中考数学试题分类汇编考点22勾股定理含解析-初中

2018中考数学试题分类汇编：考点22勾股定理

选择题（共7小题）

1.（2018•滨州）在直角三角形中，若勾为3,股为4,则弦为（）

A.5B.6C.7D.8

【分析】直接根据勾股定理求解即可.

【解答】解：•••在直角三角形中，勾为3,股为4,

弦为匠工05.

故选：A.

2.（2018•枣庄）如图，在RtZ\ABC中，NACB=90°,CD1AB,垂足为D,AF平分NCAB,

交CD于点E,交CB于点F.若AC=3,AB=5,则CE的长为（）

【分析】根据三角形的内角和定理得出NCAF+NCFA=90°,ZFAD+ZAED=90°,根据角

平分线和对顶角相等得出NCEF二NCFE,即可得出EC=FC,再利用相似三角形的判定与

性质得出答案.

【解答】解：过点F作FGLAB于点G,

VZACB=90°,CD1AB,

/.ZCDA=90°,

AZCAF+ZCFA=90°,NFAD+NAED=90°,

〈AF平分NCAB,

JNCAF二NFAD,

AZCFA=ZAED=ZCEF,

・・・CE=CF,

YAF平分NCAB,NACF=NAGF=90°,

AFC=FG,

VZB=ZB,ZFGB=ZACB=90°,

.,.△BFG^ABAC,

.BF_FG

「年而‘

VAC=3,AB=5,ZACB=90°,

ABCM,

.4-FC_FG

••_,

53

VFC=FG,

•.•4-FCFC，

53

解得：FC=-^-,

3.(2018•泸州)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学

的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一

个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b.若ab=8,大正方形

【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a-b,根据勾股定理以及题目给出的己

知数据即可求出小正方形的边长.

【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a-b,

•.•每一个直角三角形的面积为：gab==X8=4,

22

，4X京+(a-b)J25,

:.(a-b)2=25-16=9,

/.a-b=3,

故选：D.

2

4.（2018•温州）我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）

分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式.后人借助这种分割方法

所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a=3,b=4,

则该矩形的面积为（）

【分析】欲求矩形的面积，则求出小正方形的边长即可，由此可设小正方形的边长为X,

在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立关于x的方程，解方程求出x的值，进而可

求出该矩形的面积.

【解答】解：设小正方形的边长为X,

*/a=3,b=4,

；.AB=3+4=7,

在RtZ\ABC中，AC2+BC2=AB2,

即（3+x）2+（x+4）守,

整理得，X2+7X-12=0,

解得x=*匣或x=上近（舍去），

22

该矩形的面积=（二It返Z+3）（二71^+4）=24,

22

故选：B.

5.（2018•娄底）如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169,小正

方形的面积为49,则sina-cosa=（)

A

-卷B--方吉D.

【分析】分别求出大正方形和小正方形的边长，再利用勾股定理列式求出AC,然后根

据正弦和余弦的定义即可求sina和cosa的值，进而可求出sina-cosa的值.

【解答】解：•.•小正方形面积为49,大正方形面积为169,

二小正方形的边长是7,大正方形的边长是13,

在RtAABC中，AC2+BC2=AB2,

即AC2+（7+AC）邑0，

整理得，AC2+7AC-60=0,

解得AC=5,AC=-12（舍去），

•,.BC=^AB2_AC2=i2,

/.sina-cos

131313

故选：D.

6.（2018•长沙）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题:

“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”

这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田

面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（）

A.7.5平方千米B.15平方千米C.75平方千米D.750平方千米

【分析】直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案.

【解答】V52+122=132,

.•.三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形，

,这块沙田面积为：—X5X500X12X500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）.

故选:A.

4

7.（2018•东营）如图所示，圆柱的高AB=3,底面直径BC=3,现在有一只蚂蚁想要从

A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是（）

【分析】要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用

勾股定理即可求解.

【解答】解：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点A、C的最短距离为线段AC的长.

在RtAADC中，ZADC=90°,CD=AB=3,AD为底面半圆弧长,AD=1.5”，

二.填空题（共8小题）

8.（2018•吉林）如图，在平面直角坐标系中，A（4,0）,B（0,3）,以点A为圆心,

AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C,则点C坐标为（-1,0）.

