浙江省杭州市八校联盟2025届高二数学第一学期期末检测模拟试题含解析

浙江省杭州市八校联盟2025届高二数学第一学期期末检测模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图，在正方体中，点，分别是面对角线与的中点，若，，，则（）A. B.C. D.2．在平面上给定相异两点，设点在同一平面上且满足，当且时，点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆.现有双曲线，为双曲线的左、右顶点，为双曲线的虚轴端点，动点满足，面积的最大值为，面积的最小值为，则双曲线的离心率为（）A. B.C. D.3．四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若，则等于（）A.1 B.C. D.24．若函数在区间单调递增，则的取值范围是（）A. B.C. D.5．在等差数列中，为其前n项和，，则（）A.55 B.65C.15 D.606．已知等比数列的前n项和为，公比为q，若，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.7．下列命题是真命题的个数为（）①不等式的解集为②不等式的解集为R③设，则④命题“若，则或”为真命题A1 B.2C.3 D.48．已知两条直线：，：，且，则的值为()A.－2 B.1C.－2或1 D.2或－19．某校去年有1100名同学参加高考，从中随机抽取50名同学总成绩进行分析，在这个调查中，下列叙述错误的是A.总体是：1100名同学的总成绩 B.个体是：每一名同学C.样本是：50名同学的总成绩 D.样本容量是：5010．函数直线与的图象相交于A、B两点，则的最小值为（）A.3 B.C. D.11．若圆与直线相切，则实数的值为（）A. B.或3C. D.或12．若命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，以为圆心的圆经过原点，且与抛物线的准线相切，切点为，线段交抛物线于点，则___________.14．如图，在直棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为___________.15．将数列{n}按“第n组有n个数”的规则分组如下：（1），(2，3)，(4，5，6)，…，则第22组中的第一个数是_________16．在等差数列中，，公差，则_________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知命题：方程表示焦点在轴上的双曲线，命题：关于的方程无实根（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若“”为假命题，"”为真命题，求实数的取值范围18．（12分）已知函数，（1）求的单调区间；（2）当时，求证：在上恒成立19．（12分）已知命题：“，”，命题：“，”，若“且”为真命题，求实数的取值范围20．（12分）已知等差数列的前n项和为，若公差，且，，成等比数列.（1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和.21．（12分）为了讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进学生对中国共产党的热爱，某学校举办了一场党史竞赛活动，共有名学生参加了此次竞赛活动．为了解本次竞赛活动的成绩，从中抽取了名学生的得分（得分均为整数，满分为分）进行统计，所有学生的得分都不低于分，将这名学生的得分进行分组，第一组，第二组，第三组，第四组（单位：分），得到如下的频率分布直方图（1）求图中的值，估计此次竞赛活动学生得分的中位数；（2）根据频率分布直方图，估计此次竞赛活动得分的平均值．若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请估计在参赛的名学生中有多少名学生获奖22．（10分）已知圆的圆心为，且经过点.（1）求圆的标准方程；（2）已知直线与圆相交于、两点，求.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】由空间向量运算法则得,利用向量的线性运算求出结果.【详解】因为点，分别是面对角线与的中点，，，，所以故选:D.2、C【解析】先求动点的轨迹方程，再根据面积的最大值求得，根据的面积最小值求，由此可求双曲线的离心率.【详解】设，，,依题意得,即,两边平方化简得,所以动点的轨迹是圆心为,半径的圆，当位于圆的最高点时的面积最大，所以,解得；当位于圆的最左端时的面积最小，所以,解得,故双曲线的离心率为.故选:C.3、B【解析】运用向量的线性运用表示向量，对照系数，求得，代入可得选项.【详解】因为，所以，所以，所以，解得，所以，故选：B.4、A【解析】函数在区间上单调递增，转化为导函数在该区间上大于等于0恒成立，进而求出结果.【详解】由题意得：在区间上恒成立，而，所以.故选：A5、B【解析】根据等差数列求和公式结合等差数列的性质即可求得.【详解】解析：因为为等差数列，所以，即，.故选:B6、D【解析】根据，可求得，然后逐一分析判断各个选项即可得解.【详解】解：因为，所以，因为，所以，所以，故A错误；又，所以，所以，所以，故BC错误；所以，故D正确.