3.10 圆内接正多边形（A卷基础巩固） -2021-2022学年九年级数学下册同步分层练习（基础巩固＋能力拓展北师大版）（解析版）

3.10圆内接正多边形学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A卷（基础巩固）一、选择题1．若正多边形的中心角为72°，则该正多边形的边数为（）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】D【分析】根据正多边形的中心角＝，求出n即可．【详解】由题意，，∴n＝5，故选：D．【点睛】本题考查正多边形的中心角问题，熟记基本公式是解题关键．2．（2022·福建省福州九年级期末）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠CBD的度数是（）A．30° B．36° C．60° D．72°【答案】B【分析】求出正五边形的一个内角的度数，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理计算即可．【详解】解：∵正五边形ABCDE中，∴∠BCD==108°，CB=CD，∴∠CBD=∠CDB=（180°-108°）=36°，故选：B．【点睛】本题考查了正多边形和圆，求出正五边形的一个内角度数是解决问题的关键．3．（2021—2022浙江淳安九年级期中）圆内接正六边形的边长为3，则该圆的直径长为（）A．3 B．3 C．3 D．6【答案】D【分析】根据题意作出圆内接正六边形，连接OA，OB，证明是等边三角形即可得解；【详解】如图，连接OA，OB，∵圆内接正六边形的边长为3，∴，，∴是等边三角形，∴，∴该圆的直径为；故选D．【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，等边三角形的判定与性质，准确计算是解题的关键．4．正六边形的边心距为，这个正六边形的面积为（）A．12 B． C． D．【答案】B【分析】根据正六边形的特点，通过中心作边的垂线，连接半径，结合解直角三角形的有关知识解决．【详解】解：如图，连接OA、OB；过点O作OG⊥AB于点G．在Rt△AOG中，OG，∠AOG＝30°，∵OG＝OA•cos30°，∴OA2，∴这个正六边形的面积＝6S△OAB＝626．故选：B【点睛】此题主要考查正多边形和圆，根据题意画出图形，再根据正多边形的性质及锐角三角函数的定义解答即可．5．如图，正五边形内接于，点为上一点（点与点，点不重合），连接，，，垂足为，则等于（）A．72° B．54° C．36° D．64°【答案】B【分析】根据正五边形内接于，可得，再根据同弧所对的圆周角和圆心角的关系，可得，再根据三角形内角和定理即可得．【详解】解：∵正五边形内接于，∴∵与所对的弧相同∴∴=故选：B．【点睛】本题主要考查了圆内接正多边形的性质及同弧所对的圆周角和圆心角的性质，解题的关键是求出所对的圆心角．6．（2022·浙江丽水·九年级期末）如图，圆形螺帽的内接正六边形的面积为24cm2，则圆形螺帽的半径是（）A．1cm B．2cm C．2cm D．4cm【答案】D【分析】根据圆内接正六边形的性质可得△AOB是正三角形，由面积公式可求出半径．【详解】解：如图，由圆内接正六边形的性质可得△AOB是正三角形，过作于设半径为r，即OA=OB=AB=r，OM=OA•sin∠OAB=，∵圆O的内接正六边形的面积为（cm2），∴△AOB的面积为（cm2），即，，解得r=4，故选：D．【点睛】本题考查正多边形和圆，作边心距转化为直角三角形的问题是解决问题的关键．7．（2021·山东德城·九年级期末）如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P是的一点，则∠CPD的度数是（）

A．30° B．36° C．45° D．72°【答案】B【分析】连接OC，OD．求出∠COD的度数，再根据圆周角定理即可解决问题；【详解】解：如图，连接OC，OD．

∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠COD＝＝72°，∴∠CPD＝∠COD＝36°，故选：B【点睛】本题主要考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8．（2021—2022天津九年级期中）已知一个正方形外接圆的半径为R，边心距为r，则等于（）A．1：2 B． C． D．【答案】B【分析】根据题意作图，根据正弦的计算即可；【详解】解：如图所示：∵正方形的半径为R，边心距为r，∴，，又∵，∴，∴；故选B．【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，结合正切计算是解题的关键．9．（2022·黑龙江龙沙·九年级期末）如图，正六边形内接于圆，半径为4，则这个正六边形的边心距为（）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】连接，证明是等边三角形，得出即可求解．【详解】解：连接，如图所示：则，∵，∴是等边三角形，∴，∵，∴∴，故选：B．【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、垂径定理、勾股定理、等边三角形的判定与性质；熟练掌握正六边形的性质，证明三角形是等边三角形和运用垂径定理是解题的关键．二、填空题10．（2021·陕西咸阳·九年级期末）已知正五边形的外接圆直径为6，那么该正五边形外接圆的半径为_____．【答案】3【分析】根据半径是直径的一半直接写出答案即可．【详解】解：∵正五边形的外接圆直径为6，∴该正五边形外接圆的半径为6÷2＝3，故答案为：3．【点睛】本题考查了正多边形和圆的知识，知道等圆或同圆中直径是半径的2倍是解答本题的关键．11．（2022·北京丰台·九年级期末）如图，把分成相等的六段弧，依次连接各分点得到正六边形ABCDEF，如果的周长为，那么该正六边形的边长是______．【答案】6【分析】如图，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，证明△AOB、△BOC、△DOC、△EOD、△EOF、△AOF都是等边三角形，再求出圆的半径即可．【详解】解：如图，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF．∵正六边形ABCDEF，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝∠FOA＝60°，∴△AOB、△BOC、△DOC、△EOD、△EOF、△AOF都是等边三角形，∵的周长为，∴的半径为，正六边形的边长是6；【点睛】本题考查正多边形与圆的关系、等边三角形的判定和性质等知识，明确正六边形的边长和半径相等是解题的关键．12．如图所示，⊙O是△ABC的外接圆，D是弧AB上一点，连接BD，并延长至E，连接AD，若AB＝AC，∠ADE＝65°，则∠BOC＝______．

