第二章　一元二次函数、方程和不等式 A课时学习区（ 一遍过·数学必修第一册RJA）（已核）

第二章一元二次函数、方程和不等式数学·必修第一册·RJA第一节等式性质与不等式性质1.(多选)下面列出的几种不等关系中,正确的为(

)A.x与2的和是非负数,可表示为“x+2>0”B.小明的身高为x,小华的身高为y,则小明比小华矮可表示为“x>y”C.△ABC的两边之和大于第三边,记三边分别为a,b,c,则可表示为“a+b>c且a+c>b且b+c>a”D.若某天的最低温度为7℃,最高温度为13℃,则这天的温度t可表示为“7℃≤t≤13℃”知识点1用不等式(组)表示不等关系答案1.CD

【解析】

对于A,x与2的和是非负数,应表示为“x+2≥0”,故A错误;对于B,小明比小华矮,应表示为“x<y”,故B错误;C,D正确.故选CD.

知识点1用不等式(组)表示不等关系答案

3.[2019天津南开中学高二(上)月考]某蛋糕师制作A,B两种蛋糕,原材料中面粉、黄油、牛奶的需求量如下:制作一个A种蛋糕需要面粉150g,黄油100g,牛奶50mL;制作一个B种蛋糕需要面粉200g,黄油140g,牛奶70mL.现有面粉1000g,黄油600g,牛奶350mL.若分别制作x个A种蛋糕,y个B种蛋糕.试列出x,y满足的不等式组.知识点1用不等式(组)表示不等关系答案

4.已知a>b>c,且a+b+c=0,则下列不等式恒成立的是(

)A.ab>bc

B.ac>bcC.ab>ac

D.a|b|>|b|c知识点2不等式的基本性质答案4.C

【解析】

因为a>b>c,且a+b+c=0,所以a>0,c<0,所以ab>ac.

知识点2不等式的基本性质答案

知识点2不等式的基本性质答案

知识点2不等式的基本性质答案

8.若-1<a+b<3,2<a-b<4,求2a+3b的取值范围.知识点2不等式的基本性质答案

9.[2019北京海淀区模考]已知a∈R,p=(a-1)(a-3),q=(a-2)2,则p与q的大小关系为(

)A.p>q

B.p≥q

C.p<q

D.p≤q知识点3比较大小答案9.C

【解析】

p-q=(a-1)(a-3)-(a-2)2=a2-4a+3-(a2-4a+4)=-1<0,所以p<q,故选C.

知识点3比较大小答案

知识点3比较大小答案

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知识点3比较大小知识点3比较大小答案

1.若a,b均为不等于零的实数,p:对任意的-1<x<0,ax+b>0恒成立;q:2b-a>0,则p是q的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件答案

2.已知0<a1<1,0<a2<1,记M=a1a2,N=a1+a2-1,则(

)A.M<NB.M>N

C.M=ND.M,N的大小关系与a1,a2的取值有关答案2.B【解析】

∵0<a1<1,0<a2<1,∴-1<a1-1<0,-1<a2-1<0,∴M-N=a1a2-(a1+a2-1)=a1a2-a1-a2+1=a1(a2-1)-(a2-1)=(a1-1)(a2-1)>0,∴M>N,故选B.3.[2020浙江绍一中高一(下)模考]已知实数x,y满足-4≤x-y≤-1,-1≤4x-y≤5,则z=9x-y的取值范围是(

)A.{z|-7≤z≤26} B.{z|-1≤z≤20}C.{z|4≤z≤15} D.{z|1≤z≤15}答案

答案

答案

答案

答案

7.[2019河北石家庄二中模考]甲、乙是同班同学,且住在同一小区,两人同时从小区出发去学校,甲一半路程步行,一半路程跑步;乙一半时间步行,一半时间跑步.如果两人步行速度、跑步速度均相同,且跑步速度大于步行速度,试判断两人谁先到学校.答案

第二节

基本不等式

知识点1利用基本不等式比较大小答案

知识点1利用基本不等式比较大小答案

知识点1利用基本不等式比较大小答案

知识点2利用基本不等式求最值答案

知识点2利用基本不等式求最值答案

知识点2利用基本不等式求最值答案

7.已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0.求:(1)xy的最小值;(2)x+y的最小值.知识点2利用基本不等式求最值答案

知识点2利用基本不等式求最值答案

知识点2利用基本不等式求最值答案

【归纳总结】

利用基本不等式求最值时,要观察题中代数式的形式,若不能直接利用基本不等式,则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等,使之达到能利用基本不等式的条件.

