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文档简介
福建省泉州市永春县第一中学2025届高二上数学期末教学质量检测模拟试题考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.如图,M为OA的中点,以为基底,,则实数组等于()A. B.C. D.2.已知A,B,C三点不共线,O是平面ABC外一点,下列条件中能确定点M与点A,B,C一定共面的是A. B.C. D.3.设、分别是椭圆()的左、右焦点,过的直线l与椭圆E相交于A、B两点,且,则的长为()A. B.1C. D.4.已知函数的部分图象如图所示,且经过点,则()A.关于点对称B.关于直线对称C.为奇函数D.为偶函数5.设命题甲:,命题乙:直线与直线平行,则()A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件6.已知椭圆:的左、右焦点为,,上顶点为P,则()A.为锐角三角形 B.为钝角三角形C.为直角三角形 D.,,三点构不成三角形7.已知函数在处取得极小值,则()A. B.C. D.8.已知变量x,y具有线性相关关系,它们之间的一组数据如下表所示,若y关于x的线性回归方程为,则m=()x1234y0.11.8m4A.3.1 B.4.3C.1.3 D.2.39.为了调查修水县2019年高考数学成绩,在高考后对我县6000名考生进行了抽样调查,其中2000名文科考生,3800名理科考生,200名艺术和体育类考生,从中抽到了120名考生的数学成绩作为一个样本,这项调查宜采用的抽样方法是()A.系统抽样法 B.分层抽样法C.抽签法 D.简单的随机抽样法10.在四棱锥中,底面为平行四边形,为边的中点,为边上的一列点,连接,交于,且,其中数列的首项,则()A. B.为等比数列C. D.11.青花瓷是中华陶瓷烧制工艺的珍品,也是中国瓷器的主流品种之一.如图,是一青花瓷花瓶,其外形上下对称,可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面.若该花瓶的瓶口直径为瓶身最小直径的2倍,花瓶恰好能放入与其等高的正方体包装箱内,则双曲线的离心率为()A. B.C. D.12.加斯帕尔·蒙日(图1)是18~19世纪法国著名的几何学家,他在研究圆锥曲线时发现:椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上,其圆心是椭圆的中心,这个圆被称为“蒙日圆”(图2).则椭圆的蒙日圆的半径为()A.3 B.4C.5 D.6二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.圆被直线所截得弦的最短长度为___________.14.双曲线的一条渐近线的一个方向向量为,则______(写出一个即可)15.已知直线与直线垂直,则__________16.数据6,8,9,10,7的方差为______三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知圆的圆心为,且圆经过点(1)求圆的标准方程;(2)若圆:与圆恰有两条公切线,求实数取值范围18.(12分)在①成等差数列;②成等比数列;③这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并对其求解.问题:已知为数列的前项和,,且___________.(1)求数列的通项公式;(2)记,求数列前项和.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.19.(12分)请你设计一个包装盒,如图所示,是边长为的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得四个点重合于图中的点,正好形成一个长方体形状的包装盒,、在上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设(1)求包装盒的容积关于的函数表达式,并求出函数的定义域;(2)当为多少时,包装盒的容积最大?最大容积是多少?20.(12分)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)=若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和(Ⅰ)求k的值及f(x)的表达式(Ⅱ)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值21.(12分)如图是一个正三棱柱(以为底面)被一平面所截得到的几何体,截面为ABC.已知,,M为AB中点.(1)证明:平面;(2)求此几何体的体积.22.(10分)已知椭圆:的左、右焦点分别为,,过点的直线l交椭圆于A,两点,的中点坐标为.(1)求直线l的方程;(2)求的面积.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】根据空间向量减法的几何意义进行求解即可.【详解】,所以实数组故选:B2、D【解析】首先利用坐标法,排除错误选项,然后对符合的选项验证存在使得,由此得出正确选项.【详解】不妨设.对于A选项,,由于的竖坐标,故不在平面上,故A选项错误.对于B选项,,由于的竖坐标,故不在平面上,故B选项错误.对于C选项,,由于的竖坐标,故不在平面上,故C选项错误.对于D选项,,由于的竖坐标为,故在平面上,也即四点共面.下面证明结论一定成立:由,得,即,故存在,使得成立,也即四点共面.故选:D.【点睛】本小题主要考查空间四点共面的证明方法,考查空间向量的线性运算,考查数形结合的数学思想方法,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.3、C【解析】由椭圆的定义得:,,结合条件可得,即可得答案.【详解】由椭圆的定义得:,,又,,所以,由椭圆知,所以.