导数的几何意义问题（解析版）-2022年新高考数学提分精练（新高考地区专用）

专题19导数的几何意义问题

一、单选题

1.函数.f(x)=(2e，-x)-cosx的图象在尤=0处的切线方程为()

A.x-2y+l=0B.x-y+2=0

C.x+2=0D.2x-y+l=0

【答案】B

【解析】

【分析】

求得函数的导数r(x)=(2e'-l)-cosx-(2e'-x)-sinx,求得/'(0)J(0)的值，结合直线的

点斜式方程，即可求解.

【详解】

由题意，函数/*)=(2e、-x)•cosx,nI得/'(x)=(2e、-1)•cosx-(2ev-犬)sinx,

所以广(0)=(2e°-l)-cos0-(2e°-0)-sin0=l,/(0)=(2e°-0)«cos0=2,

所以/(x)在x=0处的切线方程为y-2=x-0,即x—y+2=0.

故选：B.

2.若存在两条过点(-1,1)的直线与曲线y=2x-@相切，则实数”的取值范围为()

x

A.(-<»,-4)o(l,+oo)B.(T»,T)U(4,+OO)

C.(-0)53,+oo)D.(-8,-3)50,+(»)

【答案】C

【解析】

【分析】

设切点A(f,2r-9,则由导数的几何意义求出切线方程>=(2+])(犬-。+2/-7，再将点

(-1,1)的坐标代入化简得3『+2at+a=0,则由△>0可求出答案

【详解】

/(X)=2+4.设切点A«,2f-与，则曲线y=/(x)在点A处的切线方程为

厂t

y=(2+—)(x-r)+2r——，

tt

切线过点(-U),Bpi=(2+4)(-l-0+2r--,

tt

化简得3r+2〃+。=0，

由题意可得方程有两个不同的根，

所以And/-12a>0，"0或。>3.

故选：C

3.已知f(x)是定义在R上的函数，且函数y=/(x+l)-l是奇函数，当时，

/(x)=ln(l-2x),则曲线y=/(x)在x=2处的切线方程是()

A.y=x-4B.y=xC.y=-2x+2D.y=-2x+6

【答案】D

【解析】

【分析】

求出f(x)在(|,|)上的解析式后可求切线方程.

【详解】

令g(x)=/(x+l)T,因为g(x)为奇函数，故g(r)=—g(x),

故/(_x+l)_l=_/(x+l)+l即/(_x+l)+/(x+l)=2.

B|J/(x)=2-/(2-x),

当词时,2Tm)，

故/(2—x)=In[1—2(2—%)]=ln(2x—3),

故时，/(x)=2-ln(2x-3),

2

此时，(x)=-kJ,故/⑵=一2,而〃2)=2

2x-3

故切线方程为：y=-2x+6,

故选：D.

4.曲线/(x)=cosn+］在x=g处的切线方程为()

A.x+y-l=OB.7rx+y-7r=0

C.乃x+y-l=OD.x+y-7r=0

【答案】B

【解析】

【分析】

求得导数/'(力=fsing,求得/'(；),/(；)的值，结合直线的点斜式方程，即可求解.

【详解】

由题意，函数/(x)=cosn+],可得/'(x)=-4sin;rx,

71

可得广I

所以曲线“X）在X=g处的切线方程为y-1=5

,g|JTCX+y-K=Q.

故选:B.

5.函数〃x）=2/'（l>x+xlnx在x=l处的切线方程为（）

A.y=2x-2B.y=2x+lC.y=-x-\D.y=x—\

【答案】C

【解析】

【分析】

求出导函数/（X），从而可得了'（1），然后根据导数的儿何意义即可求解.

【详解】

解:因为尸(X)=2。'⑴+1F1X+1,所以广(1)=2/(1)+1,即/'(1)=-1,

所以"1)=2/'⑴=-2,

所以切线方程为y=_(x_i)_2=_*_i,

故选：C.

6.曲线/（工）=4*3_1在x=］处的切线倾斜角是（）

A冗21

AD.

-6-Ic棉T

【答案】B

【解析】

【分析】

计算出了'⑴的值,即可求得切线的倾斜角.