知识点3利用基本不等式证明不等式答案

知识点3利用基本不等式证明不等式答案

知识点4基本不等式的实际应用答案

12.某房地产开发公司计划在一小区内建造一个长方形公园ABCD,公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园的人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000m2,人行道的宽分别为4m和10m(如图所示).

(1)若设休闲区的长A1B1和宽B1C1的比值为x(x>1),求公园ABCD所占面积y(单位:m2)关于x的表达式;(2)要使公园ABCD所占面积最小,休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计?知识点4基本不等式的实际应用知识点4基本不等式的实际应用答案

13.[2019辽宁大连高一期末考试]某校食堂需定期购买大米.已知该食堂每天需用大米0.6t,每吨大米的价格为6000元,计划x天购买一次大米.若大米的保管费用z(单位:元)与x的关系为z=9x(x+1)(x∈N*),每次购买大米需支付其他固定费用900元.问:该食堂多少天购买一次大米,才能使平均每天所支付的总费用最少?知识点4基本不等式的实际应用答案

知识点4基本不等式的实际应用答案

答案

2.[2019云南昆三中期中考试]将一根铁丝切割成三段,做一个面积为2m2、形状为直角三角形的框架,在下列四种长度的铁丝中,选用最合理(够用且浪费最少)的是(

)A.6.5m B.6.8m C.7m D.7.2m答案

答案

答案

答案

答案

答案

8.某书商为提高某套丛书的销量,准备举办一场展销会.据市场调查,当每套丛书的售价定为x元时,销售量为(15-0.1x)万套.现出版社为配合该书商的活动,将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分,其中固定价格为30元,浮动价格(单位:元)与销售量(单位:万套)成反比,比例系数为10.假设不计其他成本,即销售每套丛书的利润=每套丛书的售价-每套丛书的供货价格.求:(1)每套丛书的售价定为100元时,书商能获得的总利润是多少万元?(2)每套丛书的售价定为多少元时,单套丛书的利润最大?答案

答案

第三节

二次函数与一元二次方程、不等式

知识点1不含参数的一元二次不等式的解法答案

知识点1不含参数的一元二次不等式的解法答案2.C

【解析】

分析知应使-x2-x>0,即x2+x<0,所以-1<x<0.3.在R上定义运算☉:a☉b=ab+2a+b,则满足x☉(x-2)>0的实数x的取值范围为(

)A.{x|0<x<2} B.{x|-2<x<1}C.{x|x<-2或x>1} D.{x|-1<x<2}知识点1不含参数的一元二次不等式的解法答案3.C

【解析】

∵x☉(x-2)=x(x-2)+2x+x-2=x2+x-2>0,∴(x+2)(x-1)>0,∴x<-2或x>1.故选C.4.解下列不等式:(1)6-2x≤x2-3x<18;(2)x2-3|x|+2>0.知识点1不含参数的一元二次不等式的解法答案

知识点1不含参数的一元二次不等式的解法答案

5.[2020山东青岛二中高一(上)月考]关于x的不等式x2-ax-6a2<0(a<0)的解集为(

)A.{x|x<2a或x>-3a}B.{x|2a<x<-3a}C.{x|x<3a或x>2a}D.{x|3a<x<-2a}知识点2含参数的一元二次不等式的解法答案5.D

【解析】

不等式x2-ax-6a2<0可化为(x-3a)(x+2a)<0.∵a<0,∴3a<x<-2a,故选D.