故选：D.7、B【解析】举反例判断A，解一元二次不等式确定B，由导数的运算法则求导判断C，利用逆否命题判断D【详解】显然不是的解，A错；，B正确；，，C错；命题“若，则或”的逆否命题是：若且，则，是真命题，原命题也是真命题，D正确真命题个数2.故选：B8、B【解析】两直线平行，倾斜角相等，斜率均不存在或斜率存在且相等，据此即可求解.【详解】：，：斜率不可能同时不存在，∴和斜率相等，则或，∵m＝－2时，和重合，故m＝1.另解：，故m=1.故选：B.9、B【解析】采用逐一验证法，根据总体，个体，样本的概念，可得结果.【详解】据题意：总体是1100名同学的总成绩，故A正确个体是每名同学的总成绩，故B错样本是50名同学的总成绩，故C正确样本容量是：50，故D正确故选：B【点睛】本题考查总体，个体，样本的概念，属基础题.10、C【解析】先求出AB坐标，表示出，规定函数，其中，利用导数求最小值.【详解】联立解得可得点．联立解得可得点．由题意可得解得，令，其中，∴．∴函数单调递减；．因此，的最小值为故选：C【点睛】距离的最值求解：（1）几何法求最值；（2）代数法：表示出距离，利用函数求最值.11、D【解析】利用圆心到直线的距离等于半径可得答案.【详解】若圆与直线相切，则到直线的距离为，所以，解得，或.故选：D.12、A【解析】根据命题与它的否定命题一真一假，写出该命题的否定命题，再求实数的取值范围【详解】解：命题“，”是假命题，则它的否定命题“，”是真命题，时，不等式为，显然成立；时，应满足，解得，所以实数的取值范围是故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】分析可知为等腰三角形，可得出，将点的坐标代入抛物线的方程，可求得的值，可得出抛物线的方程以及点的坐标，求出点的坐标，设点，其中，分析可知，利用平面向量共线的坐标表示求出的值，进而可求得结果.【详解】由抛物线的定义结合已知条件可知，则为等腰三角形，易知抛物线的焦点为，故，即点，因为点在抛物线上，则，解得，所以，抛物线的方程为，故点、，因为以点为圆心，为半径的圆与直线相切于点，则，设点，其中，，，由题意可知，则，整理可得，解得，因此，.故答案为：.14、【解析】建立空间直角坐标系后求相关的向量后再用夹角公式运算即可.【详解】如图，以C为坐标原点，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则，所以，所以，故异面直线与所成角的余弦值为，故答案为:.15、【解析】由已知，第组中最后一个数即为前组数的个数和，由此可求得第21组的最后一个数，从而就可得第22组的第一个数.【详解】由条件可知，第21组的最后一个数为，所以第22组的第1个数为.故答案为：16、15【解析】由等差数列通项公式直接可得.【详解】.故答案为：15三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】(1)由双曲线标准方程的性质得，即可求m的范围；(2)当q命题为真时，方程无实根，判别式小于零，求得m的范围，再由复合命题的真假得和一真一假，列出不等式组运算可得解【小问1详解】∵方程表示焦点在轴上的双曲线，∴，解得【小问2详解】若为真命题，则，解得，∵“”为假命题，”为真命题，∴一真一假当真假时，“”且“或”，则；当假真时，，则综上所述，实数的取值范围是18、（1）单调减区间为，单调增区间为；（2）证明见解析.【解析】（1）求得，根据其正负，即可判断函数单调性从而求得函数单调区间；（2）根据题意，转化目标不等式为，分别构造函数，，利用导数研究其单调性，即可证明.【小问1详解】因为，故可得，又为单调增函数，令，解得，故当时，；当时，，故的单调减区间为，单调增区间为.【小问2详解】当时，，要证，即证，又，则只需证，即证，令，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故当时，取得最大值；令，，又为单调增函数，且时，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故当时，取得最小值.则，且当时，同时取得最小值和最大值，故，即，也即时恒成立.【点睛】本题考察利用导数求函数的单调区间，以及利用导数研究恒成立问题；处理本题的关键是合理转化目标式，属中档题.19、或【解析】先分别求出，为真时，的范围；再求交集，即可得出结果.【详解】若是真命题．则对任意恒成立，∴；若为真命题，则方程有实根，∴，解得或，由题意，真也真，∴或即实数的取值范围是或.20、（1）；（2）.【解析】（1）由等差数列的通项公式、前n项和公式结合等比数列的性质列方程可得数列首项与公差，即可得解；（2）由，结合裂项相消法即可得解.【详解】（1）因为数列为等差数列，，，，成等比数列，所以，所以，即，又因为，所以，所以；（2）因为，所以.【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的综合应用及裂项相消法的应用，考查了运算求解能力，属于中档题.21、（1），中位数为；（2）得分的平均值为，估计有260名学生获奖.【解析】(1)根据给定的频率分布直方图，利用各小矩形面积和为1计算得值；再由在中位数两侧所对小矩形面积相等即可计算得解.(2)由频率分布直方图求平均数的方法求出得分平均值即可估计；再求出不低于平均分的频率即可估计获奖人数.【小问1详解】由频率分布直方图知：，解得，设此次竞赛活动学生得分的中位数为，因数据落在内的频率为0.4，落在内的频率为0.8，从而可得，由得