高中数学新教材选择性必修第三册《6.1分类加法原理和分步乘法原理》课件

§6.1

分类加法计数原理与分步乘法计数原理(一)1.理解分类加法计数原理与分类乘法计数原理.2.会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题.学习目标问题导学

新知探究点点落实知识点一分类加法计数原理第十二届全运会在中国辽宁盛大召开，一名志愿者从济南赶赴沈阳为游客提供导游服务，每天有7个航班，6列火车.思考1

该志愿者从济南到沈阳的方案可分几类？答案两类，即乘飞机、坐火车.思考2

这几类方案中各有几种方法？答案第1类方案(乘飞机)有7种方法，第2类方案(坐火车)有6种方法.思考3该志愿者从济南到沈阳共有多少种不同的方法？答案共有7＋6＝13种不同的方法.1.完成一件事有两类不同的方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝

种不同的方法.2.完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事共有N＝

种不同的方法.m＋nm1＋m2＋…＋mn知识点二分步乘法计数原理若这名志愿者从济南赶赴沈阳为游客提供导游服务，但需在北京停留，已知从济南到北京每天有7个航班，从北京到沈阳每天有6列火车.思考1

该志愿者从济南到沈阳需要经历几个步骤？答案两个，即先乘飞机到北京，再坐火车到沈阳.思考2完成每一个步骤各有几种方法？答案第1个步骤有7种方法，第2个步骤有6种方法.思考3该志愿者从济南到沈阳共有多少种不同的方法？答案共有7×6＝42种不同的方法.1.完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝

种不同的方法.2.完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有N＝

种不同的方法.m×nm1×m2×…×mn类型一分类加法计数原理的应用例1

某校高三共有三个班，其各班人数如下表：题型探究

重点难点个个击破班级男生数女生数总数高三(1)302050高三(2)303060高三(3)352055(1)从三个班中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？解从三个班中任选一名学生，可分三类：第1类，从高三(1)班任选一名学生，有50种不同选法；第2类，从高三(2)班任选一名学生，有60种不同选法；第3类，从高三(3)班任选一名学生，有55种不同选法.由分类加法计数原理知，不同的选法共有N＝50＋60＋55＝165(种).(2)从(1)班、(2)班男生中或从(3)班女生中选一名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？解由题设知共有三类：第1类，从(1)班男生中任选一名学生，有30种不同选法；第2类，从(2)班男生中任选一名学生，有30种不同选法；第3类，从(3)班女生中任选一名学生，有20种不同选法.由分类加法计数原理知，不同的选法共有N＝30＋30＋20＝80(种).反思与感悟1.应用分类加法计数原理时，完成这件事的n类方法是相互独立的，无论哪种方案中的哪种方法，都可以独立完成这件事.2.利用分类加法计数原理解题的一般思路跟踪训练1

如图，小圆点表示网络的结点，结点之间的连线表示它们由网线相连，连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息，信息可沿不同的路径同时传递.则单位时间内传递的最大信息量是___.解析若以网线为标准，则完成“从结点A向结点B传递信息”这件事也可分为四类，从而分解为若干个简单的问题后再各个击破.分四类：第一类，网线为12→5→3，单位时间传递的最大信息量是3；第二类，网线为12→6→4，单位时间传递的最大信息量是4；第三类，网线为12→6→7，单位时间传递的最大信息量是6；第四类，网线为12→8→6，单位时间传递的最大信息量是6.根据分类加法计数原理，单位时间内传递最大信息量是N＝3＋4＋6＋6＝19.19类型二分步乘法计数原理的应用例2

从－2，－1,0,1,2,3这六个数字中任选3个不重复的数字作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c，则可以组成抛物线的条数为____.解析由题意知a不能为0，故a的值有5种选法；b的值也有5种选法；c的值有4种选法.由分步乘法计数原理得：5×5×4＝100(条).100反思与感悟1.应用分步乘法计数原理时，完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可.2.利用分步乘法计数原理解题的一般思路：(1)分步：将完成这件事的过程分成若干步；(2)计数：求出每一步中的方法数；(3)结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果.跟踪训练2

从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取三个元素分别作为直线方程Ax＋By＋C＝0中的A，B，C，所得直线经过坐标原点的有___条.解析该题实质上就是给A，B，C赋值.但首先要搞清楚直线过原点所隐含的条件，即C＝0，所以，下面只需安排A，B.从1,2,3,5,7,11这6个数中任取2个作为A，B的值，分为两步：第一步取一个数作为A，有6种；第二步从剩下的5个数中取一个数作为B，有5种.所以由分步乘法计数原理得：直线的条数为6×5＝30.30类型三两个计数原理的综合应用例3

