17.2.3 配方法解一元二次方程 同步练习

17.2.3配方法解一元二次方程（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．（2021·上海市培佳双语学校八年级期中）把方程2x2﹣3x+1＝0变形为（x+a）2＝b的形式，正确的变形是（）A．（x﹣）2＝16 B．（x﹣）2＝C．2（x﹣）2＝ D．2（x﹣）2＝162．（2021·上海·八年级期中）将一元二次方程变形为的形式，正确的是（

）A． B． C． D．3．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）一元二次方程在用配方法配成时，下面的说法正确的是（

）A．m是p的 B．m是p的一半的平方C．m是p的2倍 D．m是p的的相反数4．（2019·上海·八年级课时练习）将代数式x2+4x-1化成（x+p）2+q的形式（）A．（x-2）2+3 B．（x+2）2-4 C．（x+2）2-5 D．（x+2）2+4二、填空题5．（2021·上海市罗星中学八年级期中）一元二次方程x2﹣6x＋9＝0的实数根是__________．6．（2021·上海·八年级期中）当_________时，代数式的值等于．7．（2019·上海·复旦二附中八年级阶段练习）配方：________________．8．（2021·上海市罗南中学八年级阶段练习）______9．（2019·上海市黄兴学校八年级期中）配方：___=（x-_____10．（2018·上海浦东新·八年级期中）__________=(x-_________)2.三、解答题11．（2021·上海市奉贤区汇贤中学八年级期中）用配方法解方程：x2+6x﹣3＝0．12．（2021·上海·八年级期中）用配方法解方程：13．（2022·上海·八年级开学考试）用配方法解方程x2﹣4x﹣2＝0．14．（2022·上海徐汇·八年级期末）用配方法解方程：．15．（2022·上海·八年级期末）解方程：16．（2021·上海市罗南中学八年级阶段练习）用配方法解方程：．17．（2021·上海市建平中学西校八年级阶段练习）我们知道：对于任何实数x．①∵x2≥0，∴x2+1＞0；②∵（x﹣）2≥0，∴（x﹣）2+＞0．模仿上述方法解答：求证：（1）对于任何实数x，均有2x2+4x+3＞0；（2）不论x为何实数，多项式3x2﹣5x﹣1的值总大于2x2﹣4x﹣7的值．18．（2019·上海·八年级课时练习）阅读题：分解因式：.解：原式

.此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为配方法.此题为用配方法分解因式.请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题：在实数范围内分解因式：.【能力提升】一、填空题1．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）方程的根是___________．2．（2021·上海市泗塘中学八年级阶段练习）当x＝___二次根式有最小值，最小值为___．二、解答题3．（2020·上海市西南位育中学八年级期中）用配方法解方程：3x2＋5x﹣1＝04．（2022·上海松江·八年级期末）用配方法解方程：．5．（2022·上海浦东新·八年级期末）解方程：6．（2021·上海·八年级期中）用配方法解方程：7．（2021·上海·八年级期中）用配方法解方程：．8．（2022·上海·八年级期末）用配方法解方程：．9．（2021·上海·八年级期中）阅读材料：用配方法可以解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：因为3a2≥0，所以3a2+1就有最小值1，即3a2+1≥1，只有当a=0时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为-3a2≤0，所以-3a2+1有最大值1，即-3a2+1≤1，只有在a=0时，才能得到这个式子的最大值1．（1）当x=___时，代数式3（x+3）2+4有最小____（填写大或小）值为____．（2）当x=_____时，代数式-2x2+4x+3有最大____（填写大或小）值为____.（3）矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是16m，当花园与墙相邻的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？

17.2.3配方法解一元二次方程（解析版）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．（2021·上海市培佳双语学校八年级期中）把方程2x2﹣3x+1＝0变形为（x+a）2＝b的形式，正确的变形是（）A．（x﹣）2＝16 B．（x﹣）2＝C．2（x﹣）2＝ D．2（x﹣）2＝16【答案】B【分析】先移项，再将二次项系数化为1，最后配上一次项系数一半的平方即可．【详解】解：2x2﹣3x＝﹣1，x2﹣x＝﹣，x2﹣x+＝﹣+，即（x﹣）2＝，故选：B．【点睛】本题主要考查配方法解方程，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．2．（2021·上海·八年级期中）将一元二次方程变形为的形式，正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据一元二次方程的一般形式直接进行求解即可．【详解】解：由题意得：一元二次方程变形为一般形式为：；故选B．【点睛】本题主要考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般式是解题的关键．3．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）一元二次方程在用配方法配成时，下面的说法正确的是（

