广西桂林市2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题

广西桂林市20172018学年高一上学期期末考试数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合中所含元素为（）A.0，1B.，1C.，0D.1【答案】A【解析】，解，得，故选2.已知直线的斜率为1，则直线的倾斜角为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】设直线的倾斜角为，则由直线的斜率，则故故选3.下列函数中，在上是增函数的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】对于，，当时为减函数，故错误；对于，，当时为减函数，故错误；对于，在和上都是减函数，故错误；故选4.设，则（）A.B.0C.1D.【答案】B【解析】故选5.函数的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】，故选6.若三点在同一直线上，则实数等于（）A.B.11C.D.3【答案】D【解析】由题意得：解得故选7.已知表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】C【解析】在正方体中，令底面，令满足，但不成立，故错误；，满足，但不成立，故错误；，令满足，但不成立，故错误故选8.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为,而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为.则下列各数中与最接近的是（）（参考数据：)A.B.C.D.【答案】D【解析】由题意：，设两边取对数有，即最接近故选点睛：本题主要考查了学生的转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点就是时，两边取对数，要求学生熟练掌握对数运算公式。9.已知，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】是定义域上的增函数，是定义域上的减函数，是定义域上的减函数，故选10.已知函数是定义在上的奇函数，在区间上单调递增.若实数满足，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】是定义在上的奇函数，在上单调递增，解得故选11.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】故选点睛：本题考查的知识点主要是球的体积和表面积以及球内接多面体。本题主要是要求解出正四棱锥的外接球的球心在它的高所在的直线上，然后求出球的半径，再根据球的表面积计算公式求得结果；12.已知函数，用表示中最小值，，则函数的零点个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】由题意，作出的图象如图所示，由图象，得函数的零点有三个：；故选C.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.__________．【答案】6【解析】14.函数在上的最小值是__________．【答案】最小值为15.—个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________．【答案】30【解析】由三视图可知这是一个下面是长方体，上面是个平躺着的五棱柱构成的组合体。长方体的体积为五棱柱的体积是故该几何体的体积为点睛：本题主要考查的知识点是由三视图求面积，体积。本题通过观察三视图这是一个下面是长方体，上面是个平躺着的五棱柱构成的组合体，分别求出长方体和五棱柱的体积，然后相加可得答案。16.边长为2的菱形中，，将沿折起，使得平面平面，则二面角的余弦值为__________．【答案】【解析】作，则为中点由题意得面作，连则为二面角的平面角故，，点睛：本题考查了由平面图形经过折叠得到立体图形，并计算二面角的余弦值，本题关键在于先找出二面角的平面角，依据定义先找出平面角，然后根据各长度，计算得结果。三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数.（1）若函数的定义域为，求集合；（2）若集合，求.【答案】(1);(2).【解析】试题分析：⑴满足函数有意义的条件为，求出结果即可；⑵根据已知条件及并集的运算法则可得结果；解析：（1)要使函数有意义，则要，得.所以.（2）∵，∴18.已知直线经过点，且与直线垂直.（1）求直线的方程；（2）若直线与平行且点到直线的距离为，求直线的方程.【答案】(1);(2)直线方程为或.【解析】试题分析：⑴利用相互垂直的直线斜率之间的关系求出直线的斜率，代入即可得到直线的方程；⑵由已知设直线的方程为，根据点到直线的距离公式求得或，即可得到直线的方程解析：（1）由题意直线的斜率为1，所求直线方程为，即.（2）由直线与直线平行，可设直线的方程为，由点到直线的距离公式得，即，解得或.∴所求直线方程为或.19.已知函数（其中为常数）的图象经过两点.（1）判断并证明函数的奇偶性；（2）证明函数在区间上单调递增.【答案】(1)见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：⑴根据函数奇偶性的定义判断并证明函数的奇偶性；⑵根据函数单调性的定义证明即可；解析：（1）解：∵函数的图象经过两点∴解得∴.判断：函数是奇函数证明：函数的定义域，∵对于任意，，∴函数是奇函数.（2）证明：任取，则∵，∴，∴.∴在区间上单调递增.20.如图，在长方体中，，是与的交点.求证：（1）平面；（2）平面平面.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：⑴连结交于点，连结，推导出，又因为平面，由此证明平面⑵推导出，，从而平面，由此证明平面平面解析：（1）连结交于点，连结，∵，∴.∴.又∵平面，平面，∴平面.（2）∵平面.∴.∵,∴∵与相交，∴平面∵平面.∴平面平面.点睛：本题考查了立体几何中的线面平行及面面垂直，在证明的过程中依据其判定定理证得结果，在证明平行中需要做辅助线，构造平行四边形或者三角形中位线证得线线平行，从而证得线面平行21.近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“”计划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定，每个城市至少要投资40万元，由前期市场调研可知：甲城市收益与投入(单位：万元）满足，乙城市收益与投入(单位：万元）满足..设甲城市的投入为(单位：万元)，两个城市的总收益为(单位：万元）.（1）当甲城市投资50万元时，求此时公司在甲、乙两个城市的总收益；（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？最大收益是多少？【答案】（1）43.5；（2）当甲城市投资72万元，乙城市投资48万元时，总收益最大，且最大收益为44万元.【解析】试题分析：⑴当甲城市投资万元时，乙城市投资万，把代入即可求得结果；⑵，依题意有，解得，通过换元利用二次函数的单调性即可得出；解析：（1）当时，此时甲城市投资50万元，乙城市投资70万元所以总收益(万元）（2）由题知，甲城市投资万元，乙城市投资万元，∴依题意得，解得.∴令，则∴.当，即万元时，的最大值为44万元.∴当甲城市投资72万元，乙城市投资48万元时，总收益最大，且最大收益为44万元.22.已知二次函数的图象经过原点，函数是偶函数，方程有两相等实根.（1）求的解析式；（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围；（3）若函数与的图像有且只有一个公共点，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】试题分析：(1)运用待定系数法，结合题目条件计算得，(2)分离参量，计算在上的最大值(3)转化为有且只有一个实数根，换元，关于的方程只有一个正实根，转化为函数问题解析：（1）设.由题意，得.∴，∵是偶函数，∴即.①∵有两相等实根，∴且②由①②，解得，∴.（2）若对任意，恒成立，只须在恒成立.令，，则.若对任意，恒成立，只须满足.∴.（3）函数与的图像有且只有一个公共点，即有且只有一个实数根，即有且只有一个实数根.令，则关于的方程