中考数学专题复习手册（下）知识体系及重点

图形初步

☆知识体系:

直线、射线与线段的相关概念

◎章节概述：

本章节，我们会分四个部分进行复习.

第一部分，我们将会复习直线、射线与线段的相关内容；

第二部分，我们会复习角的相关概念与计算；

第三部分，我们将会复习投影与视图；

第四部分，我们将会复习相交线和平行线.

这部分内容在中考中考查的难度不大，一般出现在选择题中，属于送分

题；但其中线段、角的有关计算，相交线和平行线是几何内容的基础，我们一

定要掌握扎实，为解决几何综合题夯实好基础.

园知识清单:

图形初步

一、线段、射线与直线

1.线段、射线、直线的基本特点

线段射线直线

端点2个端点1个端点无端点

延伸情况无延伸向一方无限延伸向两方无限延伸

长度有长度无长度无长度

2.两个基本事实

(1)直线公理：经过两点有且只有一条直线.即：两点确定一条直线;

(2)线段公理：两点的所有连线中，线段最短.即：两点之间，线段最短.

3.计数问题

(1)直线计数问题：

“条直线相交，最多有;〃(〃—1)个交点；

平面内〃个点，最多可以确定;"(〃-1)条直线.

(2)线段计数问题：

同一直线上〃个不同的点，可确定;〃(〃-1)条线段.

二、角

1.角

有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个端点叫做角的顶点，这两条射

线叫做角的边.

2.角的换算

1°=60',1=60"

3.余角、补角

（1）如果两个角的和等于9（）度（直角），就说这两个角互为余角，即其中每一

个角是另一个角的余角；

（2）如果两个角的和等于180度（平角），就说这两个角互为补角，即其中每一

个角是另一个角的补角；

（3）同角（等角）的补角相等；同角（等角）的余角相等.

4.方位角

一般指，以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标

的方向线所形成的角（一般指锐角），通常表达成“北偏东（西）xx度”或“南

偏东（西）XX度”.

三、投影与试图

1.投影

（1）物体的投影：

一个物体放在阳光下或者灯光前，就会在地面上或者墙面上留下它的影子,

这个影子称为物体的投影.

（2）平行投影

在阳光下，房屋的影子是房屋在地面上的投影，地面是投影面，光线是投影

线，由于太阳的光线可看作是平行的，我们称这种由平行的光线所形成的

投影为平行投影；

在平行投影中，如果投射线垂直于投影面，那么这种投影为正投影；

①线段正投影有以下规律：平行长不变，倾斜长缩短，垂直成一点；

②平面图形正投影有以下规律：平行形不变，倾斜形改变，垂直成线段；

③一个几何体在一个平面上的正投影是一个平面图形，叫做这个几何体的

视图.

(3)中心投影:

在灯光前，将两手交叉握紧，墙面上就会出现影子，它是手的造型在墙面上

的投影，墙面是投影面，光线是投射线，由于灯光的光线可看作是从一点发

出的，我们称这种由一点(点光源)发出的光线所形成的投影为中心投影.

2.三视图

(1)三视图：主视图、俯视图和左视图组成了三视图；

①主视图：自几何体的前方向后投射,在正面投影面上得到的视图；

②俯视图：自几何体的上方向下投射,在水平投影面上得到的视图；

③左视图：自几何体的左侧向右投射,在侧面投影面上得到的视图；

(2)三视图的画法：

主视图的长与俯视图的长对正，主视图的高与左视图的高平齐，俯视图的

宽与左视图的宽相等，可简述为：长对正，高平齐，宽相等;

能看到的边用实线表示，不能看到的边用虚线表示.

四、相交线与平行线

1.相交线

(1)“两线四角”

①对顶角：有一个共同的顶点并且角的两边互为反向延长线的两个角；对

顶角相等；

②邻补角：有一条公共边并且它们的另一条边互为反向延长线的两个角；

邻补角互补.

