2024-2025学年甘肃省兰州五十九中高三（上）月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年甘肃省兰州五十九中高三（上）月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数z满足z(1−i)=4+2i，则z=(

)A.1+3i B.3+3i C.2+32.已知△ABC所在平面内一点P，满足PA+PB+PC=A.12AB+12AC B.13.1+tan190°1−tan370∘A.tan20° B.tan70° C.−tan20° D.−tan70°4.已知符号函数sgn(x)=1,x>0,0,x=0,−1,x<0.则函数f(x)=sgn(x)⋅lnA. B.

C. D.5.已知直线l与曲线y=x3−x+3相切，则l的方程不可能是A.y=2x+1 B.y=2x+5 C.y=−x+3 D.y=−x+56.为迎接元宵节，某广场将一个圆形区域分成A，B，C，D，E五个部分(如图所示)，现用4种颜色的鲜花进行装扮(4种颜色均用到)，每部分用一种颜色，相邻部分用不同颜色，则该区域鲜花的摆放方案共有(

)A.48种

B.36种

C.24种

D.12种7.直线l1：mx−y+3m=0与直线l2：x+my−3=0相交于点P(x0,yA.[−35,35] B.[−8.设方程3x⋅|log3x|=1的两根为xA.0<x1<1，x2>3 B.x1二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的有(

)A.若a//α，b//α，则a//b B.若a⊥α，b⊥α，则a//b

C.若a//b，b//α，a⊄α，则a//α D.若a//α，α//β，a⊄β，则a//β10.已知第一组样本数据x1，x2，⋯，xn的极差为mx，中位数为tx，平均数为x−，标准差为sx；第二组样本数据y1，y2，⋯，yn的极差为my，中位数为A.my=mx B.ty=−211.抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，A(x1,y1)、B(x2,y2)A.若AF=2FB，则直线AB的斜率为22或−22

B.若AF//FB，则|MN|=12|AB|

C.若AF和三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知圆锥的高为5，其顶点和底面圆周都在直径为6的球面上，则圆锥的体积为______．13.已知向量m,n不共线，a=λm+n,b14.某厂家为了保证防寒服的质量，从生产的保暖絮片中随机抽取多组，得到每组纤维长度(单位：mm)的均值，并制成如下所示的频率分布直方图，由此估计其纤维长度均值的90%分位数是______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,(c−3b)sinC=(a−b)(sinA+sinB)．

(1)求A；

(2)若△ABC为锐角三角形，且b=6，求△ABC的周长l16.(本小题15分)

土壤食物网对有机质的分解有两条途径，即真菌途径和细菌途径.在不同的土壤生态系统中，由于提供能源的有机物其分解的难易程度不同，这两条途径所起的作用也不同.以细菌分解途径为主导的土壤，有机质降解快，氮矿化率高，有利于养分供应，以真菌途径为主的土壤，氮和能量转化比较缓慢，有利于有机质存财和氮的固持.某生物实验小组从一种土壤数据中随机抽查并统计了8组数据，如下表所示：编号i12345678细菌xi708090100110120130140真菌yi8.010.012.515.017.521.027.039.0其散点图如下，散点大致分布在指数型函数y=aebx(a>0)的图象附近．

(1)求y关于x的经验回归方程(系数精确到0.01)；

(2)在做土壤相关的生态环境研究时，细菌与真菌的比值能够反映土壤的碳氮循环.以样本的频率估计总体分布的概率，若该实验小组随机抽查8组数据，再从中任选4组，记真菌y(单位：百万个)与细菌x(单位：百万个)的数值之比位于区间(0.13,0.20)内的组数为X，求X的分布列与数学期望．

附：经验回归方程y​=b​x+a​17.(本小题15分)

如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=2，沿AC将△ADC折起，使点D到达点P的位置，点P在平面ABC的射影H落在边AB上．

(1)求AH的长度；

(2)若M是边PC上的一个动点，是否存在点M，使得平面AMB与平面PBC的夹角余弦值为34？若存在，求CM18.(本小题17分)