【详解】

设曲线/（幻=弓/-1在X=1处的切线倾斜角为a,

71

因为/'（x）=&2,则广⑴=有,因为04£«万,因此,a--

3

故选：B.

7.已知直线y=2x与曲线y=e'+a相切，则。的值为（)

A.2B.2(ln2+l)C.In2+1D.2(ln2-l)

【答案】D

【解析】

【分析】

设切点为(％,2%),根据导数的几何意义可得e”=2,再利用切点也在丫=廿+。」二，即可求

解.

【详解】

设切点为(毛，2%),

y'=ev

...々=川4%=6"=2,故X0=ln2

x

又2x0=e0+a,

解得a=21n2-2,

故选：D

8.若曲线〃x)=e*-x在点(为"■))处的切线方程为丫=丘+"则女+力的最大值为()

A.e—1B.1C.e+1D.e

【答案】A

【解析】

【分析】

利用导数的几何意义求出切线方程，结合题设可得"=e：T,再根据目标式构造

W=e%l-x。)

^(x)=e'(2-x)-l,利用导数求其最大值即可.

【详解】

由题设,fr(x)=ex-l,则尸(%)=e%—1,而f(x°)=e〜—%,

所以(%，/(%))处的切线方程为y=(e*-l)(x-Xo)+e&-X。，

女=e"—]

则<,故％+b=e&-l+e"(l—%)=eF(2—x0)-l,

/>=e'»(l-x0)

令g(x)=e*(2-x)-l,Pl!!g'(x)=e*(l-x),

当x<l时，g'(x)>0,即g(x)递增；当x>l时,g'(x)〈O,即g(x)递减；

所以g(x)4g(l)=e-1,故1+匕的最大值e—1.

故选：A

9.已知"x)=f+lnx在x=l处的切线倾斜角为6,则cos2。—sin2。的值为()

7

A.7B.——C.5D.-3

5

【答案】B

【解析】

【分析】

由导数的几何意义求出切线斜率得出lan6=3,再由：倍角的正余弦公式及同角三角函数的

基本关系化简求值即可.

【详解】

因为r(x)=2x+g,

所以A:=/'(l)=tan，=3,

c八.-ccos2^-sin20-2sin0cos0

所以cos20-sin20=---------------------------

1

cos『，一sin。，-2sindcos，1-tan20-2tan07

cos2。+sin2。l-i-tan2/95

故选：B

10.设曲线y=d-6近在处切线的斜率为/（左），则（）

A.</(log29)B.f23</(log29)<

(2

<f25

C./(log29)</D./(log29)</23<f

【答案】B

【解析】

【分析】

求导y'=3/-6Z,得到/（々）=3（々—1）2-3,利用二次函数的性质求解.

【详解】

因为丫=%3-6日,

所以y'=3x2-6k,贝U/(Z)=3V-6Z=3(Z-l)2-3,

所以〃。在（f,l）上递减，在（1,招>）上递增,

又因为1<23<2,=/(4),3<log29<4,

所以|</(log29)

故选：B

11.若曲线y=lnx+d+l在点（1,2）处的切线与直线依+）-1=0平行，则实数。的值为

()

A.—4B.—3C.4D.3

【答案】B

【解析】

【分析】

利用切线的斜率列方程，化简求得。的值.

【详解】

1

y=-+2x,y1=3,

X

所以-a=3,a=_3.

故选：B

12.抛物线C：x2=2py(p>0),若直线/：y=x+?与C交于4,B(左侧为4,右侧为

B)两点，则抛物线C在点A处的切线的斜率为()

A.-3B.1C.3D.-1

【答案】D

【解析】

【分析】

利用解方程组法求出点4的坐标，结合导数的几何意义进行求解即可.

【详解】

x2=2py

直线/与抛物线C方程联立，得［3〃=x=-P或x=3/，，

y=x-\■-—

I2

因为左侧为A,右侧为8,p>0,

所以A(-p,O),由/=2/?yny=J—=>y'=­x,

2Pp

所以抛物线C在点A处的切线的斜率为▲•(-P)=-1,

p

故选：D

13.抛物线C:x2=2py(p>0),直线/:y=x+称与C交于AB(左侧为A,右侧为B)两

点，若抛物线C在点A处的切线经过点N(3,~6),贝lJP=()

A.24B.12C.8D.6

【答案】D

【解析】

【分析】

直线与抛物线方程联立可求得A点坐标，利用导数可求得抛物线在点A处的切线斜率，由切

线斜率可构造方程求得P.

