弯曲应力课件

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弯曲应力材料力学*弯曲应力§5-1

引言

一、对称弯曲纵向对称面F1F2*引言FFaaABFSMxx二、纯弯曲CD图示梁AB段横截面上只有弯矩，而无剪力，该段梁的弯曲称为纯弯曲。

C

A与BD段横截面上既有弯矩，又有剪力，该两段梁的弯曲称为横力弯曲。⊕⊕○－*§5-2对称弯曲正应力一、基本假设1.实验观察弯曲应力*对称弯曲正应力

(1)梁侧面的横线仍为直线，与纵线正交，只是横线间作相对转动。

(2)

纵线变为弧线，凹入侧缩短，凸出侧伸长。

(3)凹入侧梁的宽度增加，凸出侧减小，与轴向拉压的变形相似。acbdabcdMeMe*2.基本假设

(1)平面假设：梁的横截面变形后仍为平面，且仍与纵线正交；(2)单向受力假设：层间“纤维”无挤压。中性层纵向对称面中性轴MM梁弯曲时，部分“纤维”伸长，部分缩短，由伸长区到缩短区，其间必存在一长度不变的过渡层，称为中性层。中性层与横截面的交线，称为中性轴。中性轴垂直于纵向对称面。对称弯曲正应力*

1.几何方面

二、弯曲正应力一般公式O1变形后O22'2'1'1'

ydxd

a'b'变形前dxyO1O21122abx对称弯曲正应力*

2.物理方面其中y为横截面上求应力那点相对中性轴的坐标，

为中性层变形后的曲率半径。欲求应力须知道中性轴的位置和中性层的曲率半径。

3.静力学方面横截面正应力满足如下关系：yxzy

dA对称弯曲正应力*Sz

=0，中性轴z通过形心。yxzy

dA对称弯曲正应力*乘积EIz

称为梁截面的弯曲刚度。于是得：yxzy

dA对称弯曲正应力*横截面上各点正应力大小与各点到中性轴的距离成正比，中性轴上各点正应力为零，离中性轴最远点正应力最大。zCzCxx

二、最大弯曲正应力yxzy

dA对称弯曲正应力*令上式可改写为Wz

称为抗弯截面系数，单位：m3。上述分析是在平面假设下建立的，对于横力弯曲，由于横截面上还有剪力，变形后截面会发生翘曲，平面假设不再成立。当截面尺寸与梁的跨度相比很小时，翘曲很小，仍可按平面假设分析，上面公式仍可使用。对称弯曲正应力*1.矩形截面2.圆形截面3.环形截面CzdCzbh/2h/2zdCD其中，

=d/D对称弯曲正应力*[例]求图示矩形截面梁D截面上a、b、c三点的正应力。ABCD2m2m2mF=12kNzcab5623(cm)解：取AD，AFAyDFSDMD(上面受拉)(拉)(拉)FByFAy对称弯曲正应力*[例]求图示T形截面梁的最大拉应力和最大压应力。ABCD300300F2=20kNF1

=50kN301103080解：画梁的弯矩图；zy2y1确定中性轴的位置。C200对称弯曲正应力⊕○－5.5kN

m4kN

mMx*ABCD300300F2=20kNF1

=50kN2001103080y2y1C30z对称弯曲正应力⊕○－5.5kN

m4kN

mMx*D

截面下边受拉，上边受压；B截面上边受拉，下边受压。比较可知最大压应力在D

截面的上边缘，而最大拉应力可能发生在D

截面的下边缘，也可能发生在B

截面的上边缘。ABCD300300F2=20kNF1

=50kN200⊕○－5.5kN

m4kN

mMx对称弯曲正应力1103080y2y1C30z*ABCD300300F2=20kNF1

=50kN200⊕○－5.5kN

m4kN

mMx对称弯曲正应力1103080y2y1C30z*最大拉应力发生在B

截面的上边缘，最大压应力发生在D

截面的上边缘，分别为ABCD300300F2=20kNF1

=50kN200对称弯曲正应力⊕○－5.5kN

m4kN

mMx1103080y2y1C30z*[练习]图示矩形截面梁，C截面处有一直径d=40mm的圆孔，求该截面的最大正应力。ABC2m2m8012040解：q=2kN/m对称弯曲正应力*§6-3对称弯曲切应力横力弯曲时，梁横截面既有弯矩，也有剪力，相应也必有切应力。基本假设：⑴截面上各点切应力与剪力同向；⑵距中性轴等距离各点的切应力相等。在梁上截一微段dx

