2024年中考数学圆训练专题-综合题型（一）（解析）

2024年中考数学圆训练专题综合题型（一）解析1．【答案】（1）【方法一】证明：如图，连结OD.∵BD是圆O的切线，D为切点，∴∠ODB=90∵∠ACB=90且OC=OD，OB=OB，

∴Rt△ODB≅Rt△OCB(HL【方法二】证明：∵∠ACB=90∴BC是圆O的切线.∵BD是圆O的切线，∴BC=BD；（2）解：①如图，连结OD，

∵OB=OA，

∴∠OBD=∠A，

∵Rt△ODB≅Rt△OCB，∴∠OBD=∠OBC.∴∠OBD=∠OBC=∠A.∵∠OBD+∠OBC+∠A=90∴∠OBD=∠OBC=∠A=30∵在Rt△ODA中，∵∠ADO=90°，∠A=30°，

∴AO=2OD，

又∵OD=OE，AO=OE+AE，

∴OE=AE=2，∴半圆O的半径为2；②∵在Rt△ODA中，OD=2，∴S∵∠A=30S=2=232．【答案】（1）连接OC∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵OA=OC，∴∠CAB=∠OCA，∴∠DAC=∠OCA，∴AD∥OC，∵CD⊥AD，∴∠D=∠OCE=90°，∴CD是⊙O的切线．（2）证明，如下：由（1）得，∠OCE=90°，∵∠DAC=∠CAB，∵FG⊥AB，∴∠FGA=90°，∴∠AHF=∠CAB+90°，∵∠ACE=∠OCA+90°，∴△ACE∽△AHF，∴ACAH∴AC⋅AF=AE⋅AH．（3）∵sin∠DEA=∴OCOE设⊙O的半径为4x，∴OE=5x，∴CE=O∵AE=OA+OE=9x，∴AD=45×9x=∵DE=DC+CE，∴DC=12∵AC∴AC=12∵△ACE∽△AHF，∴AHFH3．【答案】（1）证明：连接OC，∵直线DC是⊙O的切线，∴OC⊥DE，∵AE⊥DC，∴OC∥AE，∴∠OCA=∠CAE，∵OA=OC，∴∠OCA=∠CAO，∴∠CAO=∠CAE，即AC平分∠BAE；（2）解：连接OC，过点O作OF⊥AC于F，则CF=1∵∠OCE=∠OCF+∠ACE=90°，∠OCF+∠COF=90°，∴∠ACE=∠COF，∴tan∠COF=∴CFOF∴OF=10∴OC=C即⊙O的半径为2564．【答案】（1）证明：连接OD，如图所示，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠BDC=90°，∵点E为BC的中点，∴DE=BE=1∴∠EDB=∠EBD，∵OB=OD，∴∠ODB=∠OBD，∵∠ABC=90°，∴∠EBD+∠OBD=90°，∴∠ODB+∠EDB=90°，∵OD是⊙O的半径，∴DE与⊙O相切；（2）解：由（1）知，∠BDC=90°，∵E是BC的中点，∴DE=1∴BC=4，∵tan∠BAC=∴AB=8，AD=2BD，又∵在Rt△ABD中，AB2=A∴BD=8∴AD=16（3）解：设Rt△ABD的AB边高为ℎ，由（2）可知AB=8，又∵AB是直径，∴∠APB=90°，∴PA∴(PA+PB∴当PA+PB取最大值时，2PA⋅PB也取最大值，又∵S△ABP∴当PA+PB取最大值时，S△ABP此时AB边高为ℎ取最大值为⊙O半径=AB∴S△ABP∴PA⋅PB=2∴(PA+PB∴PA+PB=82综上所述：PA+PB的最大值为825．【答案】（1）证明：如图所示，连接AD，∵以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，∵DE⊥AC，∴OD∥AC，∴∠C=∠ODB，又OB=OD，∴∠B=∠ODB，∴∠C=∠B，∴AB=AC；（2）解：连接BF，AD，如图，则AD⊥BC，BD=CD，∴∠ADC=∠ADB=∠AED=90°，∴∠DAE+∠ADE=∠DAC+∠C，∴∠ADE=∠C，在Rt△ADE中，AE=3，∴tan∠ADE=∴EC=2DE=12，又∵AB是直径，∴BF⊥CF，∴DE∥BF，∴ECEF∴EF=EC=12，∴tanC=∴BF=1∴AF=EF−AE=12−3=9．6．【答案】（1）连接DO，DB，∵BC为⊙O的直径，∴∠BDC=90°，∴BD⊥AC，∵在△ABC中，AB=BC，∴BD平分∠BAC，∴∠ABD=∠DBC=1∵BO=OD，∴∠BDO=∠DBC，∴∠BDO=∠DBA，∵DE⊥AB，∴∠EDB+∠DBA=90°，∴∠EDB+∠ODB=90°，∴半径OD⊥DF，∴DF为⊙O的切线；（2）∵在△ABC中，AB=BC，∴∠A=∠ACB，在（1）中，∠EDB+∠DBA=90°=∠ACB+∠DBC，∠ABD=∠DBC，∴∠EDB=∠ACB，∵cosC=4∴cos∠EDB=cos∠A=cos∠ACB=4∵在Rt△DBE中，BE=3，cos∠EDB=4∴DE=4∴BD2=即同理在Rt△DBE中，可得AB=25∴BC=AB=25∴BO=12CB=∵AB⊥DF，DO⊥DF，∴DO∥AB，∴△DOF∽△EBF，∴BEDO=BF∴325解得：BF=75即BF=757．【答案】（1）证明：∵∠ACD=∠DCB，∠BDC=∠A，∴△ACD∽△DCB；（2）证明：连接OD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠A+∠ABD=90°，∵OB=OD，∴∠ABD=∠ODB，∵∠BDC=∠A，∴∠BDC+∠ODB=90°，∴∠ODC=90°，∴OD⊥CD，∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（3）解：∵∠ADB=90°，tanE=35∴BDAD∵△ACD∽△DCB，∴CDAC∵AC=10，∴CD=6，BC=18∴AB=AC−BC=10−3.∴⊙O的半径为3.8．【答案】（1）证明：∵∠ABC和∠AMC是AC所对的圆周角∴∠ABC=∠AMC∵∠AHM=∠CHB∴△BCH∽△MAH∴BH∴MH⋅CH=AH⋅BH（2）连接OC，交AB于点F∵MC与ND为一组平行弦（也可写成MC∥ND）∴∠OND=∠OMC∵OM=OC∴∠OMC=∠OCM∵∠OND+∠AHM=90°∴∠∠OCM+∠AHM=∠OCM+∠CHB=90°∴∠HFC=90°∴OC⊥AB∴AC（3）解：连接DM、DG，过D作DE⊥MN，垂足为E，设点G的对称点G′，连接G′D、G′N，

