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文档简介
池州市重点中学2025届高二上数学期末学业水平测试试题考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.第届全运会于年月在陕西西安顺利举办,其中水上项目在西安奥体中心游泳跳水馆进行,为了应对比赛,大会组委会将对泳池进行检修,已知泳池深度为,其容积为,如果池底每平方米的维修费用为元,设入水处的较短池壁长度为,且据估计较短的池壁维修费用与池壁长度成正比,且比例系数为,较长的池壁维修费用满足代数式,则当泳池的维修费用最低时值为()A. B.C. D.2.已知经过两点(5,m)和(m,8)的直线的斜率等于1,则m的值为()A.5 B.8C. D.73.某次数学考试试卷评阅采用“双评+仲裁”的方式,规则如下:两位老师独立评分,称为一评和二评,当两者所评分数之差的绝对值小于或等于分时,取两者平均分为该题得分;当两者所评分数之差的绝对值大于分时,再由第三位老师评分,称之为仲裁,取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分.如图所示,当,,时,则()A. B.C.或 D.4.设,是椭圆C:的左、右焦点,若椭圆C上存在一点P,使得,则椭圆C的离心率e的取值范围为()A. B.C. D.5.已知1与5的等差中项是,又1,,,8成等比数列,公比为,则的值为()A.5 B.4C.3 D.66.为推动党史学习教育各项工作扎实开展,营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓厚氛围,某校党委计划将中心组学习、专题报告会、党员活动日、主题班会、主题团日这五种活动分5个阶段安排,以推动党史学习教育工作的进行,若主题班会、主题团日这两个阶段相邻,且中心组学习必须安排在前两阶段并与党员活动日不相邻,则不同的安排方案共有()A.10种 B.12种C.16种 D.24种7.如图,是边长为4的等边三角形的中位线,将沿折起,使得点A与P重合,平面平面,则四棱锥外接球的表面积是()A. B.C. D.8.已知点,是椭圆:的左、右焦点,是的左顶点,点在过且斜率为的直线上,为等腰三角形,且,则的离心率为()A. B.C. D.9.某中学的“希望工程”募捐小组暑假期间走上街头进行了一次募捐活动,共收到捐款1200元.他们第1天只得到10元,之后采取了积极措施,从第2天起,每一天收到的捐款都比前一天多10元.这次募捐活动一共进行的天数为()A.13 B.14C.15 D.1610.数列的通项公式是()A. B.C. D.11.如图,把椭圆的长轴分成6等份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于点,F是椭圆C的右焦点,则()A.20 B.C.36 D.3012.设,,,则下列不等式中一定成立的是()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.如图,正方体的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号).①当时,S为四边形;②当时,S为等腰梯形;③当时,S与的交点R满足;④当时,S为六边形;⑤当时,S的面积为.14.从10名大学毕业生中选3个人担任村主任助理,则甲、乙至少有1人入选,而丙没有入选不同选法的种数为___________.15.射击队某选手命中环数的概率如下表所示:命中环数10987概率0.320.280.180.120.1该选手射击两次,两次命中环数相互独立,则他至少命中一次9环或10环的概率为_________________.(结果用小数表示)16.若点到点的距离比它到定直线的距离小1,则点满足的方程为_____________三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知椭圆的左,右焦点分别为,三个顶点(左、右顶点和上顶点)构成的三角形的面积为,离心率为方程的根.(1)求椭圆方程;(2)椭圆的一个内接平行四边形的一组对边分别过点和,如图,若这个平行四边形面积为,求平行四边形的四个顶点的纵坐标的乘积.18.(12分)如图,在三棱锥中,,平面,,分别为棱,的中点.(1)求证:;(2)若,,二面角的大小为,求三棱锥的体积.19.(12分)已知函数,.(1)讨论函数的单调性;(2)若不等式在上恒成立,求实数的取值范围.20.(12分)已知函数(1)求曲线在点(e,)的切线方程;(2)求函数的单调区间.21.(12分)已知关于的不等式(1)若不等式的解集为,求的值(2)若不等式的解集为,求的取值范围22.(10分)如图,在长方体中,,,,M为上一点,且(1)求点到平面的距离;(2)求二面角的余弦值