【详解】

x=-px=3p/

…+芟£

联立《解得：P或，9,-p,

y=~p<

犬=2P.y

12，i,|

由抛物线方程得:y=—・•・>=丁，•3e=t

2P

-6-P

2一,解得：P=6.

3+p

故选：D.

14.曲线〃x)=d-3x在点(-2,〃-2))处的切线方程为y=+"则实数b=()

A.-16B.16C.-20D.20

【答案】B

【解析】

【分析】

直接求出切线方程，即可得到答案.

【详解】

函数〃”={-3了的导数为制x)=3/-3.

所以/(_2)=(—2)3—3*(_2)=_2,/(力=3(—2)2—3=9.

所以在点(-2,f(-2))处的切线方程为y=9x+16.故b=16.

故选：B

15.已知过点P(a,l)可以作曲线y=lnx的两条切线，则实数〃的取值范围是()

A.(-co,e)B.(0,e)

C.[0,e)D.(O,e-l)

【答案】B

【解析】

【分析】

设出曲线上的切点，求出导数，得到切线的斜率，再由两点的斜率公式，结合切点满足曲线

方程，可得切点坐标的关系式，整理得到关于一个坐标变量的方程，借助于函数的最值及其

图象，即可得到“的范围.

【详解】

设曲线N=Inx与其切线交于A(x(p%)

切线方程/：y=kx+b,

由导数与切线方程斜率关系可得k=y'L*=-……①

又•.•切线过点P3D

•••要保证过点P(a,DUJ'以作曲线y=InX的两条切线，可得尸伍,1)不能在曲线y=InX上

x„wa

•,4=5②

x0-a

•••点A在曲线y=lnx上，故%=lnxO……③

1Inx-1_1

由①②③式可得:0

x0-a*oXQ—ax0

天(ln$-l)=x()-a,解得a=2x()-/•In/

令/(x)=2x-xlnx

贝！|fXx)=2-A:---ln.r=l-lnx

x

令/'(x)=0,故l-Inx=O

故当尤=e时，/,(x)=0；

当xe(O,e)时，f'(x)>0,/(x)单调递增；

当xe(e,+oo)时，f\x)<0,/(x)单调递减；

即/(x)在x=e时取得极大值，故/(*)侬=/(e)=2e-e/ne=e

得a仅在(0,e)范围内由2个对应的x值

即aw(0,e)时，有2个解，此时存在2条切线方程

综上所述，4的取值范围为(0,e)

故选：B.

16.已知直线丫=履+〃是曲线y=J7+1的切线，贝以2+〃-26的最小值为()

A.—B.0C.一D.3

24

【答案】A

【解析】

【分析】

对曲线求导，求出其在即口+1)(%20)处的切线方程，从而得到了切线中〃力的关系

^-1)=7,然后将所求&2+〃-2/，进行构造，与已知条件建立联系，再用均值不等式求

4

解最小值即可.

【详解】

设直线y="+b与曲线丫=4+1相切于点[(),后+1)520),

当/=0时，直线y=b不是曲线y=&+l的切线，故%>0,

由y=+1得V所以切线方程为y-(H+i)=£7=(x-x。),即

)所以/(万一1)=—,所以女2+£>2—2匕=/+(/>-1)2—122&(Z>—1)—1=—,

42

当且仅当氏=人一1=:即％=1时，等号成立，

2

所以％2+从一2万的最小值为

2

故选：A

17.已知函数〃x)=lnx-B，直线丁=如+〃是曲线y=〃x)的一条切线，则〃?+2〃的取值

范围是()

A.[-3,+oo)B.[-21n2-4,+oo)

(e-3]「「51

C.ID.ln2--,+ooI

【答案】B

【解析】

【分析】

先求得加+2〃表达式，再求其取值范围即可解决.

