴∠CAB=∠OAB=30°，AC=AO=4，∠ACB=AOB=90°，∴∠CAD＝60°，∴AD＝，∴CD＝，OD＝2，∴C（－2，），∵点C恰好落在双曲线(k≠0)上，∴．故选：B．【点睛】本题主要考查了翻折的性质，含30°直角三角形的性质，勾股定理，反比例函数的解析式的求法，理解翻折的性质，求出点C的坐标是解答本题的关键．二、填空题（12小题，每小题2分，共24分）7．（2020上·上海普陀·八年级统考期中）把命题“平行于同一直线的两直线平行”改写成“如果...，那么...”的形式：__________．【答案】如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行【分析】命题由题设和结论两部分组成，通常写成“如果...，那么...”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．【详解】解：命题“平行于同一直线的两直线平行”可以改写为：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行．故答案为：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行．【点睛】任何一个命题都可以写成“如果...，那么...”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．在改写过程中，不能简单地把题设部分、结论部分分别塞在“如果”、“那么”后面，要适当增减词语，保证句子通顺而不改变原意．8．（2023上·上海青浦·八年级校考期中）在中，，，，点D为斜边的中点，那么________．【答案】【分析】本题考查了直角三角形相关知识，根据勾股定理，求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出答案，解题关键是熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．【详解】解：由勾股定理得：，∵点是的中点，∴．故答案为：．9．（2023上·上海宝山·八年级校考期中）已知直角坐标平面内的三个顶点、、的坐标分别为、、，则的形状是______．【答案】直角三角形【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，根据勾股定理求得的长，进而根据勾股定理的逆定理，即可求解．【详解】解：解：∵、、的坐标分别为、、，∴，，，∵，，∴∴是直角三角形，故答案为：直角三角形．10．（2023上·上海·八年级校考阶段练习）在中，若，于，，，则__________．【答案】8【分析】先根据直角三角形两锐角互余计算出，再根据含30度角的直角三角形的性质求解．【详解】解：如图所示，在中，，，，，，又在中，，，，故答案为：8．【点睛】本题主要考查直角三角形两锐角互余，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握含30度角的直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半．11．（2022上·上海·八年级上海市民办上宝中学校考期中）若线段，以线段为斜边的直角三角形的顶点C的轨迹是_______________．【答案】以中点为圆心，以为半径的圆【分析】根据直角三角形的性质求解即可．【详解】如图所示，直角三角形中，点D是斜边的中点，

∴，∴点C的轨迹是以中点为圆心，以为半径的圆．故答案为：以中点为圆心，以为半径的圆．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．12．（2023上·上海静安·九年级上海市市北初级中学校考期中）如图，在中，已知，，点在边上，，把绕着点逆时针旋转（）度后，如果点恰好落在初始的边上，那么___________

【答案】或【分析】根据题意，分类讨论，①当点落在边上时，得，②当点落在边上时，得；根据旋转的性质，直角三角形的性质即可求解．【详解】解：在中，已知，，∴,如图所述，

①当点落在边上时，得，∴，∴，即是等腰三角形，∴在中，；②当点落在边上时，得，在中，，，∴，∴；综上所述，的值为或，故答案为：或．【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，旋转的性质，掌握以上知识是解题的关键．13．（2023上·上海松江·九年级统考期中）如图，在中，，，点在边上，且，将绕点旋转，使点的对应点落在的边上，则的长为_____．【答案】或【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握并运用旋转的性质．【详解】解：如图，在上取一点，使，连接，作于点，∴，∵，∴，在中，，∵，，∴，在中，，当与重合时，，当与重合时，，故答案为：或．14．（2022上·上海静安·八年级上海市市北初级中学校考期中）如图，在四边形中，为的中点，连接，延长交的延长线于点．若，则________．

【答案】2【分析】根据可知，再根据是的中点可求出，利用可得，可得，，结合已知可得是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质判断出即可证得，进而即可求解．【详解】解：∵，∴，∵是的中点，∴，∵，∴，∴，，又∵，∴是线段的垂直平分线，∴，∵，∴，∵，∴，故答案为：2．【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质和全等三角形的判定，熟练掌握线段的垂直平分线的性质和全等三角形的判定方法是解题的关键．15．（2020上·上海青浦·九年级校考阶段练习）如图，中，，，，，则________

【答案】/【分析】根据勾股定理求得的长，再根据三角形的面积公式求得，然后在中利用勾股定理可求出，再求出，即可得到答案．【详解】解：在中，，，，∴，由，∴，在中，，∴,∴，故答案为：．【点睛】此题考查了直角三角形面积，勾股定理的综合应用，属于基础题，解答本题的关键是掌握利用三角形面积的表示方法求出．16．（2019上·河南郑州·八年级郑州外国语中学校考开学考试）如图，中，平分，的中垂线交于点，交于点，连接．若，，则的度数为______．

【答案】【分析】由角平分线的定义可得，由垂直平分线的性质可得，从而得到，进而得到，由三角形内角和定理进行计算即可得到答案．【详解】解：平分，，垂直平分，，，，，，，，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．17．（2023上·上海黄浦·九年级上海市民办立达中学校考期中）如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做“半高三角形”．这条高称为“半高”．若一个三角形既是等腰三角形又是半高三角形，且“半高”长为，则该等腰三角形底边长为___________．【答案】4或或．【分析】本题主要考查了三角形的高线、等腰三角形的性质，勾股定理；分三种情况讨论，分别画出图形然后根据等腰三角形的性质和半高三角形的概念以及勾股定理求解即可，解决问题的关键是掌握半高三角形的概念，注意分类讨论．【详解】解：①当高是底边上的高时，如图所示，，是边上的高，∵，，∴，∵是半高三角形，∴，∴．②当三角形是钝角三角形，且高是腰上的高时，如图所示，，是边上的高，