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】根据题意得到泳池维修费用的的解析式,再利用导数求出最值即可【详解】解:设泳池维修的总费用为元,则由题意得,则,令,解得,当时,;当时,,故当时,有最小值因此,当较短池壁为时,泳池的总维修费用最低故选A2、C【解析】根据斜率的公式直接求解即可.【详解】由题可知,,解得.故选:C【点睛】本题主要考查了两点间斜率的计算公式,属于基础题.3、B【解析】按照框图考虑成立和不成立即可求解.【详解】因为,,,所以输入,当成立时,,即,解得,,满足条件;当不成立时,,即,解得,,不满足条件;故.故选:B.4、B【解析】先设,根据P在椭圆上得到,由,得到的范围,即为离心率的范围.【详解】由椭圆的方程可得,,设,由,则,即,由P在椭圆上可得,所以,代入可得所以,因为,所以整理可得:,消去得:所以,即所以.故选:B5、A【解析】由等差中项的概念列式求得值,再由等比数列的通项公式列式求解,则答案可求.【详解】由题意,,则;又1,,,8成等比数列,公比为,,即,,故选:.6、A【解析】对中心组学习所在的阶段分两种情况讨论得解.【详解】解:如果中心组学习在第一阶段,主题班会、主题团日在第二、三阶段,则其它活动有2种方法;主题班会、主题团日在第三、四阶段,则其它活动有1种方法;主题班会、主题团日在第四、五阶段,则其它活动有1种方法,则此时共有种方法;如果中心组学习在第二阶段,则第一阶段只有1种方法,后面的三个阶段有种方法.综合得不同的安排方案共有10种.故选:A7、A【解析】分别取的中点,易得,则点为四边形的外接圆的圆心,则四棱锥外接球的球心在过点且垂直平面的直线上,设球心为,设外接球的半径为,,利用勾股定理求得半径,从而可得出答案.【详解】解:分别取的中点,在等边三角形中,,是中位线,则都是等边三角形,所以,所以点为四边形的外接圆的圆心,则四棱锥外接球的球心在过点且垂直平面的直线上,设球心为,由为的中点,所以,因为平面平面,且平面平面,平面,所以平面,则,设外接球半径为,,,则,,所以,解得,所以,所以四棱锥外接球的表面积是.故选:A.第II卷8、D【解析】设,先求出点,得,化简即得解【详解】由题意可知椭圆的焦点在轴上,如图所示,设,则,∵为等腰三角形,且,∴.过作垂直轴于点,则,∴,,即点.∵点在过点且斜率为的直线上,∴,解得,∴.故选:D【点睛】方法点睛:求椭圆的离心率常用的方法有:(1)公式法(求出椭圆的代入离心率的公式即得解);(2)方程法(通过已知找到关于离心率的方程解方程即得解).9、C【解析】由题意可得募捐构成了一个以10元为首项,以10元为公差的等差数列,设共募捐了天,然后建立关于的方程,求出即可【详解】由题意可得,第一天募捐10元,第二天募捐20元,募捐构成了一个以10元为首项,以10元为公差的等差数列,根据题意,设共募捐了天,则,解得或(舍去),所以,故选:10、C【解析】根据数列前几项,归纳猜想出数列的通项公式.【详解】依题意,数列的前几项为:;;;……则其通项公式.故选C.【点睛】本小题主要考查归纳推理,考查数列通项公式的猜想,属于基础题.11、D【解析】由椭圆的对称性可知,,代入计算可得答案.【详解】设椭圆左焦点为,连接由椭圆的对称性可知,,所以.故选:D.12、B【解析】利用特殊值法可判断ACD的正误,根据不等式的性质,可判断B的正误.【详解】对于A中,令,,,,满足,,但,故A错误;对于B中,因为,所以由不等式的可加性,可得,所以,故B正确;对于C中,令,,,,满足,,但,故C错误;对于D中,令,,,,满足,,但,故D错误故选:B二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、①②③⑤【解析】①由如图当点向移动时,满足,只需在上取点满足,即可得截面为四边形,如图所示,是四边形,故①正确;②当时,即为中点,此时可得PQ∥AD,AP=QD==,故可得截面APQD为等腰梯形,等腰梯形,故②正确;③当时,如图,延长至,使,连接交于,连接交于,连接,可证,由∽,可得,故可得,故③正确;④由③可知当时,只需点上移即可,此时的截面形状仍然如图所示的,如图是五边形,故④不正确;⑤当时,与重合,取的中点,连接,可证,且,可知截面为为菱形,故其面积为,如图是菱形,面积为,故⑤正确,故答案为①②③⑤考点:正方体的性质.14、49【解析】丙没有入选,相当于从9个人中选3人,分为两种情况:甲乙两人只有一人入选;甲乙两人都入选,分别求出每种情况的选法数,再利用分类加法计数原理即可得解.