【详解】

设切点为尸(，,〃，))，r(x)=：+&，k=f()=；+5

曲线y=/(x)在切点尸(r，〃。)处的切线方程为y—/(r)=/'(r)(xT)，

整理得y=(；+5)x+lnf-,

所以相+2”=二+2In1—3—2.

rt

令g(x)=5+21nx-，-2(x>0),则8，四二2二"2

当0<x<g时，g[x)<0,g(x)单调递减；

当x>g时，g[x)>0,g(x)单调递增.故ga)*=g(g)=-21n2-4,

则〃任2〃的取值范围是[一2In2-4,+。。).

故选：B

18.若点P是曲线y=]Y-21nx上任意一点，则点P到直线y=x-3的距离的最小值为()

A.述B.延C.V2D.>/5

42

【答案】A

【解析】

【分析】

求出平行于直线V=x-3且与曲线y=]丁-2Inx相切的切点坐标，再利用点到直线的距离

公式，即可求解.

【详解】

设平行于直线y=x-3且与曲线y=；d-21nx相切的切线对应切点为P(x,y),

X

解得犬=1或》=-2;(舍去)，

故点P的坐标为

1---3厂

故点尸到直线y=x-3的最小值为：27技

&一4

故选：A.

19.设函数”外在R上存在导函数r(x),/(x)的图象在点”(1J⑴)处的切线方程为

y=gx+2,那么八1)+/[1)=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】

求出/(l)J'(l)即得解.

【详解】

解：由题得/⑴=；xl+2=|,-⑴=g，

所以/⑴+/⑴=|+；=3.

故选：C

20.过点P作抛物线C:/=4y的切线//,切点分别为M,N,若APMN的重心坐标为(3,4),

且P在抛物线八:丁=以上，则£＞的焦点坐标为()

【答案】A

【解析】

【分析】

利用导数求出切线方程，联立方程求出2(土产，竽)再由重心坐标公式的得出「(3,-3),

最后由。求出。的焦点坐标.

【详解】

设仞号)，P(x,y),由C:*2=4y可得丫=&2,>，=/

1*2][1*2]I*2

故4:y-才（x-xj,UPy=-x]x--^-@f同理4:y=~x2x--^-②

联立①②可得X=土产,y=牛，则P（美上，竽）

X.+x0X：羽XX,X]+%=6

解得%/=-12

所以122二34442

——，X1+中2=48

故P(3,-3),则。=：=3,力的焦点坐标为

故选：A

21.当a>0时，过点伍,。+方)均可以作曲线y=lnx的两条切线，则6的取值范围是()

A.(-<20,—1)B.(—oo,-l]C.(—1,+°°)D.[-1,+00)

【答案】C

【解析】

【分析】

设过点3，。+3的切线与>=In*相切于(见〃)，根>0,把题意转化为关于m的方程

〃=q+lnwj-a-l有两解.令％=。,%=g+111》-〃-1,(%>0).作出/与%的图像，有两个交

mx

点求出8>lna-a.记g(a)=lnq-a,(a>0),利用导数求出g(a)的最大值，即可求出匕>一1.

【详解】

设过点(a，a+。)的切线与y=lnx相切于加>0,

n=\nm

则有<1"一(a+b),消去〃得：l-@=ln机一(4+。).

tnm-a

因为过点(4M+份均可以作曲线y=InX的两条切线,

所以关于的方程1-@=111//!-(.+。)有两解.

m

艮|J〃=0+1口加一。一1有两解.

m

令,=瓦%=，+如x-aT，(x>。)•只需，与其有两个交点.

对于必=幺+心工_〃_1,(1>0),则y2=-4+-=-^-(-x-^).

XXXX

令必‘>。，解得：x>a;令为，<0,解得：0<x<a.

所以内在(。，0上单调递减，在(。,+8)单调递增.

作出力的草图如图所示：

要使M与约有两个交点，只需b>ln。—

记g(a)=ln〃_aM>0),g,(a}=--l=-(l-aY

aa

令g，(a)>。，解得0<a<l;令g'(a)<0,解得a>l；

所以g(〃)=lna-a在(0,1)上单调递增，在(I,")单调递增.

所以g(a)的最大值为g(l)=lnl-1=-1,

所以6>-1.

故选：C

【点睛】

导数的应用主要有：

(1)利用导函数几何意义求切线方程；

(2)利用导数研究原函数的单调性，求极值(最值)；

(3)利用导数求参数的取值范围；

(4)利用导数研究零点.

