安徽省铜陵一中、阜阳一中2025届高一数学第一学期期末学业质量监测试题含解析

安徽省铜陵一中、阜阳一中2025届高一数学第一学期期末学业质量监测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在正六棱柱任意两个顶点的连线中与棱AB平行的条数为（）A.2 B.3C.4 D.52．已知函数若函数有四个零点,零点从小到大依次为则的值为()A.2 B.C. D.3．下列函数中，最小正周期为的奇函数是（）A. B.C. D.4．已知函数，若关于的方程有8个不等的实数根，则的取值范围是A. B.C. D.5．已知，且满足，则值A. B.C. D.6．已知，则（）A. B.C.2 D.7．点到直线的距离等于（）A. B.C.2 D.8．已知函数，下列关于该函数结论错误的是（）A.的图象关于直线对称 B.的一个周期是C.的最大值为 D.是区间上的增函数9．若圆锥的底面半径为2cm，表面积为12πcm2，则其侧面展开后扇形的圆心角等于（）A. B.C. D.10．“”是“函数为偶函数”（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．在中，角、、所对的边为、、，若，，，则角________12．已知函数的最大值与最小值之差为，则______13．________.14．已知某扇形的弧长为，面积为，则该扇形的圆心角（正角）为_________.15．已知函数，若函数在区间内有3个零点，则实数的取值范围是______16．已知集合，，则___________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数（1）求函数图象的相邻两条对称轴的距离；（2）求函数在区间上的最大值与最小值，以及此时的取值18．（1）已知，且，求的值（2）已知，是关于x的方程的两个实根，且，求的值19．已知集合，集合.（1）求.（2）求，求的取值范围.20．已知函数（1）若不等式的解集为，求的值；（2）当时，求关于的不等式的解集21．某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示）,该扇环是由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点,的两条线段围成．设圆弧和圆弧所在圆的半径分别为米,圆心角为θ（弧度）(1)若,,求花坛的面积；(2)设计时需要考虑花坛边缘（实线部分）的装饰问题,已知直线部分的装饰费用为60元/米,弧线部分的装饰费用为90元/米,预算费用总计1200元,问线段AD的长度为多少时,花坛的面积最大？

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】作出几何体的直观图观察即可.【详解】解：连接CF，C1F1，与棱AB平行的有，共有5条，故选：D.2、C【解析】函数有四个零点，即与图象有4个不同交点，可设四个交点横坐标满足，由图象，结合对数函数的性质，进一步求得，利用对称性得到，从而可得结果.【详解】作出函数的图象如图,函数有四个零点，即与的图象有4个不同交点，不妨设四个交点横坐标满足，则，，,可得,由，得，则，可得，即，，故选C.【点睛】函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.3、C【解析】根据题意，分别判断四个选项中的函数的最小正周期和奇偶性即可，其中A、C选项中的函数先要用诱导公式化简.【详解】A选项：，其定义域为，，为偶函数，其最小正周期为，故A错误.B选项：，其最小正周期为，函数定义域为，，函数不是奇函数，故B错误.C选项：其定义域为，，函数为奇函数，其最小正周期为，故C正确.D选项：函数定义域为，，函数为偶函数，其最小正周期，故D错误.故选：C.4、D【解析】画出函数的图象，利用函数的图象，判断的范围，然后利用二次函数的性质求解的范围【详解】解：函数，的图象如图：关于的方程有8个不等的实数根，必须有两个不相等的实数根且两根位于之间，由函数图象可知，．令，方程化为：，，，开口向下，对称轴为：，可知：的最大值为：，的最小值为：2故选：【点睛】本题考查函数与方程的应用，函数的零点个数的判断与应用，考查数形结合以及计算能力，属于中档题5、C【解析】由可求得，然后将经三角变换后用表示，于是可得所求【详解】∵,∴,解得或∵,∴∴故选C【点睛】对于给值求值的问题，解答时注意将条件和所求值的式子进行适当的化简，然后合理地运用条件达到求解的目的，解题的关键进行三角恒等变换，考查变换转化能力和运算能力6、B【解析】先求出，再求出，最后可求.【详解】因为，故，因为，故，而，故，所以，故，所以，故选：B7、C【解析】由点到直线的距离公式求解即可.【详解】解：由点到直线的距离公式得，点到直线的距离等于.