【分析】求出0A、0B,根据勾股定理求出AB,即可得出AC,求出0C长即可.

【解答】解：,••点A,B的坐标分别为（4,0）,（0,3）,

；.0A=4,0B=3,

在RtAAOB中，由勾股定理得：AB=^32+42=5）

.,.AC=AB=5,

，0C=5-4=1,

.,.点C的坐标为（-1,0）,

故答案为：（-1,0）,

9.（2018•玉林）如图，在四边形ABCD中，ZB=ZD=90°,ZA=60°,AB=4,则AD的

取值范围是2<AD<8.

【分析】如图，延长BC交AD的延长线于E,作BFLAD于F.解直角三角形求出AE、

AF即可判断；

【解答】解：如图，延长BC交AD的延长线于E,作BFLAD于F.

在RtZ\ABE中,：NE=3A°,AB=4,

.♦.AE=2AB=8,

在Rt/SABF中，AF=LB=2,

2

AAD的取值范围为2<AD<8,

故答案为2<ADV8.

10.（2018•襄阳）己知CD是aABC的边AB上的高，若CD=JWAD=1,AB=2AC,则BC

的长为2代或2近.

【分析】分两种情况：

①当AABC是锐角三角形，如图1,

②当AABC是钝角三角形，如图2,

分别根据勾股定理计算AC和BC即可.

【解答】解：分两种情况：

①当AABC是锐角三角形，如图1,

6

VCD±AB,

...NCDA=90°,

VCD=73-AD=1,

；.AC=2,

VAB=2AC,

AABM,

.\BD=4-1=3,

BC=VCD2+BD2=732+（V3）

②当aABC是钝角三角形，如图2,

同理得：AC=2,AB=4,

•••BC=VCD2+BDM（A/3）2+52=2V7：

综上所述，BC的长为2或2仃.

故答案为：2'破2d7

11.（2018•盐城）如图,在直角△ABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,P、Q分别为边BC、

AB上的两个动点，若要使4APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，则AQ=

30

千

【分析】分两种情形分别求解：①如图1中，当AQ=PQ,ZQPB=90°时，②当AQ=PQ,

NPQB=90°时;

【解答】解：①如图1中,当AQ=PQ,NQPB=90°时，设AQ=PQ二x,

VPQ//AC,

••.△BPQS/XBCA,

,BQ-PQ

*'BAAC'

・

••10-x_x，

106

4

/.AQ=—.

4

②当AQ=PQ,ZPQB=90°时，设AQ=PQ=y.

,/△BQP^ABCA,

.PQ_BQ

"ACBC'

•.•y_10-y，

68

._30

综上所述，满足条件的AQ的值为”或3乌.

47

cr6Qp

图1图2

12.（2018•黔南州）如图，已知在△ABC中,BC边上的高AD月AC边上的高BE交千点

F,且NBAC=45°,BD=6,CD=4,则AABC的面积为60.

A

BDC

【分析】首先证明4AEF丝△!?£（；,推出AF=BC=10,设DF=x.由△ADCSABDF,推出

祟黑，构建方程求出X即可解决问题；

DCDF

【解答】解：VAD1BC,BEXAC,AZAEF=ZBEC=ZBDF=90°;»

VZBAC=45°，

8

AAE=EB,

VZEAF+ZC=90°,ZCBE+ZC=90°,

ZEAF=ZCBE,

AAAEF^ABEC,

.\AF=BC=10,设DF=x.

VAADC^ABDF,

.AD_BD

••记F

・10+x6

**4x

整理得x2+10x-24=0,

解得x=2或-12（舍弃），

AAD=AF+DF=12,

•••SAW=L・BC・AD=LX10X12=60.

22

故答案为60.

13.（2018•滨州）如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,点E、F分别在BC、CD上,若

【分析】取AB的中点M,连接ME,在AD上截取ND=DF,设DF=DN=x,则NF=后，再利

用矩形的性质和已知条件证明△AMES/XFNA,利用相似三角形的性质：对应边的比值相

等可求出x的值，在直角三角形ADF中利用勾股定理即可求出AF的长.