∵DG=DG′，∠G′ND=∠GND，DG′=DM，弧DM=弧DG′，

∴DG=DM，

∴△DGM为等腰三角形.

∵DE⊥MN，

∴GE=ME.

∵DN∥CM，

∴∠CMN=∠DNM.

∵MN为直径，

∴∠MDN=90°，

∴∠MDE+∠EDN=90°.

∵DE⊥MN，

∴∠DEN=90°，

∴∠DNM+∠EDN=90°，

∴sin∠EDM=sin∠DNM=sin∠CMN=35.

∵MN=15，

∴sin∠DNM=MDMN=35，

∴MD=9.

∵sin∠EDM=35=MEMD，

∴ME9=35，

∴9．【答案】（1）证明：如图，连接DC，则∠BDC=∠BAC=45°，∵BD⊥BC，∴∠BCD=90°−∠BDC=45°，∴∠BCD=∠BDC．∴BD=BC；（2）解：如图，∵∠DBC=90°，∴CD为⊙O的直径，∴CD=2r=6．∴BC=CD⋅sin∠BDC=6×2∴EC=BE∵BF⊥AC，∴∠BMC=∠EBC=90°，∠BCM=∠BCM，∴△BCM∽△ECB．∴BC∴BM=BC⋅EBEC=连接CF，则∠F=∠BDC=45°，∠MCF=45°，∴MF=MC=6∴BF=BM+MF=2310．【答案】（1）证明：①∵四边形ABCD是菱形∴AB∥CD∵DH⊥AB∴∠CDH=∠DHA=90°，则CD⊥OD又∵D为⊙O的半径的外端点∴CD是⊙O的切线.②连接HF，则有：∠DEF=∠DHF∵DH为⊙O直径，∴∠DFH=90°，而∠DHB=90°∴∠DHF=∠DBA=∠DEF又∵∠EDF=∠BDA∴△DEF∽△DBA.（2）解：连接AC交BD于G.∵菱形ABCD，BD=6，∴AC⊥BD，AG=GC，DG=GB=3∴在Rt△AGB中，AG=AB2−B∵S菱形ABCD在Rt△ADH中，sin由△DEF∽△DBA得：∠DFE=∠DAH∴11．【答案】（1）证明：连接OE，由题意可知OD=OE，∴∠OED=∠ODE，∵DE平分∠ADC，∴∠CDE=∠ODE，∴∠OED=∠CDE，∴OE∥CD，又∵∠ACB=90°，∴∠AEO=90°，即OE⊥AC，∴AC是⊙O的切线；（2）解：过点D作DF⊥AB，∵AD平分∠BAC，DF⊥AB，∠ACB=90°，∴CD=DF，∵CD=12，tan∠ABC=∴BF=DF∴BD=DF2∴AC=BC⋅tan∴AD=A∵OE∥CD，∴△AEO∽△ACD，∴EOCD=AO可得：EO=15−35∴⊙O的半径为15−3512．【答案】（1）证明：连接OC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACO+∠OCB=∠ACB=90°，∵OC=OA，∴∠OCA=∠OAC，∴∠OAC+∠OCB=90°，∵CD是⊙O的切线，∴∠BCD+∠OCB=∠OCD=90°，∴∠BCD=∠OAC，∵OF⊥