知识点2含参数的一元二次不等式的解法答案

7.解关于x的不等式(a+1)x2-(2a+3)x+2<0.知识点2含参数的一元二次不等式的解法答案

知识点2含参数的一元二次不等式的解法答案

【名师点睛】

解形如ax2+bx+c<0的不等式时,应分二次项系数等于0、大于0、小于0三种情况讨论.二次项系数等于0时,转变成一元一次不等式来解;二次项系数大于0或小于0时,结合二次函数的图象来解,当不等式对应的一元二次方程的两根含有字母时,应讨论两根的大小.

知识点3一元二次不等式与一元二次方程的关系答案

知识点3一元二次不等式与一元二次方程的关系答案

【名师点睛】

本题考查的知识点是一元二次不等式的解法,及一元二次不等式的解集与一元二次方程的根之间的关系,其中利用根与系数的关系式求出a,b的值是解答本题的关键.10.若关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-3<x<4},求关于x的不等式bx2+2ax-c-3b<0的解集.知识点3一元二次不等式与一元二次方程的关系答案

11.[2020浙江杭州学军中学高一月考]已知不等式x2-2x+5≥a2-3a对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为(

)A.{a|-1≤a≤4}B.{a|a≤-2或a≥5}C.{a|a≤-1或a≥4}D.{a|-2≤a≤5}知识点4与一元二次不等式有关的恒成立问题答案11.A

【解析】

方法一

x2-2x+5=(x-1)2+4的最小值为4,所以要使x2-2x+5≥a2-3a对任意实数x恒成立,只需a2-3a≤4,解得-1≤a≤4,故选A.方法二

不等式x2-2x+5≥a2-3a对任意实数x恒成立等价于不等式x2-2x+5-a2+3a≥0对任意实数x恒成立,所以关于x的方程x2-2x+5-a2+3a=0的判别式Δ=(-2)2-4×(5-a2+3a)≤0,解得-1≤a≤4,故选A.12.若关于x的不等式kx2-6kx+k+8≥0在R上恒成立,则实数k的取值范围是

.

知识点4与一元二次不等式有关的恒成立问题答案

13.[2019湖北宜城一中高一期中考试]若∀1≤x≤4,不等式x2-(a+2)x+4≥-a-1恒成立,求实数a的取值范围.知识点4与一元二次不等式有关的恒成立问题答案

14.一服装厂生产某种风衣,日产量为x(x∈N)件时,售价为p元/件,每天的总成本为R元,且p=160-2x,R=500+30x,要使获得的日利润不少于1300元,则x的取值范围为(

)A.{x∈N|20<x<45}B.{x∈N|0<x≤45}C.{x∈N|0<x≤20}D.{x∈N|20≤x≤45}知识点5一元二次不等式的实际应用答案14.D

【解析】

由题意设日利润为y元,则y=(160-2x)·x-(500+30x)=-2x2+130x-500,由y≥1300,解得20≤x≤45,即x的取值范围为{x∈N|20≤x≤45}.故选D.15.假设国家计划收购mkg某种农副产品,收购价格是每千克12元,其中征税标准是每100元征税8元(称为税率是8%),为了减轻农民负担,国家决定将税率降低x百分点,预计收购量可增加2x百分点,要使此项税收在税率降低后不低于原计划的78%,试确定实数x的取值范围.知识点5一元二次不等式的实际应用答案15.【解析】

税率降低后是(8-x)%,收购量为m(1+2x%)kg,税率降低后的税收为12m(1+2x%)[(8-x)%]元,原来的税收为12m×8%元.根据题意,可得12m(1+2x%)[(8-x)%]≥12m×8%×78%,即x2+42x-88≤0,解得-44≤x≤2.又x>0,∴0<x≤2,∴实数x的取值范围是{x|0<x≤2}.1.(多选)[2020江苏常州市第一中学高一期末考试]对于给定的实数a,关于x的一元二次不等式a(x-a)(x+1)>0的解集可能为(