，再在微段上用水平截面mn

截一微元。FSFSMM+dM1122dxmn弯曲应力一、矩形截面梁的弯曲切应力*对称弯曲切应力

'

12mnx12

'

yy*b

dAFF+dF12dxmnyxz平衡条件：dxh/2y*于是得对称弯曲切应力

'

yy*b

dAF12dxmnyxF+dF*式中Sz(

)

为截面求应力那点到截面边缘所围面积对中性轴的静矩。

max由此式可知，切应力的大小沿截面高度呈抛物线分布。中性轴上切应力最大，上下边缘切应力为零。zbh/2h/2y

对称弯曲切应力*翼板腹板bz

max

式中

为腹板的厚度。对称弯曲切应力二、工字形薄壁截面梁的弯曲切应力*b

z

max其中，Sz,max为中性轴一侧截面对中性轴的静矩。T形截面圆形截面环形截面

maxz

maxz

maxz对称弯曲切应力*[例]图示梁由三块板胶合而成，横截面尺寸如图，求A+截面的最大切应力和胶缝的切应力。AB4m604040解：FAy

=6kNFBy

=6kNq=3kN/m40对称弯曲切应力*§5–4梁的强度条件与合理强度设计梁要安全工作，必须同时满足正应力强度条件和切应力强度条件。1.正应力强度条件对于等截面梁：一、梁的强度条件弯曲应力*梁的强度条件与合理强度设计根据强度条件可进行下述工程计算：(1)强度校核；(2)设计截面尺寸；(3)确定许用载荷。2.切应力强度条件对于等截面梁：矩形等截面梁：*利用强度条件进行工程计算时，需首先确定梁的危险截面。

(1)梁的最大正应力发生在弯矩最大截面离中性轴最远点处；

(2)梁的最大切应力通常发生在剪力最大截面的中性轴上。一般来说，梁的最大正应力与最大切应力并不在同一截面上，弯矩图上最大弯矩对应于梁的最大正应力所在截面，剪力图上最大剪力对应于梁的最大切应力所在截面。梁的强度条件与合理强度设计*[例]梁的载荷及截面尺寸如图所示，材料的许用拉应力[

t]=40MPa，许用压应力[

c]=100MPa，许用切应力[

]=20MPa。校核该梁的强度。解：求支座反力；画内力图；计算截面惯性矩AB3m1m2mCDq=10kN/mF=20kNFBy

=30kNFDy

=10kN10kNFS20kN

m10kN

m○－⊕⊕○－○－10kN20kNMxxCz2002003030157.5梁的强度条件与合理强度设计*B截面：C截面：AB3m1m2mCDFBy

=30kNFDy

=10kNq=10kN/mF=20kN10kNFS20kN

m10kN

m○－⊕⊕○－○－10kN20kNMxxCz2002003030157.5梁的强度条件与合理强度设计*经比较可知，最大拉应力发生在C截面的下边缘；最大压应力发生在B截面的下边缘；最大切应力发生在B-截面的中性轴上。AB3m1m2mCDFBy