【解答】解：取AB的中点M,连接ME,在AD上截取ND=DF,设DF=DN=x,

•..四边形ABCD是矩形，

.\ZD=ZBAD=ZB=90°,AD=BC=4,

NF=,AN=4-x,

VAB=2,

・「AE二灰，AB=2,

VZEAF=45°,

AZMAE+ZNAF=45°,

VZMAE+ZAEM=45°,

，ZMEA=ZNAF,

AAAME^AFNA,

.AMME

^FN^AN'

.1_近

A/2X4-X

解得：x=-^-.

14.（2018•湘潭）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中

记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几

何？”翻译成数学问题是：如图所示，AABC中，ZACB=90°,AC+AB=10,BC=3,求AC

的长，如果设AC=x,则可列方程为x、-（10-x）,.

【分析】设AC=x,可知AB=10-x,再根据勾股定理即可得出结论.

【解答】解：设AC=x,

VAC+AB=10,

/.AB=10-x.

•・•在RtZ\ABC中，ZACB=90°,

.,.AC2+BC2=AB2,即X>32=(10-x)2.

故答案为：X2+3Z=(10-x)2.

10

15.（2018•黄冈）如图，圆柱形玻璃杯高为14cm,底面周长为32cm,在杯内壁离杯底

5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点

A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为（杯壁厚度不计）.

蚂蚁4

3桌蜜

【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A',根据两点之间线段最短可知A'B

的长度即为所求.

【解答】解:如图:

将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A',

连接A'B,贝IJA'B即为最短距离，A'B=Q了高&5浸诉=20（cm）.

故答案为20.

三.解答题（共2小题）

16.（2018•杭州）如图，在△ABC中，ZACB=90°,以点B为圆心，BC长为半径画弧,

交线段AB于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E,连结CD.

（1）若/A=28°,求/ACD的度数.

（2）设BC=a,AC=b.

①线段AD的长是方程x2+2ax-1=0的一个根吗？说明理由.

②若AD=EC,求热■的值.

b

【分析】（1）根据三角形内角和定理求出NB,根据等腰三角形的性质求出NBCD,计

算即可；

（2）①根据勾股定理求出AD,利用求根公式解方程，比较即可；

②根据勾股定理列出算式，计算即可.

【解答】解：（1）VZACB=90°,ZA=28",

/.ZB=62°,

VBD=BC,

.♦./BCD=/BDC=59°,

.,.ZACD=900-ZBCD=31°；

（2）①由勾股定理得，AB=^AC2+BC2=^a2+b2,

.♦.AD刃a2+b?-a,

2222

解方程x+2ax-b=0得，x=Z2a±V1a!+4bl=±Va+b-a，

二线段AD的长是方程x2+2ax-b2=0的一个根；

@VAD=AE,

.*.AE=EC=—,

2

由勾股定理得，a2+b2=帝+a）2,

整理得，=4.

b4

17.（2018•台湾）嘉嘉参加机器人设计活动，需操控机器人在5X5的方格棋盘上从A

点行走至B点，且每个小方格皆为正方形，主办单位规定了三条行走路径R”R2,R3,

其行经位置如图与表所示：

路径编号图例行径位置

第一条路径Ri—A->C-D~B

第二条路径氏・・・A-E-DfF-B

第三条路径A-G-B

R3一

已知A、B、C、D、E、F、G七点皆落在格线的交点上，且两点之间的路径皆为直线，在

无法使用任何工具测量的条件下，请判断R,、R?、&这三条路径中，最长与最短的路径

分别为何？请写出你的答案，并完整说明理由.

12

B（终点）

【分析】利用勾股定理分别计算出三条路径的长，比较大小即可得.

［解答］解：第一条路径的长度为412+32+近2+］2+近2+32=2^^0,

第二条路径的长度为《12+12+J12+32+1+{12+2■近1,

第三条路径的长度为1心+22+1］2+3区2代+伍,

2V5+VTO<2扬倔］，

•二最长路径为AfEfDfFfB；最短路径为AfGfB.