）A．m是p的 B．m是p的一半的平方C．m是p的2倍 D．m是p的的相反数【答案】A【分析】利用配方法将原方程配方即可得出结论．【详解】解：移项，得两边同时加上，得∴∴m=即m是p的故选A．【点睛】此题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式是解决此题的关键．4．（2019·上海·八年级课时练习）将代数式x2+4x-1化成（x+p）2+q的形式（）A．（x-2）2+3 B．（x+2）2-4 C．（x+2）2-5 D．（x+2）2+4【答案】C【分析】将代数式前两项结合，加上一次项系数一半的平方即加上4，后面减去4保证与原式相等．【详解】根据配方法，若二次项系数为1，则需要配一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算．x2+4x-1=x2+4x+4-4-1=（x+2）2-5，故选C．【点睛】本题考查了配方法的应用.二、填空题5．（2021·上海市罗星中学八年级期中）一元二次方程x2﹣6x＋9＝0的实数根是__________．【答案】x1＝x2＝3【分析】先把左边直接配方，得（x﹣3）2＝0，直接开平方即可．【详解】解：配方，得（x﹣3）2＝0，直接开平方，得x﹣3＝0，∴方程的解为x1＝x2＝3，故答案为：x1＝x2＝3．【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．6．（2021·上海·八年级期中）当_________时，代数式的值等于．【答案】-1或-3【分析】根据题意列出方程，，求解即可得出答案．【详解】根据题意得：，，配方得：，即，开方得：，解得：，．故答案为：-1或-3．【点睛】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．7．（2019·上海·复旦二附中八年级阶段练习）配方：________________．【答案】

【分析】由于二次项的系数为1，所给式子组成完全平方式，所以常数项是一次项系数一半的平方．【详解】所给代数式的二次项系数为，一次项系数为，等号右边正好是一个完全平方式，常数项为，．故答案为：；【点睛】本题考查了完全平方公式在配方法中的应用：若二次项的系数为1，常数项是一次项系数一半的平方．8．（2021·上海市罗南中学八年级阶段练习）______【答案】

【分析】根据完全平方公式：即可得出结论．【详解】解：故答案为：；．【点睛】此题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式是解决此题的关键．9．（2019·上海市黄兴学校八年级期中）配方：___=（x-_____【答案】

【分析】根据题意，左边应该是一个完全平方式，则左边应该填一次项一半的平方，然后得到答案.【详解】解：，∴；故答案为，.【点睛】本题考查配方法的应用，能用完全平方公式法进行因式分解的式子的特点是：两项平方项的符号相同；另一项是两底数积的2倍．10．（2018·上海浦东新·八年级期中）__________=(x-_________)2.【答案】

【分析】由于二次项的系数为1，所给式子组成完全平方式，所以常数项是一次项系数一半的平方．【详解】∵所给代数式的二次项系数为1，一次项系数为5，等号右边正好是一个完全平方式，∴常数项为（5÷2）2=，∴x2-5x+=（x-）2．【点睛】考查完全平方公式在配方法中的应用：若二次项的系数为1，常数项是一次项系数一半的平方．三、解答题11．（2021·上海市奉贤区汇贤中学八年级期中）用配方法解方程：x2+6x﹣3＝0．【答案】，．【分析】按照配方法的步骤和方法解方程即可．【详解】解：x2+6x﹣3＝0，移项得，，两边加9得，，，开方得，，，．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题关键是熟练掌握配方法解方程．12．（2021·上海·八年级期中）用配方法解方程：【答案】，【分析】移项后配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可.【详解】解：，∴原方程的解为：，【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确配方，题目是一道比较常见的题目，难度不是很大．13．（2022·上海·八年级开学考试）用配方法解方程x2﹣4x﹣2＝0．【答案】x1＝2+，x2＝2﹣【分析】根据配方法即可求解．【详解】解：x2﹣4x﹣2＝0，x2﹣4x＝2，x2﹣4x+4＝2+4，（x﹣2）2＝6，x﹣2＝±，解得x1＝2+，x2＝2﹣．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．14．（2022·上海徐汇·八年级期末）用配方法解方程：．【答案】，．【分析】利用配方法解一元二次方程即可得．【详解】解：，，，，，，即．【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．15．（2022·上海·八年级期末）解方程：【答案】x1=1+，x2=1-【分析】方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解．【详解】解：方程变形得：x2-2x=-配方得：x2-2x+1=即（x-1）2=，开方得：x-1=±，解得：x1=1+，x2=1-考点：解一元二次方程-配方法．16．（2021·上海市罗南中学八年级阶段练习）用配方法解方程：．【答案】，．【分析】利用配方法求解即可.【详解】解：，，，，，．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．17．（2021·上海市建平中学西校八年级阶段练习）我们知道：对于任何实数x．①∵x2≥0，∴x2+1＞0；②∵（x﹣）2≥0，∴（x﹣）2+＞0．模仿上述方法解答：求证：（1）对于任何实数x，均有2x2+4x+3＞0；（2）不论x为何实数，多项式3x2﹣5x﹣1的值总大于2x2﹣4x﹣7的值．【分析】（1）将代数式前两项提取2，配方后根据完全平方式为非负数，得到代数式大于等于1，即对于任何实数x，代数式2x2+4x+3的值总大于0，得证；（2）证明3x2-5x-1-（2x2-4x-7）>0即可.【详解】证明：(1)∵2x2+4x+3=2(x2+2x)+3=2(x2+2x+1)+1=2(x+1)2+1⩾1>0.2x2+4x+3>0(2)∵3x2−5x−1−(2x2−4x−7)=3x2−5x−1−2x2+4x+7=x2−x+6=(x−)2+>0，∴多项式3x2−5x−1的值总大于2x2−4x−7的值.【点睛】本题考查偶次方的非负数的性质以及配方法的应用，解题的关键是掌握偶次方的非负数的性质以及配方法的应用.18．（2019·上海·八年级课时练习）阅读题：分解因式：.解：原式

