2024-2025学年广东省广州四中高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省广州四中高二（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.从分别写有1，2，3，4，5，6的六张卡片中，无放回地随机抽取两张，则抽到的两张卡片上的数字之积是5的倍数的概率为(

)A.13 B.25 C.352.如图，空间四边形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，点M在OA上，且OM=23OA，点A.12a+12b−123.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为线段AA.55 B.105 C.4.若直线l1：y=kx−k+2与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2恒过定点A.(3,1) B.(3,0) C.(0,1) D.(2,1)5.已知事件A、B，且P(A)=0.6，P(B)=0.7，如果A与B互斥，那么P(AB)=p1；如果A与B相互独立，那么P(A+B−)=p2，则A.p1=0，p2=0.9 B.p1=0.42，p2=0.9

C.6.在三棱锥P−ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA=1，PB=2，PC=3，三角形ABC重心为G，则点P到直线AG的距离为(

)A.23 B.53 C.27.已知实数x，y满足y=15x−35，且−2≤x≤3，则A.(−∞,−12]∪[3,+∞) B.[−12,3]8.直线l1：x+(m+1)y−2m−2=0与直线l2：(m+1)x−y−2m−2=0相交于点P，对任意实数m，直线l1，l2分别恒过定点A，B，则|PA|+|PB|A.4 B.8 C.22 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.某社团开展“建党100周年主题活动——学党史知识竞赛”，甲、乙两人能得满分的概率分别为34，23，两人能否获得满分相互独立，则(

)A.两人均获得满分的概率12 B.两人至少一人获得满分的概率712

C.两人恰好只有甲获得满分的概率14 10.已知函数f(x)=2cos(2x+A.f(x)的一个对称中心为(38π,0)

B.f(x)的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象

C.f(x)在区间[5π8,7π8]上单调递增

D.11.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、A.直线AG与平面AEF所成角的余弦值的取值范围为[1515,1010]

B.点G到平面AEF的距离为255

C.四面体AEFG的体积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知直线l的一个方向向量为a=(2,3)，若l过点A(−4,3)，则直线l的方程为______．13.若直线l1：ax+2y−6=0与直线l2：x+(a−1)y−a−1=0平行，则直线l1与l14.已知点P在直线x−y−1=0上，点A(1,−2)，B(2,6)，则|PA|−|PB|的最小值为______，此时点P坐标为______四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

某校为了增强学生的身体素质，积极开展体育锻炼，并给学生的锻炼情况进行测评打分.现从中随机选出100名学生的成绩(满分为100分)，按分数分为[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，共6组，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求m的值，并求这100名学生成绩的中位数(保留一位小数)；

(2)若认定评分在[80,90)内的学生为“运动爱好者”，评分在[90,100]内的学生为“运动达人”，现采用分层抽样的方式从不低于80分的学生中随机抽取6名学生参加运动交流会，大会上需要从这6名学生中随机抽取2名学生进行经验交流发言，求抽取的2名发言者中恰好“运动爱好者”和“运动达人”各1人的概率．16.(本小题15分)

如图所示，平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，∠BAD=π2,∠BAA1=∠DA17.(本小题15分)

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥底面A1B1C1，AC⊥AB，AC=2，AB=4，AA1=6，点E，F分别为C18.(本小题17分)

已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a,b,c,a−ca+b=sinA−sinBsinC．

(1)求角B；

(2)若△ABC外接圆的面积为12π，且19.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ADC=∠BCD=90°，BC=1，CD=3，PD=2，∠PDA=60°，∠PAD=30°，且平面PAD⊥平面ABCD，在平面ABCD内过B作BO⊥AD，交AD于O，连接PO．

(1)求证：PO⊥平面ABCD；

(2)求二面角A−PB−C的正弦值；

(3)在线段PA上存在一点M，使直线BM与平面PAD所成的角的正弦值为277，求参考答案1.A

2.B

3.B

4.B

5.C

6.D

7.A

8.A

9.ACD

10.BD

11.BD

12.3x−2y+18=0

13.614.−35

15.解：(1)根据题意可得(0.005+0.015+0.02+0.03+m+0.005)×10=1，解得m=0.025；

∵前3组的频率和为0.05+0.15+0.2=0.4<0.5，前4组的频率和为0.05+0.15+0.2+0.3=0.7>0.5，

∴中位数落在[70,80)，

∴估计这100名学生成绩的中位数为70+0.5−0.05−0.15−0.20.03=70+103≈73.3分；

(2)∵在[80,90)与[90,100]内的学生sℎu的频率之比为0.25：0.05=5：1，

∴抽取的6名学生在[80,90)内有5人，在[90,100]有1人，

∴从这6名学生中随机抽取2名学生共有C62=15个结果，

而抽取的2名发言者中恰好“运动爱好者”和“运动达人”各16.解：(1)BD1=AD1−AB=AD+AA1−AB，

因为AB=AD=1，AA1=2，∠BAD=π2,∠BAA1=∠DAA1=π3，

所以AD⋅AB=0，17.(1)证明：在三棱柱ABC−A1B1C1中，因为AA1⊥底面A1B1C1，

所以三棱柱是直三棱柱，故四边形AA1C1C是矩形，

又因为点E是CA1的中点，连接AC1，则点E是AC1的中点，

连接BC1，因为F是AB的中点，所以EF/​/BC1，

因为BC1⊂平面BCC1B1，EF⊄平面BCC1B1，

所以EF/​/平面BCC1B1；

(2)解：因为平面CAA1⊥平面AA1B交于AA1，EH⊂平面CAA1，

所以EH⊥平面AA1B，又B1F⊂平面AA1B，

所以EH⊥B1F，

过H在平面AA1B1B内，作HG⊥B1F交B1F于点G，连接EG，

因为EH∩HG=H，EH，HG⊂平面EGH，

所以B1F⊥平面EGH，又EG⊂平面EGH，

所以B1F⊥EG，

因此∠EGH为二面角E−B118.解：(1)由正弦定理得a−ca+b=sinA−sinBsinC=a−bc，化简得a2+c2−b2=ac，

结合余弦定理得cosB=a2+c2−b22ac=12，而B∈(0,π)，所以B=π3．

(2)设△ABC的外接圆半径为R，则外接圆面积S=πR2=12π，解得R=23．

根据正弦定理得asinA=bsinB=csinC=2R=43．

由19.证明：(1)因为∠ADC=∠BCD=90°，BO⊥AD

所以，四边形BODC为矩形，

在△PDO中，PD=2，DO=BC=1，∠PDA=60°，

则PO=PD2+OD2−2PD⋅ODcos60°=3

∴PO2+DO2=PD2，

∴PO⊥AD，

且平面PAD⊥平面ABCD，PO⊂平面PAD，

平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴PO⊥平面ABCD；

(2)以O为原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立