【答案】100°【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠ACB的度数，再由AB=AC可得出∠ABC的度数，根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再由圆周角定理即可得出结论．【详解】解：∵四边形ABDC内接圆⊙O，∠ADE=65°，

∵∠ACB=65°．

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=65°，

∴∠BAC=180°−65°−65°=50°．

∵∠BAC与∠BOC是同弧所对的圆周角与圆心角，

∴∠BOC=2∠BAC=100°．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．13．如图，正八边形ABCDEFGH中，∠GBF=_______________度．【答案】22.5°【分析】正八边形内接于圆，可求得GF所对的圆心角为45°，进而可求得GF所对的圆周角的度数．【详解】解：∵多边形为正八边形∴正八边形ABCDEFGH内接于圆∴GF所对的圆心角为45°∴GF所对的圆周角∠GBF为22.5°故答案为：22.5°．【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，同弧所对的圆周角与圆心角的关系，解题的关键是掌握正多边形与圆的关系．14．（2022·江苏南京·九年级期末）如图，在⊙O中，AB是⊙O的内接正六边形的一边，BC是⊙O的内接正十边形的一边，则∠ABC＝______°．

【答案】132°【分析】连接AO、BO、CO，根据AB是⊙O的内接正六边形的一边，可得，，从而得到∠ABO=60°，再由BC是⊙O的内接正十边形的一边，可得，BO=CO，从而得到，即可求解．【详解】解：如图，连接AO、BO、CO，∵AB是⊙O的内接正六边形的一边，∴，，∴，∵BC是⊙O的内接正十边形的一边，∴，BO=CO，∴，∴∠ABC=∠ABO+∠CBO=60°+72°=132°．故答案为：132°【点睛】本题主要考查了圆的内接多边形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握圆的内接多边形的性质，等腰三角形的性质是解题的关键．15．如图，若五边形是的内接正五边形，则_________，__________，__________，__________．【答案】【分析】由五边形为正五边形，可得为周角的五分之一，求出即可；由内角和定理求出五边形的内角和，根据五边形的五个内角相等，求出每一个内角，可得到，及都相等，并求出度数，再由正五边形的边长相等可得，得到为等腰三角形，由顶角的度数求出底角和的度数，再由可得出的度数．【详解】解：五边形是的内接正五边形，，又正五边形的内角和为，，，，又，，．故答案为：；；；【点睛】此题考查了正五边形的性质，圆周角定理，多边形内角和定理，等腰三角形的性质，利用了转化的思想，结合图形找出已知条件与所求角的关系是解本题的关键．16．完成下表中有关正多边形的计算：正多边形边数内角中心角半径边长边心距周长面积3416【答案】填表见解析．【分析】首先根据题意画出图形，然后利用勾股定理等知识进行逐一求解即可．【详解】解：如图（1）所示：中心角，内角∠A=60°∵，，∴，，∴，∴，∴，∴周长为：，面积为；

如图（2）所示：中心角，内角∠A=90°由题意可得△BOC和△OBE都是等腰直角三角形，∵边心距为1∴，∴边长为2，半径为，∴周长为8，面积为4；

如图（3）所示：内角为120°，中心角，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOM=30°，AM=BM，∴AO=2AM∵边心距为，∴，∵，∴，∴，∴，∴半径为2，边长为2，∴周长为12，面积，故答案为：正多边形边数内角中心角半径边长边心距周长面积3416【点睛】三、解答题17．（2021—2022山西新荣九年级阶段练习）阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务：克罗狄斯•托勒密（约90年﹣168年），是希腊数学家，天文学家，地理学家和占星家．在数学方面，他还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理，托勒密定理的内容如下：圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和．即：如图1，若四边形ABCD内接于⊙O，则有．任务：（1）材料中划横线部