故选：C【点睛】本题考查了点到直线的距离公式，属基础题.8、C【解析】利用诱导公式证明可判断A；利用可判断B；利用三角函数的性质可判断C；利用复合函数的单调性可判断D.【详解】对于A，，所以的图象关于直线对称，故A正确；对于B，，所以的一个周期是，故B正确；对于C，，所以的最大值为，当时，，取得最大值，所以的最大值为，故C不正确；对于D，在上单调递增，，在上单调递增，在上单调递减，，根据复合函数的单调性易知，在上单调递增，所以是区间上的增函数，故D正确.故选：C.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是熟练掌握函数对称性及周期性的判定及三角函数的图象与性质.9、D【解析】利用扇形面积计算公式、弧长公式及其圆的面积计算公式即可得出【详解】设圆锥的底面半径为r=2，母线长为R，其侧面展开后扇形的圆心角等于θ由题意可得：，解得R=4又2π×2=Rθ∴θ=π故选D【点睛】本题考查了扇形面积计算公式、弧长公式及其圆的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题10、A【解析】根据充分必要条件定义判断【详解】时，是偶函数，充分性满足，但时，也是偶函数，必要性不满足应是充分不必要条件故选：A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、.【解析】利用余弦定理求出的值，结合角的取值范围得出角的值.【详解】由余弦定理得，，，故答案为.【点睛】本题考查余弦定理的应用和反三角函数，解题时要充分结合元素类型选择正弦定理和余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.12、或.【解析】根据幂函数的性质，结合题意，分类讨论，利用单调性列出方程，即可求解.【详解】由题意，函数，当时，函数在上为单调递增函数，可得，解得；当时，显然不成立；当时，函数在上为单调递减函数，可得，解得，综上可得，或.故答案为：或.13、【解析】.考点：诱导公式.14、【解析】根据给定条件求出扇形所在圆的半径即可计算作答.【详解】设扇形所在圆的半径为，扇形弧长为，即，由扇形面积得：，解得，所以该扇形的圆心角(正角)为.故答案为：15、【解析】函数在区间内有3个零点，等价于函数和的图象在区间内有3个交点，作出函数和的图象，利用数形结合可得结果【详解】若，则，，若，则，，若，则，，，，，，设和，则方程在区间内有3个不等实根，等价为函数和在区间内有3个不同的零点作出函数和的图象，如图，当直线经过点时，两个图象有2个交点，此时直线为，当直线经过点，时，两个图象有3个交点；当直线经过点和时，两个图象有3个交点，此时直线为，当直线经过点和时，两个图象有3个交点，此时直线为，要使方程，两个图象有3个交点，在区间内有3个不等实根，则，故答案为【点睛】本题主要考查函数的零点与方程根的个数的应用，以及数形结合思想的应用，属于难题16、【解析】根据并集的定义可得答案.【详解】，，.故答案为：.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）时，取得最大值为3；当时，取得最小值为【解析】利用倍角公式降幂，再由辅助角公式可把函数化简为（1）求出函数的半周期得答案；（2）由的范围求出的范围，利用正弦函数的性质可求原函数的最值及使原函数取得最值时的值详解】.（1）函数图象的相邻两条对称轴的距离为；（2），∴当，即时，取得最大值为3；当，即时，取得最小值为【点睛】本题考查型函数的图象与性质、倍角公式与两角和的正弦的应用，是基础题18、（1）；（2）【解析】（1）先求出角，利用诱导公式即可求出；（2）利用根与系数关系求出，得到，利用切化弦和二倍角公式即可求解.【详解】（1）因为，所以由，得，即所以（2）由题意得因为且，所以解得，所以则，即19、（1）（2）【解析】（1）由不等式，求得，即可求解；（2）由，得到，列出不等式组，即可求解.【小问1详解】解：由，即，可得，可得集合.【小问2详解】解：因为，且集合，又因为，即，当时，即，可得，此时满足；当时，则满足，解得，综上可得，，即实数的取值范围.20、（1）；（2）见解析.【解析】(1)根据二次不等式解集与二次函数图像的关系即可求出a的取值；(2)根据二次函数图像的性质即可分类讨论解不等式.【小问1详解】不等式即，可化为因为的解集是，所以且解得；【小问2详解】不等式即，因为，所以不等式可化为当时，即，原不等式的解集当时，即，原不等式的解集为当时即原不等式的解集.综上所述，当时，原不等式的解；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集.21、（1）；（2）当线段的长为5米时，花坛的面积最大.【解析】(1)根据扇形的面积公式,求出两个扇形面积之差就是所求花坛的面积即可；(2)利用弧长公式根据预算费用总计1200元可得到等式,再求出花坛的面积的表