已知F1、F2是双曲线x2−y23=1的左、右焦点，直线l经过双曲线的左焦点F1，与双曲线左、右两支分别相交于A、B两点．

(1)求直线l斜率的取值范围；19.(本小题17分)

已知函数f(x)=xlnx．

(1)若函数g(x)=f(x)−a有两个零点，求实数a的取值范围；

(2)已知A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)(其中x1参考答案1.A

2.B

3.A

4.D

5.D

6.A

7.B

8.C

9.BCD

10.BC

11.ABD

12.25π313.1314.36

15.解：(1)因为(c−3b)sinC=(a−b)(sinA+sinB)，

可得(c−3b)c=(a−b)(a+b)，

可得b2+c2−a2=3bc，

故cosA=b2+c2−a22bc=32，

而0<A<π，

所以A=π6；

(2)由(1)知B+C=56π，

而b=6，

故由正弦定理得asinA=6sinB=csinC，

则a=6sinAsinB=3sinB，

可得16.解：(1)由于y=aebx(a>0)，故lny=lna+bx，(a>0)，

令t=lny=lna+bx，(a>0)，

则x−=18(70+80+90+100+110+120+130+140)=105，t=18i=18lnyi≈18×22.48=2.81，

所以b=i=18xilnyi−8x−t−i=15xi2−8x−2≈2449.43−8×105×2.8192400−8×1052=89.034200≈0.021，

所以â=t−−b̂x−=2.81−0.021×105=0.605≈0.61，

故t̂=lny=0.61+0.02x，

则y关于x的经验回归方程为ŷ=e0.61+0.02x；

(2)由已知图表可知从第1组到第8组的真菌X01234P11636161则E(X)=0×17017.解：(1)作PE⊥AC，垂足为E，连接EH，如图所示：

由点P在平面ABC的射影H落在边AB上可得PH⊥平面ABC，

又AC⊂平面ABC，所以PH⊥AC，

因为PH∩PE=E，且PH，PE⊂平面PHE，

所以AC⊥平面PHE，

又EH⊂平面PHE，所以AC⊥EH，

又因为ABCD为矩形，AB⊥BC，可得△ABC～△AEH，

由AB=4，BC=2可得AP=2,PC=4,AC=25，

所以PE=AP⋅PCAC=455，AE=AP2−PE2=255；

由△ABC～△AEH可得AEAH=ABAC，即AH=AE⋅ACAB=255×254=1；

即AH的长度为1．

(2)根据题意，以点H为坐标原点，以过点H且平行于BC的直线为y轴，分别以HB，PH所在直线为x，z轴建立空间直角坐标系，如图所示：

则A(−1,0,0),P(0,0,3),B(3,0,0),C(3,2,0)，

所以CP=(−3,−2,3)，设CM=λCP,λ∈[0,1]，

则CM=λCP=λ(−3,−2,3)=(−3λ,−2λ,3λ)，所以M(3−3λ,2−2λ,3λ)；

易知AB=(4,0,0),MB=(3λ,2λ−2,−3λ)，PB=(3,0,−3),BC=(0,2,0)，

设平面AMB的一个法向量为m=(18.解：(1)在双曲线x2−y23=1中，a=1，b=3，则c=a2+b2=1+3=2，

该双曲线的左焦点为F1(−2,0)，若直线l的斜率不存在，则直线l与双曲线交于左支上的两点，不合乎题意，

设直线l的方程为y=k(x+2)，设点A(x1,y1)、B(x2,y2)，

联立y=k(x+2)3x2−y2=3可得(k2−3)x2+4k2x+(4k2+3)=0，

因为直线l与双曲线左、右两支分别相交于A、B两点，

所以，k2−3≠0Δ=16k4−4(k2−3)(4k2+3)=36(k2+1)>0x1x2=4k2+3k2−3<0，解得−3<k<19.解：(1)令g(x)=0，由题设知方程f(x)=a有两个实数根，

因为f′(x)=lnx+1，

当0<x<1e时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x>1e时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

当x=1e时，函数取得极小值f(1e)=−1e，

当0<x<1e及1e≤x