故选:C4、D【解析】根据图象求得函数解析式,结合三角函数的图象与性质,逐项判定,即可求解.【详解】由题意,可得,根据图形走势,可得,解得,令,可得,所以,由,所以A不正确;由,可得不是函数的对称轴,所以B不正确;由,此时函数为非奇非偶函数,所以C不正确;由为偶函数,所以D正确.故选:D.5、A【解析】根据充分条件和必要条件的定义,结合两直线平行的性质进行求解即可.【详解】当时,直线的方程为,直线方程为,此时,直线与直线平行,即甲乙;直线和直线平行,则,解得或,即乙甲;则甲是乙的充分不必要条件.故选:.6、A【解析】根据题意求得,要判断的形状,只需要看是什么角即可,利用余弦定理判断,从而可得结论.【详解】解:由椭圆:,得,则,则,所以且为锐角,因为,所以锐角,所以为锐角三角形.故选:A.7、A【解析】由导数与极值与最值的关系,列式求实数的值.【详解】由条件可知,,,解得:,,检验,时,当,得或,函数的单调递增区间是和,当,得,所以函数的单调递减区间是,所以当时,函数取得极小值,满足条件.所以.故选:A8、A【解析】先求得样本中心,代入回归方程,即可得答案.【详解】由题意得,又样本中心在回归方程上,所以,解得.故选:A9、B【解析】考生分为几个不同的类型或层次,由此可以确定抽样方法;【详解】6000名考生进行抽样调查,其中2000名文科考生,3800名理科考生,200名艺术和体育类考生,从中抽到了120名考生的数学成绩作为一个样本又文科考生、理科考生、艺术和体育类考生会存在差异,采用分层抽样法较好故选:B.【点睛】本题主要考查的是分层抽样,掌握分层抽样的有关知识是解题的关键,属于基础题.10、A【解析】由得,为边的中点得,设,所以,根据向量相等可判断A选项;由得是公比为的等比数列,可判断B选项;代入可判断C选项;当时可判断D选项.【详解】由得,因为为边的中点,所以,所以设,所以,所以,当时,A选项正确;,由得,是公比为的等比数列,所以,所以,所以,不是常数,故B选项错误;所以,由得,故C选项错误;当时,,所以,此时为的中点,与重合,即,,故D错误.故选:A.11、C【解析】由题意作出轴截面,最短直径为2a,根据已知条件点(2a,2a)在双曲线上,代入双曲线的标准方程,结合a,b,c的关系可求得离心率e的值【详解】由题意作出轴截面如图:M点是双曲线与截面正方形的交点之一,设双曲线的方程为:最短瓶口直径为A1A2=2a,则由已知可得M是双曲线上的点,且M(2a,2a)故,整理得4a2=3b2=3(c2﹣a2),化简后得,解得故选:C12、A【解析】由蒙日圆的定义,确定出圆上的一点即可求出圆的半径.【详解】由蒙日圆的定义,可知椭圆的两条切线的交点在圆上,所以,故选:A二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】首先确定直线所过定点;由圆的方程可确定圆心和半径,进而求得圆心到的距离,由此可知所求最短长度为.【详解】由得:,直线恒过点;,在圆内;又圆的圆心为,半径,圆心到点的距离,所截得弦的最短长度为.故答案为:.14、(答案不唯一)【解析】写出双曲线的渐近线方程,结合方向向量的定义求即可.【详解】由题设,双曲线的渐近线方程为,又是一条渐近线的一个方向向量,所以或或或,所以或.故答案为:(答案不唯一)15、-3【解析】因为直线与直线垂直,所以考点:本题考查两直线垂直的充要条件点评:若两直线方程分别为,则他们垂直的充要条件是16、2【解析】首先求出数据的平均值,再应用方差公式求它们的方差.【详解】由题设,平均值为,∴方差.故答案为:2.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2).【解析】(1)根据给定条件求出圆C的半径,再直接写出方程作答.(2)由给定条件可得圆C与圆O相交,由此列出不等式求解作答.【小问1详解】依题意,圆C的半径,所以圆的标准方程是:.【小问2详解】圆:圆心,半径为,因圆与圆恰有两条公切线,则有圆O与圆C相交,即,而,因此有,解得,所以实数的取值范围是.18、(1)(2)【解析】(1)由可知数列是公比为的等比数列,若选①:结合等差数列等差中项的性质计算求解;若选②:利用等比数列等比中项的性质计算求解,若选③:利用直接计算;(2)根据对数的运算,可知数列为等差数列,直接求和即可.【小问1详解】由,当时,,即,即,所以数列是公比为的等比数列,若选①:由,即,,所以数列的通项公式为;若选②:由,所以,所以数列的通项公式为;若选③:由,即,所以数列的通项公式为;【小问2详解】由(1)得,所以数列为等差数列,所以.19、(1),定义域为;(2)当时,包装盒的容积最大是.【解析】(1)设出包装盒的高和底面边长,利用长方体的表面积得到等量关系,再利用长方体的体积公式求出表达式,再利用实际意义得到函数的定义域;(2)求导,利用导函数的符号变化得到函数的极值,即最值.小问1详解】解:设包装盒的高为,底面边长为,则,,所以=其定义域为;【小问2详解】解:由(1)得:,,因为,所以当时,;当时,;所以当时,取得极大值,即当时,包装盒的容积最大是20、,因此.,当隔热层修建厚时,总费用达到最小值70万元【解析】解:(Ⅰ)设隔热层厚度为,由题设,每年能源消耗费用为.再由,得,因此.而建造费用为最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为(Ⅱ),令,即.解得,(舍去)当时,,当时,,故是的最小值点,对应的最小值为当隔热层修建厚时,总费用达到最小值为70万元21、(1)证明见解析(2)【解析】(1)取的中点,连接,,可得四边形为平行四边形,从而可得,然后证明平面,从而可证明.(2)过作截面平面,分别交,于,,连接,作于,由所求几何体体积为从而可得答案.【小问1详解】如图,取的中点,连接,,因为,分别是,的中点.所以且又因为,,所以且,故四边形为平行四边形,所以.因为正三角形,是的中点,所以,又因为平面,所以,又,所以平面又,所以平面.【小问2
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