=30kNFDy

=10kNq=10kN/mF=20kN10kNFS20kN

m10kN

m○－⊕⊕○－○－10kN20kNMxxCz2002003030157.5梁的强度条件与合理强度设计*此梁安全AB3m1m2mCDFBy

=30kNFDy

=10kNq=10kN/mF=20kN10kNFS20kN

m10kN

m○－⊕⊕○－○－10kN20kNMxxCz2002003030157.5梁的强度条件与合理强度设计*AB3m[例]图示工字形截面梁，已知许用正应力[

]=170MPa，许用切应力[

]=100MPa

，选择工字钢的型号。3mCD解：求支座反力；画剪力图和弯矩图。梁的强度主要由正应力条件控制，先用正应力强度条件选择型号，再用切应力条件校核。2

mFBy

=29kNFDy

=13kNq=6kN/mF=30kN⊕⊕○－○－○－13kN17kN12kN12kN

m39kN

mFSMxx梁的强度条件与合理强度设计*选20a工字钢：Wx=237cm3,d=7mm，Ix/Sx=17.2cm。AB3m3m2

mCDFBy

=29kNFDy

=13kN17kNq=6kN/mF=30kN⊕⊕○－○－○－13kN17kN12kN12kN

m39kN

mFSMxx梁的强度条件与合理强度设计*[例]图示梁由两根木料胶合而成。木材的许用正应力[

]=10MPa，许用切应力[

]=1.0MPa

，胶缝的容许切应力[

1]=0.4MPa，确定许用载荷集度[q]。AB3mz10010050解：求支座反力；画剪力图与弯矩图

1.按正应力强度条件确定许用载荷qFAy

=1.5qFBy

=1.5q1.5q⊕⊕○－1.5q1.125qFSMxx梁的强度条件与合理强度设计*

2.按切应力强度条件确定许用载荷AB3m10010050FAy

=1.5qFBy

=1.5qqz梁的强度条件与合理强度设计1.5q⊕⊕○－1.5q1.125qFSMxx*

3.按胶缝切应力强度条件确定许用载荷AB3m10010050FAy

=1.5qFBy

=1.5qqz梁的强度条件与合理强度设计1.5q⊕⊕○－1.5q1.125qFSMxx*梁的设计主要依据正应力强度条件，即由正应力强度条件可知，要提高梁的强度可从降低最大弯矩Mmax和增大抗弯截面系数Wz来考虑。1.选择合理的截面形状梁的抗弯截面系数Wz与截面尺寸和形状有关，截面面积相同的情况下，Wz越大截面形状越合理。下面对矩形、方形、圆形截面加以比较。二、梁的合理强度设计梁的强度条件与合理强度设计*zhbCaaCzdzC矩形截面比正方形截面好正方形截面比圆形截面好梁的强度条件与合理强度设计*zz弯曲正应力沿截面高度呈线性分布，对于矩形截面梁，中性轴附近相对于上下边缘，正应力很小，未充分发挥材料作用，若将这部分材料移到离中性轴较远处，就可大大地提高梁的承载能力。z2.变截面梁与等强度梁对于等截面梁，除Mmax所在截面外，其余截面的材料强度均未得到充分利用。故可将梁设计成横截面沿梁轴变化的梁，即变截面梁。梁的强度条件与合理强度设计*理想的变截面梁是使各截面上的最大正应力相同，并等于许用应力。各个截面具有同样强度的梁，称为等强度梁。等强度梁的抗弯截面系数设计如下：变截面梁悬臂凉台吊车梁FABq梁的强度条件与合理强度设计*3.梁的合理受力通过改善梁的受力情况，可降低梁的最大弯矩，提高梁的正应力强度。ABlqAB2l/3l/6l/6qql2/8⊕Mxql2/72ql2/72ql2/24⊕Mx梁的强度条件与合理强度设计*ABl/4l/2Fl/4ABl/2l/2FC⊕Fl/4Mx⊕Fl/8Mx梁的强度条件与合理强度设计*[例]从直径为d的圆木截取一矩形截面梁，按强度要求选择最合理的高宽尺寸h、b。bzyhdC解：使所截矩形的Wz

越大越好。梁的强度条件与合理强度设计*[例]吊装一混凝土梁，索绳所系位置x为多少梁最安全？qlxx解：梁的最大弯矩最小时最安全。当梁的最大正弯矩与最大负弯矩相等时，梁的最大弯矩最小。⊕qx2/2qx2/2ql2/8-

qlx/2○－－○梁的强度条件与合理强度设计*§5-5双对称截面梁的非对称弯曲

xyzFFzFyxyzFyxyzFz+Fy

=Fcos

Fz

=Fsin

弯曲应力*双对称截面梁的非对称弯曲xyzFyxyzFzxxzzyyMz

=FyxMy=Fzxbbhh*zzyyMz

=FyxMy=Fzxbbhhzybhef+双对称截面梁的非对称弯曲*中性轴的位置yzOF

zybhefy0z0

ef双对称截面梁的非对称弯曲*ABl[例]图示矩形截面木梁载荷作用线如图所示。已知q=0.5kN/m，l=4m，=30°，