（2）“三线八角”

角的名称位置特征基本图形图形结构特征

1

在两条被截直线同旁，形如字母"F”

同位角

在截线同侧（或倒置）

在两条被截直线之内，形如字母“Z”

内错角

在截线两侧（交错）（或反置）

1

在两条被截直线之内，

同旁内角形如字母“U”

在截线同侧

（3）垂线与垂线段

①垂线：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角，即两条直线相互

垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，交点叫垂足.直线AB、8互相

垂直，记作AB，。；

②垂线段：过直线外一点作已知直线的垂线，以这点和垂足为端点的线段

就是这点到这条直线的垂线段；

③垂线性质：a.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

b.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.

④点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直

线的距离.

2.平行线

(1)平行线的定义：在同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线.

直线。平行于直线b记作：al1b.

(2)平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；

平行公理推论：平行于同一条直线的两条直线也互相平行；

数学语言：a/lb,allc:.b//c.

(3)平行线的性质与判定：

①两直线平行占J同位角相等.

判定

②两直线平行建区内错角相等.

判定

③两直线平行同旁内角互补.

判定

份专属练习：

1.要整齐地栽一行树，只要确定两端的树坑的位置，就能确定这一行树坑所在

的直线，这里用到的数学知识是()

A.两点之间的所有连线中，线段最短

B.经过两点有一条直线，并且只有一条直线

C.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短

D.经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

2.如图，点。为线段的中点，点。在线段CB上，若D4=6,D3=4,贝1]

CD=•

iit1

ACDB

3.如果Na和互补，且则下列表示N,的余角的式子中:

①90一/4；②Ne—90";③1（Za+Z/?）；④g（Na-N/7）.正确的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

4.已知NAO8=110\ZCOZ）=40平分ZAOC,OF平分NBOD.

(1)如图①，当OB、OC重合时，求NAOE—N3QF的值；

(2)当NCOD从图①所示位置绕点。以每秒3。的速度顺时针旋转，秒

(0</<10)；在旋转过程中NAOE-/BOQ的值是否会因，的变化而变化，若不

发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由.

8.直角三角板和直尺如图放置，若Nl=20。，则N2的度数为（）

A.60B.50

9.已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题：

①如果a//b,a_Lc那么6_Lc；②如果》/果,c//a,那么Z?//c；

③如果〃_La,c_La,那么0_Lc；④如果人_La,c_La,那么〃//c.

其中真命题的是（填写所有真命题的序号）

10.如图，«//Z>,Zl=65,Z2=140,则N3=（）

11.如图，/I//l2.

（1）如图1,过点P作乙的平行线，可证乙4P8,NA,NB之间的等量关系是:

（2）如图2,请你写出之间的等量关系，并证明.

（3）如图3,请你直接写出/6，/鸟,/4,/马,2月之间的等量关系为

12.如图（1）是长方形纸带，ADEF=a,将纸带沿EF折叠成图⑵，再沿8尸

折叠成图（3）,则图（3）中的NCFE的度数是（）

A.2aB.90+2。C.180-2aD.180°—3a

13.如图MN||A氏P、Q为直线MN上任意两点，则图中等面积的三角形共有

14.如图，AB\\DC,ED\\BC,AE\\BD,那么图中和-WD面积相等的三角形

（不包括AABD"I）

A.1个

特殊三角形

☆知识体系:

三角形的三边

◎章节概述：

本章节，我们会分三个部分进行复习.

第一部分，我们将会复习三角形的边角关系，包括三角形的三边关系，内

外角定理及3条重要的线段.这部分是研究几何中许多边角问题的基础，一定

要掌握扎实.

第二部分，我们会复习特殊三角形，包括等腰三角形的性质及判定、垂直

平分线及角平分线、直角三角形的性质、勾股定理及逆定理.这部分内容在初

中数学几何中占主导地位，而且是学习其他初中几何图形的重要基础，在历年的

中考考题中更是重点的考查对象.

第三部分，我们将会复习锐角三角函数，包括锐角三角形的基础概念、解

直角三角形.这部分内容难度不大，解答题中需要注意解题格式.

