2024八年级数学上册第15章轴对称图形和等腰三角形15.4角的平分线习题课件新版沪科版

沪科版八年级上第15章轴对称图形与等腰三角形15.4角的平分线01名师点金02基础题03综合应用题目

录CONTENTS04创新拓展题1.

角平分线上的点到角两边的距离是指角平分线上的点到角

两边的垂线段的长.2.

角平分线的性质是证明线段相等的一个重要方法，应用时

要注意两点：一是不要漏掉垂直关系这个关键条件；二是

直接得到线段相等，而不必再证两三角形全等.知识点1

角的平分线的画法1.

如图，用直尺和圆规作∠

AOB

的平分线，能得出∠

MOC

＝∠

NOC

的依据是(

A

)A.

SSS

B.

SAS

C.

ASA

D.

AAS

A123456789101112132.

[2023·河南]如图，在△

ABC

中，点

D

在边

AC

上，且

AD

＝

AB

.

(1)请用无刻度的直尺和圆规作出∠

A

的平分线(保留作图

痕迹，不写作法)；【解】如图所示，

AE

即为所求.12345678910111213(2)若(1)中所作的角平分线与边

BC

交于点

E

，连接

DE

.

求证：

DE

＝

BE

.

【证明】如图，∵

AE

平分∠

BAC

，

∴∠

BAE

＝∠

DAE

.

又∵

AB

＝

AD

，

AE

＝

AE

，∴△

BAE

≌△

DAE

(

SAS

)，∴

DE

＝

BE

.

12345678910111213知识点2

角平分线的性质3.

如图，在Rt△

ABC

中，∠

B

＝90°，

AD

平分∠

BAC

，

交

BC

于点

D

，

DE

⊥

AC

，垂足为点

E

，若

BD

＝2，则

DE

的长为(

C

)A.3C.2D.6(第3题)C12345678910111213

A.

BC

＝

BE

B.

CD

＝

DE

C.

BD

＝

AD

D.

BD

一定经过△

ABC

三条内角平分线的交点(第4题)12345678910111213【点拨】由作图知，

BD

平分∠

ABC

.

∵∠

C

＝90°，

DE

⊥

AB

，∴

CD

＝

DE

，

BD

一定经过△

ABC

三条内角平分线

的交点，故B，D正确，不符合题意；

∴Rt△

BCD

≌Rt△

BED

(

HL

)

，12345678910111213∴

BC

＝

BE

，故A正确，不符合题意；无法证明

BD

＝

AD

，故C错误，符合题意.故选C.

【答案】C12345678910111213

12

(第5题)12345678910111213知识点3

角的平分线的判定6.

如图，

AD

⊥

OB

，

BC

⊥

OA

，垂足分别为

D

，

C

，

AD

，

BC

相交于点

P

，若

PA

＝

PB

，则∠1与∠2的大小

关系是(

A

)A.

∠1＝∠2B.

∠1＞∠2C.

∠1＜∠2D.

无法确定(第6题)12345678910111213【点拨】因为

AD

⊥

OB

，

BC

⊥

OA

，所以∠

PDB

＝∠

PCA

＝90°.又因为∠

APC

＝∠

BPD

，

PA

＝

PB

，所以△

PAC

≌△

PBD

，所以

PC

＝

PD

，所以

OP

平分∠

AOB

，

所以∠1＝∠2.A【答案】123456789101112137.

如图，在△

ABC

中，∠

B

＝42°，

AD

⊥

BC

于点

D

，

E

是

BD

上一点，

EF

⊥

AB

于点

F

.

若

ED

＝

EF

，则∠

AEC

的度数为

⁠.(第7题)66°

12345678910111213知识点4三角形的角平分线8.

到△

ABC

的三边距离相等的点是△

ABC

的(

C

)A.

三条中线的交点B.

三条高的交点C.

三条角平分线的交点D.

以上均不对【点拨】角平分线上的点到角两边的距离相等.C12345678910111213易错点因考虑问题不全面而漏解9.

