山西省祁县二中2025届高二数学第一学期期末综合测试模拟试题含解析

山西省祁县二中2025届高二数学第一学期期末综合测试模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．大数学家阿基米德的墓碑上刻有他最引以为豪的数学发现的象征图——球及其外切圆柱(如图).以此纪念阿基米德发现球的体积和表面积，则球的体积和表面积均为其外切圆柱体积和表面积的（）A. B.C. D.2．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生"的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的，分别为3，1，则输出的等于A.5 B.4C.3 D.23．已知两个向量，若，则的值为（）A. B.C.2 D.84．在三棱锥中，，D为上的点，且，则（）A. B.C. D.5．若直线与直线平行，则（）A. B.C. D.6．设椭圆（）的左焦点为F，O为坐标原点．过点F且斜率为的直线与C的一个交点为Q（点Q在x轴上方），且，则C的离心率为（）A. B.C. D.7．已知a，b是互不重合直线，，是互不重合的平面，下列命题正确的是（）A.若，，则B.若，，，则C.若，，则D.若，，，则8．已知、是平面直角坐标系上的直线，“与的斜率相等”是“与平行”的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分条件也非必要条件9．函数，则曲线在点处的切线方程为（）A. B.C. D.10．在四棱锥中，底面为平行四边形，为边的中点，为边上的一列点，连接，交于，且，其中数列的首项，则（）A. B.为等比数列C. D.11．已知长方体的底面ABCD是边长为4的正方形，长方体的高为，则与对角面夹角的正弦值等于（）A. B.C. D.12．已知函数，，若对任意的，，都有成立，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．圆与圆的位置关系为______(填相交，相切或相离).14．已知向量，，，若，则____________.15．曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为__________.16．设圆，圆，则圆有公切线___________条.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知空间中三点，，，设，（1）求向量与向量的夹角的余弦值；（2）若与互相垂直，求实数的值18．（12分）如图，在长方体中，底面是边长为1的正方形，侧棱长为2，且动点P在线段AC上运动（1）若Q为的中点，求点Q到平面的距离；（2）设直线与平面所成角为，求的取值范围19．（12分）已知函数R)（1）当时，求函数的图象在处的切线方程；（2）求的单调区间20．（12分）已知函数图像在点处的切线方程为.（1）求实数、的值；（2）求函数在上的最值.21．（12分）如图，在半径为6m的圆形O为圆心铝皮上截取一块矩形材料OABC，其中点B在圆弧上，点A，C在两半径上，现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面不计剪裁和拼接损耗，设矩形的边长|AB|xm，圆柱的体积为Vm3.（1）写出体积V关于x的函数关系式，并指出定义域；（2）当x为何值时，才能使做出的圆柱形罐子的体积V最大最大体积是多少?22．（10分）已知椭圆焦距为，点在椭圆C上（1）求椭圆C的方程；（2）过点的直线与C交于M，N两点，点R是直线上任意一点，设直线的斜率分别为，若，求的方程

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】设球的半径为,则圆柱的底面半径为，高为，分别求出球的体积与表面积，圆柱的体积与表面积，从而得出答案.【详解】设球的半径为,则圆柱的底面半径为，高为所以球的体积为,表面积为.圆柱的体积为：,所以其体积之比为：圆柱的侧面积为：,圆柱的表面积为：所以其表面积之比为：故选：C2、B【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【详解】解：当n＝1时，a＝3，b＝2，满足进行循环的条件，当n＝2时，a，b＝4，满足进行循环的条件，当n＝3时，a，b＝8，满足进行循环的条件，当n＝4时，a，b＝16，不满足进行循环的条件，故输出的n值为4，故选：B【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答3、B【解析】直接利用空间向量垂直的坐标运算计算即可.【详解】因为，所以，即，解得.故选：B4、B【解析】根据几何关系以及空间向量的线性运算即可解出【详解】因为，所以，即故选：B5、D【解析】根据两直线平行可得出关于实数的等式，由此可解得实数的值.【详解】由于直线与直线平行，则，解得.故选：D.6、D【解析】连接Q和右焦点，可知|OQ|＝，可得∠FQ＝90°，由得，写出两直线方程，联立可得Q点坐标，Q点坐标代入椭圆标准方程可得a、b、c关系﹒【详解】设椭圆右焦点为，连接Q，∵，，∴|OQ|＝，∴∠FQ＝90°，∵，∴，FQ过F(－c，0)，Q过(c，0)，则，由，∵Q在椭圆上，∴，又，解得，∴离心率故选：D7、B【解析】根据线线，线面，面面位置关系的判定方法即可逐项判断.