园知识清单:

特殊三角形

一、三角形的基础边角关系

1.三角形的边

三角形中任何两边的和大于第三边，三角形中任何两边的差小于第三边.

2.三角形的内角

三角形的三个内角和等于180。.

3.三角形的外角

(1)由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角；三角形

外角和为180。.

(2)性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和；

②三角形的外角大于与它不相邻的任意一个内角；

4.三角形的重要线段

定义位置

三角形的一个内角的角平分线与这个角

角平分线的对边相交，这个角的顶点和交点之间的

都在三角形内部，且

线段叫做三角形的角平分线

都交于一点

在三角形中，连结一个顶点和它的对边中

中线

点的线段叫做三角形的中线

可能在三角形的内

从三角形的一个顶点向它的对边所在直

部、外部，也可能在

高线线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角

边上，它们或它们的

形的高

延长线相交于一点

5.三角形的内心、外心和重心

定义结论

内心三条角平分线的交点内心到三边的距离相等

外心三条边垂直平分线的交点外心到三个顶点的距离相等

重心到顶点的距离是它到对边中点距

重心三条中线的交点

离的2倍

6.三角形的分类

(1)按角分：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；

(2)按边分：不等边三角形和等腰三角形(等边三角形是特殊的等腰三角形).

二、特殊三角形

1.轴对称

(1)轴对称图形：

如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么

这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；

(2)轴对称：

把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么称

这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴，折叠后重合的两点叫做对称

点；

(3)垂直平分线：

①经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线,

又叫做线段的中垂线；

②线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等；到线段两端距离相等的点

在这条线段的垂直平分线上；

(4)角平分线：

①性质：角平分线上任意一点到角的两边的距离相等；

②判定：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；

2.等腰三角形

(1)等腰三角形的性质：

①两边相等，两底角相等；

②顶角的角平分线、底边的中线、底边上的高线重合(三线合一)；

(2)等腰三角形的判定：等角对等边

(3)等边三角形的性质：等边三角形各角都相等，并且都等于60。；

(4)等边三角形的判定：

①三个角都相等的三角形是等边三角形；

②有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形.

推论：含30。角的直角三角形中，30。角所对的直角边等于斜边的一半；

3.直角三角形

(1)直角三角形的性质：

①直角三角形两锐角互余；

②直角三角形斜边中线等于斜边一半；

(2)勾股定理：

如果直角三角形的两直角边用表示，斜边用c表示，那么勾股定理可表

示为小+b2=C2；

(3)勾股定理的逆定理：

如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角

形；能够成为直角三角形三条边长的一组正整数，称为勾股数.

三、锐角三角函数

1.锐角三角函数的定义

(1)正弦：

在RtAABC中，我们把锐角A的对边与斜边的

A

比叫做NA的正弦，记作sinA,即sinA=@;

(2)余弦：b

在RtAABC中，我们把锐角A的邻边与斜边的?-----------------

比叫做NA的余弦，记作cosA,即cosA=2；.

c

(3)正切：

在RtAABC中，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做NA的正切，记作tanA,

即tanA=@；

b

正切经常用来描述坡面的坡度，坡面的铅锤高度力和水平长度/的比叫做坡

面的坡度(或坡比)，记作i,gP/=y(坡度通常写成〃:/的形式)；

坡面与水平面的夹角叫做坡角(或称倾斜角)，记作a,于是有

卜

/=y=tana.显然，坡度(z=tantz)越大，坡角a越大，坡面就越陡.

2.同角三角函数关系

•2.2■,,sinA

sin-A+cos-A=1；tanA4=------

cosA

3.互余角三角函数关系

若ZA+ZB=90°,则sinA=cos3；cosA=sin3；tan-tanB=1.

4.锐角三角函数增减性

设0。<a<90。,a变大，sina变大；cosa变小；tane变大.