某校高中三年级一班有优秀团员8人，二班有优秀团员10人，三班有优秀团员6人，学校组织他们去参观某爱国主义教育基地.(1)推选1人为总负责人，有多少种不同的选法？解分三类，第一类是从一班的8名优秀团员中产生，共有8种不同的选法；第二类是从二班的10名优秀团员中产生，共有10种不同的选法；第三类是从三班的6名优秀团员中产生，共6种不同的选法，由分类加法计数原理可得，共有N＝8＋10＋6＝24(种)不同的选法.(2)每班选1人为小组长，有多少种不同的选法？解分三步，第一步从一班的8名优秀团员中选1名组长，共有8种不同的选法，第二步从二班的10名优秀团员中选1名组员，共10种不同的选法.第三步是从三班的6名优秀团员中产生，共6种不同的选法，由分步乘法计数原理可得：共有N＝8×10×6＝480(种)不同的选法.(3)从他们中选出2个人管理生活，要求这2个人不同班，有多少种不同的选法？解分三类：每一类又分两步，第一类是从一班、二班的优秀团员中各选1人，有8×10种不同的选法；第二类是从二班、三班的优秀团员中各选1人，有10×6种不同的选法，第三类是从一班、三班的优秀团员中各选1人，有8×6种不同的选法，因此，共有N＝8×10＋10×6＋8×6＝188(种)不同的选法.反思与感悟1.解题的关键是分清楚是“分类”还是“分步”，如问题(2)中，要求是每班各选1人为小组长，一班的8种不同选法中的任一种选法只能完成第一步，二班的选法也只能完成第二步，…，所以问题(2)是要用“分步”来解决问题.(3)中选出的2人来自不同的班级，又共有三个班，故应先分类，再分步方可完成.2.分类讨论解决问题，必须思维清晰，保证分类标准的唯一性，这样才能保证分类不重复，不遗漏，运用两个原理解答时是先分类后分步还是先分步后分类，应视具体问题而定.跟踪训练3

高艳有4件不同颜色的衬衣、3件不同花样的裙子，另有2套不同样式的连衣裙.“五一”劳动节需选择一套服装参加歌舞演出，则高艳不同的穿衣服的方式有___种.解析穿衣方式分两类：第一步：不选连衣裙有4×3＝12(种)方法.第二步：选连衣裙有2种方法.由分类加法计数原理知，共有12＋2＝14(种)方法.14123达标检测41.某学生在书店发现3本好书，决定至少买其中的1本，则购买方法有(

)A.3种 B.6种

C.7种 D.9种解析分3类，买1本书，买2本书，买3本书，各类的方法依次为3种，3种，1种，故购买方法有3＋3＋1＝7(种).5C2.现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为(

)A.7 B.12C.64 D.81解析要完成配套，分两步：第1步，选上衣，从4件上衣中任选一件，有4种不同选法；第2步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同选法.故共有4×3＝12(种)不同的配法.12345B3.把5本书全部借给3名学生，有_____种不同的借法.解析依题意，知每本书应借给三个人中的一个，即每本书都有3种不同的借法，由分步乘法计数原理，得共有N＝3×3×3×3×3＝35＝243(种)不同的借法.123452434.5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有一名老队员的选法有____种.(用数字作答)解析分为两类：两名老队员，一名新队员时，有3种选法；两名新队员、一名老队员时，有2×3＝6(种)选法，即共有9种不同选法.1234595.某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？解依题意得，既会英语、又会日语的有：7＋3－9＝1(人)，6人只会英语，2人只会日语，第一类：从只会英语的6人中选一人有6种方法，此时，会日语的有2＋1＝3(种)，由分步乘法计数原理可得：N1＝6×3＝18(种).第二类，不从只会英语的6人中选，只有1种方法，此时会日语的有2种，由分步乘法计数原理可得：N2＝1×2＝2(种).综上可知，共有18＋2＝20(种)不同的选法.12345规律与方法1.使用两个原理解题的本质2.利用两个计数原理解决实际问题的常用方法§6.1

分类加法计数原理与分步乘法计数原理(二)巩固分类加法计数原理和分步乘法计数原理，并能应用这两个计数原理解决实际问题.学习目标问题导学

新知探究点点落实1.两计数原理的联系分类加法计数原理与分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法的种数问题.2.两计数原理的区别分类加法计数原理针对的是

问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事，分类要做到

；分步乘法计数原理针对的是

问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事，分步要做到步骤

.分类不重不漏分步完整类型一组数问题例1

用0,1,2,3,4五个数字，(1)可以排成多少个三位数字的电话号码？解三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5＝53＝125(种).(2)可以排成多少个三位数？解三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100(种).题型探究

重点难点个个击破(3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？解被2整除的数即偶数，末位数字可取0,2,4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3＝12(种)排法；一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3＝18(种)排法.因而有12＋18＝30(种)排法.即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数.反思与感悟对于组数问题，应掌握以下原则：(1)明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类”还是“分步”的关键.一般按特殊位置(末位或首位)分类，分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法求解.(2)要注意数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位.跟踪训练1

用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有___个(用数字作答).解析因为四位数的每个数位上都有两种可能性，其中四个数字全是2或3的情况不合题意，所以符合题意的四位数有24－2＝14(个).14类型二抽取(分配)问题例2