22.已知4方为正实数，直线y=x-£与曲线>=ln/x+M|相切，则上的取值范围是()

2I4-/?

A.(-8,0)B.C.[1,-KO)D.(0,1)

【答案】D

【解析】

【分析】

求函数的导数，利用导数构造函数，判断函数的单调性即可.

【详解】

解：函数y=+的导函数为二令解得x=所以切点为

I2)x+2x+22

(1-g,O)，代入y=x,，得a+Z?=2,

•••。、人为正实数，.xeeZ，

则工=A，

4一62+a

令g(a)=S，«e(O,2),贝

则函数g⑷在(0,2)上单调递增,所以0=g(0)<g(〃)<g⑵=1,即g(a)e(0,l),

4-b''

故选：D.

23.若两曲线y=lnx-l与丫=奴2存在公切线，则正实数a的取值范围是()

A.(0,2e]B.-e3,+oo^C.''D.[2e,+oo)

【答案】B

【解析】

【分析】

设公切线与曲线的切点为(马,应)，利用导数的几何意义分别求y=lnx-l和

y=af上的切线方程，由所得切线方程的相关系数相等列方程求参数关系，进而构造函数

并利用导数研究单调性求参数范围.

【详解】

设公切线与曲线N=lnx-1和y=a?的交点分别为(5,inX[一1),(々,竭)，其中芭>0,

对于y=lnx-l有y=L则y=lnx-l上的切线方程为=即

Xx\

y

y=一+(lnX|-2),

对于y=有y'=2ax,则y=上的切线方程为y-泥=2办2(*一七)，即丁=2奴2%一〃石，

1

—=231lee/、

所以T1",有一五点=In石一2,即“=2e一%lnX](M>0),

1nxi-2=-渥

令g(x)=2x2-x2Inx,g'(x)=3x-2xlnx=x(3-21nx),

令g«%)=0，得x=£，

<3、

当xe0,一时,g«x)>0,g(x)单调递增,

\/

/3\

当xee2,+oo时，g«x)<：0,g(x)单调递减，

(3\J11]

所以g(x)a=ge2=-e3,ao<—<-e\BPa>-e-\

IJ24a22

故选：B.

【点睛】

关键点点睛：应用导数几何意义求两条曲线的含参切线方程，由公切线对应系数相等得到相

关参数方程，进而构造函数研究单调性求参数范围.

24.下列直线中，既不是曲线G：y=e'的切线，也不是曲线G：y=lnx的切线的是()

A.y=x+iB.y=x~1c.尸低D.y=e(x-2)

【答案】D

【解析】

【分析】

根据切线的斜率为1或e进行分析，从而确定正确选项.

【详解】

对于曲线C-y=e',

若e*=l,贝1]x=0,y=l,切线方程为y—l=lx(x—0),y=x+l,A选项正确.

若e*=e,则x=l,y=e,切线方程为y-e=e(x-l),y=er,C选项正确.

对于曲线G，y=--

X

若』=1,则x=l,y=0,切线方程为产x-1,B选项正确.

X

若1=e,则x=Ly=ln2=-l,切线方程为y+l=e(x-』],y=ex-2,D选项错误.

xee\ey

故选：D

25.已知曲线y=lnx在》=一处的切线为/，点M（-lJ）到切线/的距离为乩则d的最大值

为（）

1+e_

A.1B.2C."、、D.0

【答案】D

【解析】

【分析】

由y=lnx求导，由导数的几何意义求得切线/的方程，然后利用点到直线的距离公式得到

</=4==,最后利用基本不等式求HI"的最大值.

Ve2,+1

【详解】

对y=lnx求导，得；/=',

X

所以切线/的斜率为e-,

又乂z=[ne，=f，

所以切线/的方程为yT=e[x—e'）,即x—e'y+Q—l）e'=0,

当且仅当f=0时取等号，

故〃的最大值为收.

故选：D.