5.特殊角三角函数值

30°45°60°

\_V2县

sin

22

J_

cos小0

22

显

tan1

3

6.解直角三角形

在直角三角形中，除直角外，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角

三角形.

已知条件解法类型

一条边斜边c和锐角ZAZ-B—90°—ZA,a-csinA,b=ccosA

和一个

直角边。和锐角ZANB=90。—NA,b=-^—,c=」一

锐角tanAsinA

c=\a2+b2,由tanA=—求NA,

两条直角边。和匕b

两条边ZB=90°-ZA

b=ylc2—a2,由sinA=@求ZA,

斜边c和直角边ac

ZB=90°-ZA

份专属练习:

-1.如果三角形的三边长分别为3,4,1-2〃，那么a的取值范围是

2.如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木

框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依序为2、3、

4、6,且相邻两木条的夹角均可调整，若调整木条的夹角

时不破坏此木框，则任两螺丝的距离的最大值是（）

A.5B.7C.8D.10

3.如图所示，把一个三角形纸片ABC的三个顶角向内折叠之后（3个顶点不重

合），那么图中N1+N2+N3+N4+N5+N6的度数和是（）

C

A.180,B.270°C.360°D.540。

4.如图，AABC中，NC=80。，若沿图中虚线截去NC,

则Nl+N2=().

A.230°B.260C.180'D.140

5.如图所示，在AABC中，NA6CNAC8的角平分线8。,。交于点。，外角

平分线BE,CE交于点、E,则ZBDC与NE的关系是（）

A.NBDC=NE

B.ZBDC+ZE^90°

C.ZBDC+ZE=180°

D.ZBDC-ZE=90°£

6.如图，在AABC中，已知点。,£/分别是边8C,AD,C£的

中点，且AABC的面积为4c/,则阴影年的面积等于

()

A.2cm2B.Icm2C.—cm2D.—cm2

24

7.设AABC的三边长分别为BC=2,CA=3,A8=4,/v4、仅分别表示边

（11］、

BC、CA>AB上的高，贝U（力〃+4+）1----1—=（）

S%%）

A,又B.亚C.史D.史

6457

8.在平面直角坐标系中，。为坐标原点，已知A（G/），在y轴上确定点p,

使得AAOP为等腰三角形，则符合条件的点尸共有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

9.两根长木棍（足够长）BABC形成一个10。的夹角，现在小明手里有一些短

木棒想依次放在角的内部，形成几个等腰三角形.小明最多能放入（）个.

A.8B.9C.10D.无数个

10.等边三角形ABC,。为AB上一点，延长

到点E,使CE=AD.连接OE交AC于点

F,作。"_LAC于点H.若等边三角形的边长

为6,则FH的长是（）

A.3B.3.5

C.4D.不能确定

11.如图，AABC是等边三角形，P是三角形内任

意一点，D、E、E分别是AC、AB.BC边上的三

点，且A8,PO||8C,PE||AC.若

PF+PD+PE^a,则AABC的边长为（）

A.6aB.Ga

C.—aD.a

2

12.如图，在ABE中，N84E=105°,AE的垂直平分线MN交BE于点C,且

AB=CE,则ZB的度数是（）

A.45°B.50°

C.55°D.60

13.如图，AABC中，ZBAC=100,EF>MN分别

为AB、AC的垂直平分线，如果3C=12cm,那么

△FAN的周长为cm,ZFAN-.

14.如图，AABC的三边A3、BC、C4长分别为

40、50、60,其三条角平分线交于点O,则

S^ABO：SdBCO'SaCA。=-------,

15.如图所示，在AABC中，NA8C=3NC,AZ）是ZBAC的平分线,

3£，的于石，求证：8E=g（AC-AB）.