【详解】A：若，，则或a，故A错误；B：若，，则a⊥β，又，则a⊥b，故B正确；C：若，，则或α与β相交，故C错误；D：若，，，则不能判断α与β是否垂直，故D错误.故选：B.8、D【解析】根据直线平行与直线斜率的关系，即可求解.【详解】解：与的斜率相等”，“与可能重合，故前者不可以推出后者，若与平行，与的斜率可能都不存在，故后者不可以推出前者，故前者是后者的既非充分条件也非必要条件，故选：D.9、D【解析】对函数求导，利用导数的几何意义求出切线斜率即可计算作答.【详解】依题意，，即有，而，则过点，斜率为1的直线方程为：，所以曲线在点处切线方程为.故选：D10、A【解析】由得，为边的中点得，设，所以，根据向量相等可判断A选项；由得是公比为的等比数列，可判断B选项；代入可判断C选项；当时可判断D选项.【详解】由得，因为为边的中点，所以，所以设，所以，所以，当时，A选项正确；，由得，是公比为的等比数列，所以，所以，所以，不是常数，故B选项错误；所以，由得，故C选项错误；当时，，所以，此时为的中点，与重合，即，，故D错误.故选：A.11、C【解析】建立空间直角坐标系，结合空间向量的夹角坐标公式即可求出线面角的正弦值.【详解】连接，建立如图所示的空间直角坐标系∵底面是边长为4的正方形，，∴，，，因为,，且，所以平面，∴，平面的法向量，∴与对角面所成角的正弦值为故选：C.12、B【解析】根据题意，将问题转化为对任意的，，利用导数求得的最大值，再分离参数，构造函数，利用导数求其最大值，即可求得参数的取值范围.【详解】由题可知：对任意的，，都有恒成立，故可得对任意的，；又，则，故在单调递减，在单调递增，又，，则当时，,.对任意的，，即，恒成立.也即，不妨令，则，故在单调递增，在单调递减.故，则只需.故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、相交【解析】求两圆圆心距，并与半径之和、半径之差的绝对值比较即可.【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，∵，∴两圆相交.故答案为：相交.14、【解析】首先求出的坐标，再根据向量垂直得到，即可得到方程，解得即可；【详解】解：因为向量，，，所以向量，因为，所以，即，解得故答案为：15、【解析】运用导数的几何意义进行求解即可.【详解】由，所以，而，所以切线方程为：，令，得，令，得，所以三角形的面积为：，故答案为：16、2【解析】将圆转化成标准式，结合圆心距判断两圆位置关系，进而求解.【详解】由题意得，圆：，圆：，∴，∴与相交，有2条公切线.故答案为：2三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）或.【解析】（1）坐标表示出、，利用向量夹角的坐标表示求夹角余弦值；（2）坐标表示出k＋、k－2，利用向量垂直的坐标表示列方程求的值.【详解】由题设，＝(1,1,0)，＝(－1,0,2)（1）cosθ＝，所以和的夹角余弦值为.（2）k＋＝k(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k－1,k,2)，k－2＝(k＋2,k,－4)，又(k＋)⊥(k－2)，则(k－1,k,2)·(k＋2,k,－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝2k2＋k－10＝0，解得k＝－或2.18、（1）1（2）【解析】(1)以AB，AD，为x，y，z轴正向建立直角坐标系，利用空间向量法求出平面的法向量，结合点到平面的距离的向量求法计算即可；(2)设点，，进而得出的坐标，利用向量的数量积即可列出线面角正弦值的表达式，结合二次函数的性质即可得出结果.【小问1详解】由题意，分别以AB，AD，为x，y，z轴正向建立直角坐标系，于是，，，，，设平面法向量所以，解得，，令得，，设点Q到平面的距离为d，【小问2详解】由（1）可知，平面的法向量，由P点在线段AC上运动可设点，于是，，所以，的取值范围是19、（1）（2）答案见解析【解析】(1)根据切点处的导数等于切线斜率，切点在曲线上可得切线方程；(2)求导，分类讨论可得.【小问1详解】当时，，，，则，所以在处的切线方程为【小问2详解】，，当时，，函数在R上单调递增；当时，令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增当时，的单调递增区间为，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为20、（1）a=3，b=-9.（2）最小值=-24，最大值=8.【解析】由曲线在的值以及切线斜率容易确定a与b的值；根据导数很容易确定函数单调区间以及极值点.【小问1详解】，，，由于切线方程是，当x=1时，y=-8，即，即=-8……①；又切线的斜率为-12，∴……②；联立①②得.【小问2详解】由（1）得：，；当时，，导函数图像如下：在时，单调递增，时，单调递减，时单调递增；∴在x=-1有极大值，x=3有极小值；在区间内：在x=-1有最大值；在x=3有最小值.21、（1），；（2）时，最大值为m3.【解析】(1)连接，在中，由，利用勾股定理可得，设圆柱底面半径为，求出．利用(其中即可得出；(2)利用导数，求出V的单调性，即可得出结论【小问1详解】连接，在中，，，设圆柱底面半径为，则，即，，其中【小问2详解】由及，得，列表如下：，0↗极大值↘∴当时，有极大值，也是最大值为m322、（1）；（2）.【解析】（1