【详解】丙没有入选,把丙去掉,相当于从9个人中选3人,甲、乙至少有1人入选,分为两种情况:甲乙两人只有一人入选;甲乙两人都入选.甲乙两人只有一人入选,选法有种;甲乙两人都入选,选法有种.所以,满足题意的选法共有种.故答案为:49.【点睛】本题考查组合的应用,其中涉及到分类加法计数原理,属于中档题.一些常见类型的排列组合问题的解法:(1)特殊元素、特殊位置优先法元素优先法:先考虑有限制条件的元素的要求,再考虑其他元素;位置优先法:先考虑有限制条件的位置的要求,再考虑其他位置;(2)分类分步法:对于较复杂的排列组合问题,常需要分类讨论或分步计算,一定要做到分类明确,层次清楚,不重不漏;(3)间接法(排除法),从总体中排除不符合条件的方法数,这是一种间接解题的方法;(4)捆绑法:某些元素必相邻的排列,可以先将相邻的元素“捆成一个”元素,与其它元素进行排列,然后再给那“一捆元素”内部排列;(5)插空法:某些元素不相邻的排列,可以先排其它元素,再让不相邻的元素插空;(6)去序法或倍缩法;(7)插板法:个相同元素,分成组,每组至少一个的分组问题.把个元素排成一排,从个空中选个空,各插一个隔板,有;(8)分组、分配法:有等分、不等分、部分等分之别.15、84【解析】先求出该选手射击两次,两次命中的环数都低于9环的概率,由对立事件的概率可得答案.【详解】该选手射击一次,命中的环数低于9环的概率为该选手射击两次,两次命中的环数都低于9环的概率为所以他至少命中一次9环或10环的概率为故答案:0.8416、【解析】根据抛物线的定义可得动点的轨迹方程【详解】点到点的距离比它到直线的距离少1,所以点到点的距离与到直线的距离相等,所以其轨迹为抛物线,焦点为,准线为,所以方程为,故答案为:三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2).【解析】(1)由椭圆离心率的性质及一元二次方程的根可得,再由椭圆参数关系、已知三角形面积求椭圆参数,即可得椭圆方程.(2)设直线,联立椭圆方程并结合韦达定理求,进而可得,再根据求参数t,可得,结合椭圆的对称性求,即可求结果.【小问1详解】由的根为,所以椭圆的离心率,依题意,,解得,即椭圆的方程为;【小问2详解】设直线,联立,消去得,由韦达定理得:,所以,所以,所以椭圆的内接平行四边形面积.所以,解得或(舍去),所以,根据椭圆的对称性知:,故平行四边形的四个顶点的纵坐标的乘积为.18、(1)证明见解析;(2).【解析】(1)利用线面垂直的判定定理及性质即证;(2)利用坐标法,结合条件可求,然后利用体积公式即求.【小问1详解】,是的中点,,平面,平面,,又,平面,平面,;【小问2详解】,,,取的中点,连接,则,平面,以为坐标原点,分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系,设,则,,,,,,,,设平面的一个法向量为,由,取,得;设平面的一个法向量为,由,取,得,∵二面角的大小为,,解得,,则三棱锥的体积.19、(1)时,函数在单调递增,无减区间;时,函数在单调递增,在单调递减.(2).【解析】(1)对求导得到,分和进行讨论,判断出的正负,从而得到的单调性;(2)设函数,分和进行讨论,根据的单调性和零点,得到答案.【详解】解:(1)函数定义域是,,当时,,函数在单调递增,无减区间;当时,令,得到,即,所以,,单调递增,,,单调递减,综上所述,时,函数在单调递增,无减区间;时,函数在单调递增,在单调递减.(2)由已知在恒成立,令,,可得,则,所以在递增,所以,①当时,,在递增,所以成立,符合题意.②当时,,当时,,∴,使,即时,在递减,,不符合题意.综上得【点睛】本题考查利用导数讨论函数的单调性,根据导数解决不等式恒成立问题,属于中档题.
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