BD

16.如图，已知点P是NAQB角平分线上的一点，/AQB=6(r,PQ_LQ4,M是

。尸的中点，DM=4cm,如果点C是08上一个动点，则

PC的最小值为()

A.2B.273C.4D.473

B

17.如图，正方形A3CD和正方形CEEG中，点。在

CG上，8C=1,CE=3,"是AF的中点，那么CH的

长是

18.如图，已知4408=60°,点P在边。4上，

OP=10,点M,N在边05上，PM=PN,若

MN=2,则等于（）

A.5A/3B.5A/3-1C.5D.4

19.如图，在四边形ABC。中，A8=1,BC=1,8=2,

D4=遥，且N43C=90。，则四边形A3CZ)的面积为

()

A.2B.-+V2C.1+V2D.

22

20.我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直

角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如

图所示)，如果大正方形的面积是25,小正方形的面积是

1,直角三角形的两直角边分别是。和b,那么(a+0)2的值

为.

21.计算：

(1)sin300+V3cos300-1(2)tan230,-2sin30"tan45°+8cos260,

22.如图1,某超市从一楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图.已知自

动扶梯A6的坡度为1:2.4,A3的长度是13米，是二楼楼顶，MN\\PQ,C

是MN上处在自动扶梯顶端8点正上方的一点，BC±MN,在自动扶梯底端A

处测得C点的仰角为42。，求二楼的层高8C的长.（精确到0.1米，

sin42°»0.67,tan420»0.90）

全等与相似

☆知识体系:

全等三角形及模型

。章节概述：

本章节，我们会分两个部分进行复习.

第一部分，我们将会复习全等三角形内容，包括全等三角形性质及判定、

相关模型、辅助线及角平分线专题.全等三角形是初中几何的基础，也是重

点，是中考命题的热点之一，它不仅是后面学习相似三角形、平行四边形、圆

等知识的基础，并且是证明线段相等、角相等常用的方法，也是证明两条直线

垂直、平行的重要依据，因此我们必须熟练掌握全等三角形的性质及判定方

法，并且能灵活应用.

第二部分，我们会复习相似三角形，包括比例线段、相似的判定与性质、

相似三角形的基本模型及位似.相似三角形不仅可以考查学生对图形相似的认

识，并且有利于学生对以前学过的全等三角形知识进行巩固和提高，综合性比

较强，一般出现在试卷最后一题几何综合中，比较灵活.

园知识清单:

全等与相似

一、全等三角形

1.定义：

能够完全重合的两个三角形称为全等三角形.

当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫

做对应边，互相重合的角叫做对应角.

2.性质：

全等三角形的对应角相等、对应边相等；

全等三角形的对应边上的中线，对应边上的高，对应角的角平分线相等；

全等三角形面积、周长相等.

3.全等判定定理

(1)边边边(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等；

(2)边角边(SAS)：有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等；

(3)角边角(ASA)：有两角和其夹边对应相等的两个三角形全等；

(4)角角边(AAS)：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；

(5)斜边、直角边(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全

等.

二、相似三角形

1.比例性质与比例线段

(1)比例性质

比例的性质示例剖析

(1)基本性质：

—=—<=>3Q=2b

—=—<=>aJ=bc(bdw0)23

bd

(2)反比性质：

acbd/1】

—=—<=>—=­(abedw0)23ab')

bdac

(3)更比性质：

aba2ixZ?3.八、

acabdc...z

—=—<=>—=—>_=—{abedw0)23b3a2'7

bdcdba

X(4)合比性质：

a2a+b2+5/,八、

aca+bc+d.,八、

一=—o----=----(zhd0)b5b5'"

bdbd

(5)分比性质：

ci4a—h4-3(；C\

aca-bc-d..,.一=—0------=-------(/?^0)

—=—<=>------=-------(bd*n0)b3b3'"

hdbd

(6)合分比性质：

ci4a+b4+3/7八1八\

aca+bc+dz,,、v7

—=—0-------=--------(c手da丰b)b3a-b4-3

bda-bc-d

X(7)等比性质：

a_b_c_d_ea+b+c+d+e__a

_a2_a3__ak

「

b\b&b2―3—4―5-1+2+3+4+5-1

2k445

：>%+/+,,,+QR%一=—=一,当a+b+cwO时

abc

“1+”2+■*,+4"1

3_4_5_3+4+5

(其中化为正整数，且

abca+b+c

b[+8+&+・••+w0)

(2)比例线段

在四条线段4,6,c,d中，如果其中两条线段a/的比，等于另外两条线段c,d

的比，即凹=£(或a:)=c:d),那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例

bd

线段.