.此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为配方法.此题为用配方法分解因式.请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题：在实数范围内分解因式：.【答案】.【分析】先配方，再根据平方差公式分解即可．【详解】【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方的方法是解答本题的关键.此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，，再减去一次项系数一半的平方，使整个式子的值不变，这种变形的方法称为“配方法”．【能力提升】一、填空题1．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）方程的根是___________．【答案】【分析】根据题意得出配方得出，开方得出：，即可求解得出根．【详解】解：∵．∴配方得出，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了运用配方法求解二次方程的根的问题，难度很小，很容易做出，本题属于基础题．2．（2021·上海市泗塘中学八年级阶段练习）当x＝___二次根式有最小值，最小值为___．【答案】

-1

【分析】把配方得：，即可解决．【详解】∵∴当x=-1时，有最小值，从而有最小值，且最小值为故答案为：-1，【点睛】本题考查了配方法及求最小值，关键是配方．二、解答题3．（2020·上海市西南位育中学八年级期中）用配方法解方程：3x2＋5x﹣1＝0【答案】x1＝，x2＝【分析】结合题意，根据完全平方公式和一元二次方程的性质，通过配方，得，从而完成求解．【详解】3x2+5x﹣1＝0，3x2+5x＝1，x2+x＝∴∴x1＝，x2＝．【点睛】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握配方法求解一元二次方程的性质，从而完成求解．4．（2022·上海松江·八年级期末）用配方法解方程：．【答案】x1＝+3，x2＝﹣3．【分析】根据配方法，两边配上一次项系数一半的平方即可得到，然后利用直接开平方法求解．【详解】解：x2-2x＝4，x2-2x+5＝4+5，即（x-）2＝9，∴x-＝±3，∴x1＝+3，x2＝﹣3．【点睛】本题主要考查配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的方法与步骤是解题关键．5．（2022·上海浦东新·八年级期末）解方程：【答案】，【分析】整理成一般式后，利用配方法求解可得．【详解】．，配方，得：，开平方，得：，或，解得，所以，原方程的根为：，【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．6．（2021·上海·八年级期中）用配方法解方程：【答案】，【分析】依据配方法的基本步骤解方程即可．【详解】解：，系数化为1得：，配方得：，即：，两边同时开平方得：，即，．【点睛】本题考查配方法解一元二次方程．配方法的关键步骤在于配完全平方公式，此步需熟练掌握完全平方公式及各部分之间的关系．7．（2021·上海·八年级期中）用配方法解方程：．【答案】．【分析】利用完全平方公式进行配方解一元二次方程即可得．【详解】，，，，，，，即．【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．8．（2022·上海·八年级期末）用配方法解方程：．【答案】或【分析】根据配方法的步骤先两边都除以2，再移项，再配方，最后开方即可得出答案．【详解】原方程变形为：配方得

即或所以原方程得解为或【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，关键是能正确配方，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．9．（2021·上海·八年级期中）阅读材料：用配方法可以解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：因为3a2≥0，所以3