)A.∅

B.{x|-1<x<a}C.{x|a<x<-1} D.{x|x<-1或x>a}答案1.ABCD

【解析】

易知a≠0.当a>0时,函数y=a(x-a)(x+1)的图象开口向上,故不等式的解集为{x|x<-1或x>a}.当a<0时,函数y=a(x-a)(x+1)的图象开口向下,若a=-1,不等式的解集为⌀;若-1<a<0,不等式的解集为{x|-1<x<a};若a<-1,不等式的解集为{x|a<x<-1}.故选ABCD.2.若关于x的不等式-x2+mx-1≥0有解,则实数m的取值范围是(

)A.{m|m≤-2或m≥2}B.{m|-2≤m≤2}C.{m|m<-2或m>2}D.{m|-2<m<2}答案2.A

【解析】

因为关于x的不等式-x2+mx-1≥0有解,所以Δ=m2-4≥0,解得m≥2或m≤-2.3.[2019广东韶关高二(上)期中考试]若关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0的解集中恰有两个整数,则实数a的取值范围是

(

)A.{a|3<a<4} B.{a|-2<a<-1或3<a<4}C.{a|3<a≤4} D.{a|-2≤a<-1或3<a≤4}答案3.D

【解析】

由题意,得原不等式可转化为(x-1)(x-a)<0.当a>1时,解得1<x<a,此时解集中的整数为2,3,则3<a≤4;当a<1时,解得a<x<1,此时解集中的整数为0,-1,则-2≤a<-1.当a=1时,不符合题意.故实数a的取值范围是{a|-2≤a<-1或3<a≤4},故选D.

答案

5.某地每年销售木材约2×105m3,销售价格为2.4×103元/m3,为了减少木材消耗,决定按销售收入的t%征收木材税,这样每年的木材销售量减少2.5t×104m3.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于9×106元,则实数t的取值范围应该为(

)A.{t|1≤t≤3} B.{t|3≤t≤5}C.{t|2≤t≤4} D.{t|4≤t≤6}答案5.B

【解析】

设按销售收入的t%对木材征税时,税金收入为y元,则y=2.4×103×(2×105-2.5t×104)×t%=6(8t-t2)×105.令y≥9×106,即6(8t-t2)×105≥9×106,解得3≤t≤5.

答案

答案

8.某建筑工地决定建造一批简易房(房型为长方体,房高为2.5m),前后墙用2.5m高的彩色钢板,两侧用2.5m高的复合钢板,两种钢板的价格都用长度来计算(钢板的高均为2.5m,用钢板的长度乘以单价就是这块钢板的价格),每米售价:彩色钢板为450元,复合钢板为200元.房顶用其他材料建造,每平方米的材料费为200元,每套房的材料费控制在32000元以内.设房前后墙的长均为xm,两侧墙的长均为ym,每套房所用材料费为P元.(1)试用x,y表示P.(2)当前面墙的长度为多少时,简易房的占地面积最大?并求出最大面积.答案

易错疑难集训集训

易错点1不等式的基本性质应用不当致错答案

易错点1不等式的基本性质应用不当致错答案

3.下列说法中正确的个数为(

)①若a>|b|,则a2>b2;②若a>b,c>d,则a-c>b-d;③若a>b,c>d,则ac>bd.A.1 B.2

C.3

D.0易错点1不等式的基本性质应用不当致错答案3.A

【解析】

∵a>|b|≥0,∴a2>b2成立,∴①说法正确;取a=2,b=1,c=3,d=-2,则2-3<1-(-2),故②说法错误;取a=4,b=1,c=-1,d=-2,则4×(-1)<1×(-2),故③说法错误.

易错点1不等式的基本性质应用不当致错答案4.【解析】

(1)由-1<2x-1<1,得0<x<1,∴原不等式的解集M={x|0<x<1}.∵a,b∈M,∴0<a<1,0<b<1,∴(ab+1)-(a+b)=(1-a)(1-b)>0,∴ab+1>a+b.易错点1不等式的基本性质应用不当致错答案

【归纳总结】

利用“作差法”比较两数(式)的大小,关键是