∵，∴，∴，∴，∴；③当三角形是锐角三角形，且高是腰上的高时，如图所示，，是边上的高，

∵“半高”长为，即，∴，∴，∴，∴，综上所述，该等腰三角形底边长为4或或．故答案为：4或或．18．（2023下·上海浦东新·九年级校考阶段练习）两块全等的等腰直角三角板如图放置，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，当点落在直线上时，如果，那么____________．

【答案】【分析】当点落在直线上时，有两种情况：第一种是点落在的延长线上，第二种是点落在的延长线上，然后画出两种情况所对应的图形，利用勾股定理求解即可．【详解】解：由题意可知，当点落在直线上时，有两种情况：第一种是点落在的延长线上，第二种是点落在的延长线上，当点落在的延长线上时，作交于点，作交于点，连接，如图：

，，，，等腰直角三角形的顶点与等腰直角三角形的斜边的中点重合，，，，，四边形为矩形，，设，则，，在中，，，解得：，；当点落在的延长线上时，延长交于点，作于点，如图，

，等腰直角三角形的顶点与等腰直角三角形的斜边的中点重合，，，，，，，设，则，，在中，，，解得：，；，故答案为：或．【点睛】本题主要考查图形的旋转，熟练掌握图形的旋转的性质、等腰直角三角形的判定及性质、勾股定理、一元二次方程的解法是解答此题的关键．三、解答题（9小题，共64分）19．（2021下·上海青浦·七年级校考期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∠ABC的平分线交AD于点E，EF⊥AB于点F，已知EF＝3，求ED的长．【答案】3【分析】先根据三线合一定理得到AD⊥BC，再由角平分线的性质即可得到ED＝EF＝3．【详解】解：∵AC＝AB，AD是中线，∴AD⊥BC，∵BE平分∠ABC，EF⊥BA，ED⊥BC，∴ED＝EF＝3．【点睛】本题主要考查了三线合一定理和角平分线的性质，熟知三线合一定理和角平分线的性质是解题的关键．20．（2023上·上海·八年级校考阶段练习）已知：如图，在四边形中，，，，．

(1)求的度数．(2)求四边形的面积．【答案】(1)(2)【分析】对于（1），连接，根据勾股定理求出及，再根据勾股定理逆定理说明是直角三角形，即可求出答案；对于（2），根据两个三角形的面积和求出答案即可．【详解】（1）连接，如图所示．∵，，∴，根据勾股定理得，在中，，∴是直角三角形，且，∴；

（2）．【点睛】本题主要考查了勾股定理及逆定理的应用，求四边形的面积，将不规则四边形转化为两个直角三角形是解题的关键．21．（2021下·上海松江·七年级校考期中）如图，在中，已知是边的中点，过点的直线交于，交的平行线于点，，交的延长线于点，联结．(1)说明与相等的理由；(2)说明与相等的理由．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）求出，证出即可；（2）根据线段垂直平分线性质得出，求出，即可得出答案．【详解】（1）解：∵D为中点，∴（中点的定义），∵（已知），∴（两直线平行，内错角相等），在和中，，∴，∴（全等三角形对应边相等）；（2）解：∵，∴，，即D是边的中点，∵，即为线段的中垂线，∴，∴（等边对等角），∴（等量代换）．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质．解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，证明三角形全等．、22．（2021下·上海闵行·七年级校考期中）如图，点P在外，点Q在边上，按要求画图，写出作图结论，并填空．(1)过点P分别画，垂足分别是E、F．(2)连接，用尺规作线段的垂直平分线．(3)过P、Q两点分别作、的平行线交于点G；若，则______________．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析；【分析】（1）先延长，然后再过点P作于点E，过点P作于点F即可；（2）分别以点P和点Q为圆心，大于为半径画弧，两弧交于两点M、N，连接即可；（3）根据要求作图，然后根据平行线的性质进行求解即可．【详解】（1）解：如图，，为所画的垂线；（2）解：如图，为所求作的直线；（3）解：如图，、为所求作的平行线；∵，，∴，∵，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了垂直平分线作图，作垂线，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本的作图方法，平行线的性质．23．（2022下·上海闵行·七年级校考期末）如图，在中，，．点在边的延长线上，点在边上，且，连接、，延长与相交于点．

(1)试说明的理由；(2)如果平分，试说明的理由．【答案】(1)理由见解析(2)理由见解析【分析】（1）利用两个三角形全等的判定定理证明即可得证；（2）由平分，，，得，再证，得，为等腰直角三角形，得，再由，，可证．【详解】（1）证明：，，，，在和中，，，；（2）证明：过点作交于点，如图所示：

平分，，，，，，在和中，，，，，，∵，，∵，为等腰直角三角形，，，，即．【点睛】本题考查了三角形全等的性质和判定，等腰直角三角形的判定与性质，掌握三角形全等的性质和判定是解题的关键．24．（2023下·上海嘉定·八年级校考开学考试）定义：如图1，点、