这时，线段a,。,叫做组成比例的项，线段叫做比例外项，线段仇c叫

做比例内项.

如果作为比例内项的两条线段是相等的，即线段之间有a:b=":c,

那么线段人叫做线段a,c的比例中项.

把一条线段分成两部分，使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项,

这样的线段分割叫做黄金分割，分割点叫做这条线段的黄金分割点，比值

近二1叫做黄金数.

2.平行线分线段成比例

（1）定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.

则AB_DEAB_DEBC_EF

如图1所示，如果/[〃（〃。，

正一而，~AC~~DF'~AC~~DF

（2）推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的

对应线段成比例.

如图2所示，若DE〃BC,则有42=4月ADAEDBEC

DBEC~AB~~AC'AB_7c

如图3,若AB〃DE,则有"=4C=0C

DECECD

图3

3.相似三角形

（1）相似三角形的判定

①平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三

角形与原三角形相似；

②两角分别相等的两个三角形相似；

③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；

④三边成比例的两个三角形相似；

(2)相似三角形的性质

①相似三角形对应角相等，对应边成比例；对应高、中线、角平分线的比等

于相似比；

②周长之比等于相似比；

③面积之比等于相似比的平方；

4.位似

(1)位似图形：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应

边互相平行或共线，像这样的两个图形叫做位似图形.

(2)位似中心：对应顶点的连线相交于一点，这个点叫做位似中心.

(3)位似比：相似比叫做位似比.

(4)位似图形的性质：位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等

于位似比.

如图所示，已知△ABC与△A'8'C是位似图形，点。为位似中心，

那么°，__O_B____O_C_____A_B_____A_C___BC

=k(%为位似比)

"'OB'OCA'B'A'CB'C

B'

份专属练习：

1.如图，已知AA8CWAAO£：,NBAO=30",贝U

NCDE度数为()

A.30°B.40。C.605D.75°

2.如图所示，NE=NF,NB=NC,AE=AF,以下结

论：(DZFAN=ZEAM；②EM=FN；③

△ACN*ABM；④CD=DN.其中正确的有()

A.1个B.2个C.3个D,4个

3.如图，AACD和ABCE都是等腰直角三角形，NACD=NBCE=9(T,AE交

于点尸,8。分别交CE,AE于点G,”,试猜测线段AE和BO的数量和位置关

系，并说明理由.

4.(1)如图1,AABC与AADE均是顶角为40。的等腰三角形，BC、OE分别是

底边.求证：BD=CE；

图1

(2)如图2,AACB和ADCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接

3E.填空：NAEB的度数为;线段3E与AD之间的数量关系是;

图2图3

(3)如图3,AACB和均为等腰直角三角形，NAC8=/DCE=9(y,点

A、。、E在同一直线上，CM为AOCE中OE边上的高，连接5E请判断NAEB

的度数及线段。0、AE.BE之间的数量关系，并说明理由.

5.在AABC中，NB4C=90"B=AC,/是过A的一条直线，BD-LAE于

£>,CE_LA£于E.求证：

(1)当直线/绕点4旋转到如图1位置时，试说明：DE=BD+CE.

(2)若直线/绕点A旋转到如图2位置时，试说明：DE=BD-CE.

(3)若直线/绕点A旋转到如图3位置时，试问：6。与。瓦CE具有怎样的等

量关系？请写出结果，不必证明.

6.如图，点E、尸分别在正方形ABC。的边BC、CZ)上，ZE4F=45°,连接

EF,则=试说明理由.