26.将曲线6：“=2（》>0）上所有点的横坐标不变，纵坐标缩小为原来的得到曲线G，

则C,上到直线x+16y+2=0距离最短的点坐标为（）

A.（&JB.词C.屋）D.（4,1]

【答案】B

【解析】

【分析】

先利用函数图象的变换得到曲线G对应函数，将曲线G上点到直线x+16y+2=0的最短距

离转化为曲线G在某点处的切线和所给直线平行，再利用导数的几何意义进行求解.

【详解】

2

将个=2化为y=一，

则将曲线G上所有点的横坐标不变，纵坐标缩小为原来的；，

2）

得到曲线C,:2y=*,即C,:y=—（x>0）,

xx

要使曲线C?上的点到直线x+16y+2=0的距离最短，

只需曲线<^2上在该点处的切线和直线x+16y+2=0平行，

设曲线G上该点为PS-），

a

因为丫'=-3,且x+16y+2=0的斜率为一二，

x16

所以--y=—^,解得。=4或。=-4（舍），

a216

即该点坐标为「（4，!）.

4

故选：B.

27.已知函数/（力=-丁+3左，则过点（-3,-9）可作曲线y=/（x）的切线的条数为（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】

设切点为+3”）,根据导数的几何意义求得在切点+3。）处的切线方程，再将

（-3,-9）代入，求得。的值，即可得解.

【详解】

解：因为〃x）=—d+3x,所以/'（X）=-3X2+3,

设切点为（。,一/+3。）,

所以在切点（4-。3+3”）处的切线方程为y=-3（/_l）（x-4）-a3+3a,

又（一3,—9）在切线上，所以一9=-3（/-1）（-3-。）一。3+3〃，

即-9=3（/-1）.（3+4）_/+34,

整理得2a3+9〃=0,解得q=（）或的=-］，

所以过点（-3,-9）可作曲线y=f（x）的切线的条数为2.

故选：C.

28.已知x>0,yeR,(x-y)2+(x2-lnx+2-y，的最小值为()

A.&B.2C.迪D.—

33

【答案】B

【解析】

【分析】

设A(x,x2-lnx+2)是函数f(x)=/-lnx+2图象上的点，B(y,y)是函数尸*上的点，把

(x-y)2+(V-lnx+2-y)2看成利用几何法判断出当与直线平行旦与/(©的图

象相切时.，切点到直线歹=犬的距离为IA8I的最小值，即可求解.

【详解】

(x-y)2+(x2-lnx+2-疔可以转化为：A(x,x?-lnx+2)是函数/(x)=f-lnx+2图象上的

点，B(y,y)是函数y=x上的点，IAB|2=(x-y)2+(x2-lnx+2-)；)2.

当与直线y=X平行且与fM的图象相切时，切点到直线y=X的距离为IAB|的最小值.

令尸(x)=2x-g=l,解得》=1或工=_；,(舍去)，又/(1)=3,

所以切点C(l,3)到直线V=x的距离即为IA81的最小值.

所以|42舄=崂=也，所以IAB0=2.

故选：B.

【点睛】

方法点睛：

距离的计算方法有两类：

(1)几何法：利用几何图形求最值；

(2)代数法：把距离表示为函数，利用函数求最值.

29.已知*<0,直线y=%(x-2)与曲线y=x-21nx相切，则()

A.—B.—1C.—2D.一e

2

【答案】B

【解析】

【分析】

因为直线y=&(x-2)与曲线y=x-21nx相切，则可设切点为(如%-21叽)，求出在切点处

的切线方程等同于直线卜=%(犬-2),即切线方程过点(2,0),代入切线方程求出％,从而求

出&值.

【详解】

因为直线y=/(x-2)与曲线y=x-21nr相切，所以设切点为(不，为-21叫)，

2

则)'1=1一一=k,因为女<0,所以0</<2,

“0

(2、

则切线方程为：了一/+21-=1(x-x0),因为过点(2,0),代入可得：

kxo7

2XQ-2-x0Inx0=0.

令〃x)=2x-2-xlnx(O<x<2),则/(x)=l-lnx>0在(0,2)上恒成立，所以f(x)在(0,2)

上单调递增，且f(l)=0,所以切点为(1,1),则后=l-j=T.

故选：B.