如图，直线

l1，

l2，

l3表示三条两两相互交叉的公路，现

在拟建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相

等，则可供选择的地址有

处.【点拨】

l1，

l2，

l3围成的三角形内部有一处，为三条角平分

线的交点；外部有三处，分别为两条外角平分线的交点.4

12345678910111213

A.

AB

＝

AC

B.

AG

⊥

BC

C.

∠

DGB

＝∠

EGC

D.

AG

＝

AC

12345678910111213【点拨】根据题中所给的作图步骤可知，

AG

是△

ABC

的角平分线，所以∠

BAG

＝∠

CAG

.

当

AB

＝

AC

时，因为∠

BAG

＝∠

CAG

，

AG

＝

AG

，所以△

ABG

≌△

ACG

(

SAS

)，所以

BG

＝

CG

，故A选项正确，不符合题意.当

AG

⊥

BC

时，∠

AGB

＝∠

AGC

＝90°，12345678910111213因为∠

BAG

＝∠

CAG

，

AG

＝

AG

，所以△

ABG

≌△

ACG

(

ASA

)，所以

BG

＝

CG

，故B选项正确，不符合题意.当∠

DGB

＝∠

EGC

时，因为

AD

＝

AE

，∠

BAG

＝∠

CAG

，

AG

＝

AG

，所以△

ADG

≌△

AEG

(

SAS

)，所以∠

AGD

＝∠

AGE

，12345678910111213所以∠

AGD

＋∠

DGB

＝∠

AGE

＋∠

EGC

，即∠

AGB

＝∠

AGC

.

又因为∠

AGB

＋∠

AGC

＝180°，所以∠

AGB

＝∠

AGC

＝90°，所以

BG

＝

CG

，故C选项正确，不符合题意.由

AG

＝

AC

不能得出

BG

＝

CG

，故D选项错误，符

合题意.【答案】D1234567891011121311.

如图，

PA

＝

PB

，∠1＋∠2＝180°.求证：

OP

平分∠

AOB

.

【证明】如图，过点

P

作

PE

⊥

AO

，

PF

⊥

OB

，垂足分别为点

E

，

F

，则∠

AEP

＝∠

BFP

＝90°.∵∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠

PBO

＝180°，∴∠1＝∠

PBO

.

12345678910111213

∴△

PAE

≌△

PBF

(

AAS

).∴

PE

＝

PF

.

∴

OP

为∠

AOB

的平分线，即

OP

平分∠

AOB

.

1234567891011121312.

如图，在△

ABC

中，∠

ABC

的平分线与△

ABC

的外角

∠

ACE

的平分线相交于点

P

，

PD

⊥

AC

于点

D

，

PH

⊥

BA

交

BA

的延长线于点

H

.

(1)若点

P

到直线

BA

的距离是5

cm，求点

P

到直线

BC

的

距离；12345678910111213【解】如图，过点

P

作

PF

⊥

BE

于

点

F

.

由题意可知

PH

＝5

cm.∵

BP

平分∠

ABC

，

PH

⊥

BA

，

PF

⊥

BE

，∴

PF

＝

PH

＝5

cm，即点

P

到直线

BC

的距离为5

cm.12345678910111213(2)求证：点

P

在∠

HAC

的平分线上.【证明】∵

CP

平分∠

ACE

，

PD

⊥

AC

，

PF

⊥

BE

，∴

PF

＝

PD

.

由(1)知

PH

＝

PF

，∴

PD

＝

PH

.

又∵

PH

⊥

BA

，

PD

⊥

AC

，∴点

P

在∠

HAC

的平分线上.1234567891011121313.

[新考法·变式探究法]如图①，在Rt△

ABC

中，∠

ACB

＝90°，∠

B

＝60°，

AD

，

CE

分别是∠

BAC

，∠

BCA

的平分线，

AD

，

CE

相交于点

F

.

(1)

FE

与

FD

之间的数量关系为

，并说明

理由.EF

＝

FD

12345678910111213【点拨】

FE

＝

FD

.

理由如下：过点

F

作

FM

⊥

AB

于点

M

，

FN

⊥

BC

于点

N

，则∠

FME

＝∠

FND

＝90°.∵∠

ACB

＝90°，∠

B

＝60°，∴∠

BAC

＝90°－∠

B

＝30°.