(1)证明：

-.AB^AD

把.ABE绕点A逆时针旋转至90至^ADG,

可使AB与AO重合

•.NA£)C=ZB=90°

ZFDG=180%点尸、D、G共线

根据,易证AAFG合,得EF=BE+DF

(2)如图，在四边形ABC。中，AB=AD,ZBAD=90\点£、F分别在边

BC、CD上，ZEAF=45\若ZB、NO都不是直

角，则当N5与NO满足等量关系时，

仍有EF=BE+DF.

(3)如图，在AABC中，ZBAC^9Q°,AB=AC,

点区F均在边BC上,且NE4/=45°.猜想BE、EF、FC应满足的等量关

系，并写出推理过程.

7.如图，是AABC的中线，AE±AC,AF±AB,S.AE^AC,AF=AB,

求证：AD^-EF.

2

8.如图，在nABCD中,

线段A3上，连接£F、CF,则下列结论中一定成立的是.(把所有

正确结论的序号都填在横线上)

®ZDCF=-ZBCD；②EF=CF

2

③S0=2S@F；④ZDFE=3ZAEF

9.。为等边AABC外一点，已知5。=。,/8。。=120。，则M,N分别在

AB,AC±,且BM+CN=MN.

(1)求证：4MDN=60.

(2)作出ADMN的高£归，求证：DH=BD.

10.如图，AABC中，平分NBAC,OG，BC且平分5C,OE_LAB于

瓦。/_£4。于F.

(1)说明3£=。/的理由；

(2)如果A8=8,AC=6,求AE、3E的长.

BC

11.如图，在AABC中，NBAC为直角，A8=AC,O为AC上一点，CELBD

于E.

(1)若5D平分NABC,求证CE='B。；

2

(2)若。为AC上一动点，NAED如何变化？若变化，求它的变化范围；若不

变，求出它的度数，并说明理由.

12.已知，在~43C中，NB=2NC,A。平分NB4c交BC于Q,求证:

AC-AB=BD.

13.如图，在AABC中，ZBAC=90,AC=6,BC=10,过点A的直线

£>E,QE||BC,ZABC与NAC3的平分线分别交OE于E、D,则0E的长为()

A.14B.16C.18

14.若x:y=6:5,则下列等式中不正确的是(

x+y_11

15.如图，已知A8||CD||E尸,A0:A/=3:5,BE=12,

'B

那么CE的长等于（）

,3624

A.—B.

5T

「159

C.——D.

22

16.如图，将矩形纸片ABCO沿石尸折叠，使点5与C£）的中点9重合，若

AB=2,8C=3,则AECB'与AB'DG的面积之比为（）

17.如图，点P是平行四边形ABCO的边。。的延长线上的任意一点，AP与

8D,8c分别交于点M,N.求证：AM2

18.如图所示,

AB:AC等于（

A.1:3

C.1:73

19.如图1,在

的中点，以D为项点作NMDN=NC.

(1)观察发现：当射线OW经过点A时，DN交AB于点、E,不添加任何辅助

线，请填空：与相似的三角形是.

(2)探究表明：如图2,将NMOV绕点O沿顺时针方向旋转，DN、分别交

线段A3、AC于尸、E两点(点E与点A不重合)，不添加辅助线，证明：

小BDF〜ADEF.

(3)结论运用：在图2中，若AB=AC=10,BC=12,当AABC的面积为

面积的4倍时，直接写出线段ER的长.

20.如图所示，在Rt~4BC中，N3AC=90',A。，3c于点。，点。是AC边上

一点，连接80交A力于点£OE_LOB交3c边于点E.

(1)求证:△ABF~^COE；

AC如图，求”的值;

⑵当。为AC边中点，空=2时,

AB0E

AC,请直接写出竺值.

(3)当。为AC边中点,——=〃时0,

ABOE

四边形

☆知识体系:

◎章节概述：

四边形部分一直全国各地中考中一个非常重要的板块，这个部分知识点较

多，而且多与三角形和圆结合，难度也是中等偏难，甚至容易会出现在压轴题

中，例如填空题最后一题和解答题的最后两题中一题.所以这个板块也是我们

中考复习的一个重中之重，首先要梳理清楚基本知识点，做到扫除盲点，明确

重点.