30.若仅存在一条直线与函数/(x)="lnx(。>0)和g(x)=—的图象均相切，则实数。=

()

A.eB.人C.2eD.2品

【答案】C

【解析】

【分析】

分别求出函数/(x)上切点(w，aln&)处的切线方程和g(x)上切点[谪)处的切线方程，消

去玉，得。=4x；-4/In%,该问题转化为々有唯一的值时，求。值，即可通过导数研究函

数〃仁)=4后-4石Inx2的单调性即可得到答案.

【详解】

设直线与g(x)=/的切点为(芯片),

由g，(x)=2x可知，该直线的斜率为2X，即该直线的方程为y-X=2x/x-x),

即为y=2*x-x：,

设直线与/(x)=alnx的切点为(w,alnw),

由f'(x)=3可知，该直线的斜率为色，即该直线的方程为y-"lnx2=q(x-X2),

X工2*2

即为y=£-x+a(lnx2-l),

“2

・・•仅存在一条直线与函数/(x)=〃lnx(。>0)和g(x)=f的图象均相切，

a

2x}=—

S%,/.即a=4彩一Inx2,

a[]nx2-1)=-xf

令〃（W）二4只一4工;In%2，则"（W）=8w—8X2ln%2-4x2=4x2（1-21nx2）,

当4々。一21n&）＞0时，即0＜W＜五，当49（1—21n%）＜0时，即五＜七，

即人（々）在（0,五）上单调递增，在（五,+8）匕单调递减，则/?（々）在》=五处取得最大值,

/?(\/^)=4e-4exg=2e,图像为

・••切线只有一条，即巧的值唯一，，只有a=2e,

故选：C.

31.已知〃x）=/?ie*-2d,曲线y=/（x）在不同的三点（石"（再）），（乙（七,，（%3））

处的切线均平行于x轴，则根的取值范围是（）

A.倍收）B.（。可C.仔,+。D.（0,邕

【答案】D

【解析】

【分析】

由f'（x）=〃炉-6f=0得〃?="，令g"）="，求导分析单调性与极值，依题意得

ee

机=6吟r~有三个不同解，即可求解.

e

【详解】

由fr^=fnex-6x2=0得机=^-

令g(x)=竽，则g'(x)=l^”

当x<0或x>2时g'(x)<0,当0cx<2时g'(x)>0,

所以g（x）在（①，0）和⑵y）上单调递减，在（0,2）上单调递增,

R.g(0)=0,g(2)=-；

因为曲线y=/（x）在不同的三点。/&））,（孙〃培,卜3，〃W））处的切线均平行于X

轴

所以,〃=竽有三个不同解，故机

故选：D

32.若函数丫=加与y=lnx存在两条公切线，则实数。的取值范围是()

A-(0B.(嗓)C.[*)D.C

【答案】D

【解析】

【分析】

设切线与曲线y=lnx相切于点(f』nf),利用导数写出曲线y=lnx在点(f,Inf)处的切线方程,

将切线方程与函数y=a%2的解析式联立，由△=()可得出直线y=J-与曲线

有两个交点，利用导数分析函数g(r)的单调性与极值，数形结合可得出关于实数。的不等式,

由此可解得实数。的取值范围.

【详解】

设切线与曲线V=In尤相切于点亿In。，对函数y=Inx求导得y，=1,

所以，曲线y=lnx在点处的切线方程为=即y=；x+ln/-l,

联立<1可得ar?--x+1-lnr=0,

y=-x+\nt-\t

由题意可得a工0且△=方一4。(1一In。=。，可得一厂Inf,

令g(r)=*-/in/,其中，>0,510^(r)=2r-(2/lnr+r)=/(l-21nr).

当0</<6时,g'⑺>0,此时函数g⑺单调递增,

当f>6时，g'(f)<0,此时函数g(f)单调递减，所以，g(/)a=g(五)=]•

且当0<t<e时，g(，)>0,当时，g(f)<0,如下图所示:

由题意可知，直线y=」-与曲线y=g(t)有两个交点，则0<；<：,解得

4a4a22e

故选：D.

33.若过点(。,加可以作曲线>=lnx的两条切线，则()

A.a<InB.b<lnaC.lnt><aD.\na<b

【答案】D

【解析】

【分析】

设切点坐标为(%，%),由切点坐标求出切线方程，代入坐标(。,力，关于与的方程有两个不

同的实数解，变形后转化为直线与函数(构造新函数)图象有两个交点，由导数确定函数的

性质后可得.