3个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子至多放一个小球，共有多少种方法？解方法一(以小球为研究对象)分三步来完成：第一步：放第一个小球有5种选择；第二步：放第二个小球有4种选择；第三步：放第三个小球有3种选择，根据分步乘法计数原理得：共有方法数N＝5×4×3＝60.方法二(以盒子为研究对象)盒子标上序号1,2,3,4,5；分成以下10类：第一类：空盒子标号为：(1,2)：选法有3×2×1＝6(种)；第二类：空盒子标号为：(1,3)：选法有3×2×1＝6(种)；第三类：空盒子标号为：(1,4)：选法有3×2×1＝6(种)；分类还有以下几种情况：(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10类，每一类都有6种方法.根据分类加法计数原理得：共有方法数N＝6＋6＋…＋6＝60(种).反思与感悟解决抽取(分配)问题的方法(1)当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树形图法、框图法或者图表法.(2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理.一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若是按对象特征抽取的，则按分类进行.②间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可.跟踪训练2

如图所示，在A，B间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通.今发现A，B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有___种.解析按照焊点脱落的个数进行分类：第一类：脱落一个焊点，只能是脱落1或4，有2种情况；第二类：脱落两个焊点：有(1,4)，(2,3)，(1,2)，(1,3)，(4,2)，(4,3)共有6种情况；第三类：脱落三个焊点：有(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,4)，(2,3,4)共有4种情况；第四类：脱落四个焊点，只有(1,2,3,4)一种情况.于是脱落焊点的情况共有2＋6＋4＋1＝13(种).13类型三涂色问题例3

将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？解如图所示，将4个小方格依次编号为1,2,3,4，第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上，有5种不同的涂法.1234(1)当第2个、第3个小方格涂不同颜色时，有4×3＝12(种)不同的涂法，第4个小方格有3种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有5×12×3＝180(种)不同的涂法.(2)当第2个、第3个小方格涂相同颜色时，有4种涂法，由于相邻两格不同色，因此，第4个小方格也有4种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有5×4×4＝80(种)不同的涂法.由分类加法计数原理可得共有180＋80＝260(种)不同的涂法.涂色问题的四个解答策略涂色问题是考查计数方法的一种常见问题，由于这类问题常常涉及分类与分步，所以在高考题中经常出现，处理这类问题的关键是要找准分类标准，求解涂色问题一般是直接利用两个计数原理求解，常用的方法有：(1)按区域的不同以区域为主分步计数，并用分步乘法计数原理计算.(2)以颜色为主分类讨论法，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理计算.(3)将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题.(4)对于不相邻的区域，常分为同色和不同色两类，这是常用的分类标准.反思与感悟跟踪训练3

将红、黄、绿、黑4种不同的颜色分别涂入图中的5个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有________种不同的涂色方法.解析给出区域标记号A，B，C，D，E(如图所示)，则A区域有4种不同的涂色方法，B区域有3种，C区域有2种，D区域有2种.但E区域的涂色依赖于B区域与D区域涂的颜色，如果B区域与D区域涂的颜色相同，则有2种涂色方法；如果B区域与D区域所涂的颜色不相同，则只有1种涂色方法.因此应先分类后分步.(1)当B与D同色时，有4×3×2×2＝48(种).(2)当B与D不同色时，有4×3×2×1×1＝24(种).故共有48＋24＝72(种)不同的涂色方法.答案72类型四种植问题例4

从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，求有多少种不同的种植方法.解方法一(直接法)：若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2＝6(种)不同种植方法.同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均有3×2＝6(种)不同种植方法.故不同的种植方法共有6×3＝18(种).方法二(间接法)：从4种蔬菜中选出3种，种在三块地上，有4×3×2＝24(种)，其中不种黄瓜有3×2×1＝6(种)，故共有不同种植方法24－6＝18(种).按元素性质分类，按事件发生过程分步是计数问题的基本思想方法，区分“分类”与“分步”的关键，是验证所提供的某一种方法是否完成了这件事情，分类中的每一种方法都能完成这件事情，而分步中的每一种方法不能完成这件事情，只是向事情的完成迈进了一步.反思与感悟

解析

分别用a、b、c代表3种作物，先安排第一块田，有3种方法，不妨设放入a，再安排第二块田，有两种方法b或c，不妨设放入b，第三块也有2种方法a或c.(1)若第三块田放c：第四、五块田分别有2种方法，共有2×2＝4(种)方法.abc跟踪训练4将3种作物全部种植在如图所示的5块试验田中，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种同一种作物，不同的种植方法共有_____种.(2)若第三块田放a：第四块有b或c两种方法：①若第四块放c；第五块有2种方法；②若第四块放b：第五块只能种作物c，共1种方法.综上，共有3×2×(2×2＋2＋1)＝42(种)方法.abaabacabab答案42达标检测1.用0,1,2,3组成没有重复数字的四位数，其中奇数有(

)A.8个 B.10个

C.18个 D.24个解析个位数只要是1或3，所以2种选择首位不能为0，则有2种选择，百位数字有2种选择，十位数字只有1种选择，由分步乘法计数原理，所以用0,1,2