本章节我们重点要知道平行四边形和特殊平行四边形的性质与判定，只有

对所有性质、判定足够熟悉，才能在考试中灵活运用.

园知识清单:

四边形

一、平行四边形

1.定义

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.

2.性质

(1)平行四边形的对边相等；

(2)平行四边形的对角相等；

(3)平行四边形的对角线互相平分(对角线平分面积)；

(4)对称性：平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.

3.判定

(1)根据定义判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

(2)判定定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

(3)判定定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

(4)判定定理3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

(5)判定定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形.

注意：一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形.

二、特殊的平行四边形

1.矩形

(1)定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；

(2)性质1：矩形的四个角都是直角；

性质2：矩形的对角线相等.

引申：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

(3)判定：

①根据定义判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形；

②判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形；

③判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形.

2.菱形

(1)定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；

(2)性质1：菱形的四条边都相等；

性质2：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.

(3)判定：

①根据定义判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；

②判定定理1：对角线互相垂直的平行四边形是矩形；

③判定定理2：四边都相等的四边形是菱形.

3.正方形

(1)正方形既具有矩形的性质，又具有菱形的性质.

性质1：两组对边分别平行，四条边都相等；

性质2：四个角都是直角；

性质3：对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角.

(3)判定：

①有一组邻边相等的矩形是正方形；

②有一个角是直角的菱形是正方形.

4.中点四边形：

（1）定义：顺次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形.

注意：中点四边形的形状仅与原四边形的对角线的数量和位置关系有关.

顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得到的四边形是菱形;

顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得到的四边形是矩形.

（2）性质：

①无论原四边形是什么形状，它的中点四边形始终是平行四边形;

②中点四边形的周长等于原四边形对角线的和；

③中点四边形的面积等于原四边形面积的一半.

三、梯形

1.定义：

一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形；

其中，平行的两边叫底，按长度不同，分别叫上底和下底（与位置无关）；

不平行的两边叫梯形的腰；梯形两底之间的距离叫做梯形的高.

2.分类（特殊的梯形）：

（1）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形；

等腰梯形的性质：

①两腰相等；

②同一底上的两个角相等；

③两对角线相等；

④它是轴对称图形，只有一条对称轴，即经过两底中点的直线.

（2）直角梯形：一腰和底垂直的梯形叫做直角梯形.

四、多边形

1.内角和：〃边形内角和为：（〃—2）480。

2.外角和：360°

©专属练习：

1.四边形ABC。中，对角线AC、8。相交于点。，给出下列四个条件:

®AD\\BC；®AD=BC;®OA=OC；④OB=OD.

从中任选两个条件，能使四边形A3CO为平行四边形的选法有（）

A.3种B.4种C.5种D.6种

2.如图，以AABC各边向同一侧作三个等边三角形△ABDMACEMBCF,试说

明四边形AEED是什么形状并证明.

3.如图，平行四边形ABCD的对角线4?,80交于点0,。£平分/88交48于

点E,交AD于点尸，且NABC=60',A8=2BC,连接OE,下列结论:

①ZACD=30,②SABCD=AC.BC

③OE:AC=g:3④S.°EF=gs.℃F

成立的是.

4.分别以平行四边形A3CO(NCD4w90)的三边A8,CD,DA为斜边作等腰直角

三角形AABERCDGQADF.

图1图2

(1)如图1,当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接

GF,EF.请判断GE与核的关系(只写结论，不需证明)；

(2)如图2,当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接

(1)中结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，说明理由.

5.如图，在nABC。中，AEL5C1于点E,延长BC至F点、使.CE=BE,连接

AF.DE、DF.

(1)求证：四边形A£ED是矩形；

(2)若A5=6,DE=8,BF=10,求AE的长.

5

6.如图，已知四边形ABC。是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点5落在点E

An

处，连接OE.若£>E:AC=3:5,则一的值为()

1""IAB