【详解】

设切点坐标为(%,%),由于y'=1，

X

因此切线方程为y-Inx0=—(x-x0),又切线过点(a,b),

X。

,..ci—xa...a

贝—=-----,/?-I-1=Inx0+—,

x。

设f(x)=lnx+@,函数定义域是(0,+8),

X

则直线y="l与曲线f(x)=lnx+g有两个不同的交点,

X

Jx.,^/)。，

XX'x~

当aMO时，/'(x)>0恒成立，/(X)在定义域内单调递增，不合题意;

当a〉0时，0<x<a时.r(x)<0,〃x)单调递减，

。时，f'(x)>0,/(x)单调递增，所以/(x)1nhi=/(a)=lna+1,

由题意知〃+1〉Inq+l,即b>ln。.

故选：D.

34.已知函数/(x)=-d+3x,P为曲线y=/(x)在点(2J(2))处的切线上的一个动点，Q

为圆C:(x-3y+(y—1『=看上的一个动点，则|PQ|的最小值为()

.8屈D7短06痘c5屈

41414141

【答案】D

【解析】

【分析】

利用导数求得曲线y=/(x)在点(2,/(2))处的切线方程，求得圆c的圆心到切线的距离，III

此求得|尸0的最小值.

【详解】

因为〃x)=-/+3x,所以〃2)=-2,r(x)=-3x2+3,/'(2)=-9,

所以曲线y=/(x)在点(2"(2))处的切线方程为y+2=-9(x-2),即9x+y-16=0.

圆C的圆心坐标为(3,1),故圆心到直线9x+y-16=0的距离为⑹%丁=羞=噜^,

所以归。的最小值为返-返=返.

414141

故选：D

35.动直线/分别与直线y=2x-l,曲线y=》2-]nx相交于AB两点，则|4目的最小值为

A.@B.好C.1D.75

1()5

【答案】A

【解析】

【分析】

当点8处的切线和直线y=2x-l平行时，|AB|的值最小，结合导数和解析式求得点8,再由

点到直线距离公式即可求解.

【详解】

设点A是直线y=2x-1上任意一点，点B是曲线y=]x2-inx上任意一点，当点B处的切线

和直线y=2x-l平行时，这两条平行线间的距离的值最小，

因为直线y=2x-]的斜率等于2，

曲线y=3一如％的导数/，=3“一1」令V=2,

2x

可得x=l或x=-g(舍去)，故此时点B的坐标为(I,AM2-1--

2一直，

一10

故选：A.

36.若直线y=改+6与曲线y=相切，则〃+方的最大值为()

A.—1B.e+1C.，D.€—\

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意，设切点为(加，"-加)，进而求出y=d-》的导数，可得切线的斜率d”-l=a,从

而得出利=ln(a+l),再由切点：(加,""-加)也在切线方程上，并化简得出

6=(a+l)[l-ln(a+l)],从而得出a+6=4+(“+1)口—皿。+1)],通过构造函数g(a)并利

用导数研究函数的单调性和最值，从而可求出a+6的最大值.

【详解】

解:设直线y=与曲线y=e*_x相切于点

y=e'-x,y'=ex-\,

可得切线的斜率为e"—1=a,则e"="+l,所以，〃=ln(a+l),

乂切点也在直线y=匕则<7〃?+Z?=e"'-〃z,

:.b=e"'-m-arn=a+l-(a+l)ln(“+1)=(a+l)[l-ln(a+l)],

.,.d+i>=a+(a+l)[l-In(a+l)],

设g(a)=a+(a+l)[l-ln(a+l)],a>-l,

.-.g,(«)=l-ln(a+l),

当时，g'(a)>0,g(“)单调递增，

当a>e-l时，g,(a)<0,g(a)单调递减,

可得g(a)的最大值为g(e-l)=e-1,

即a+方的最大值为e-1.

故选：D.

37.已知,“x)=xlnx,若过一点(，〃,")可以作出该函数的两条切线，则下列选项一定成立

的是()

2

A.n<m\nmB.n>m\nmC.—e<w<0D.m<\