《简单的逻辑联结词》教学设计

6/18选修1-11.3简单的逻辑联结词（夏琳）一、教学目标【核心素养】培养学生的数学抽象，构建基本的数学逻辑体系．【学习目标】（1）通过数学实例，了解简单的逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；（2）能正确地利用“或”、“且”、“非”表述相关的数学内容；（3）知道命题的否定与否命题的区别．【学习重点】逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；【学习难点】逻辑联结词“或”的含义；二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务1：阅读教材P14—P17,，思考：“或”“且”“非”的含义任务2：“p∧q”、“p∨q”、“非p”形式命题的真假如何判断2．预习自测1．已知复合命题是真命题，则下列命题中也是真命题的是（）A．B．C．D．答案：B解析：由已知得命题是真命题，命题是真命题，所以命题是假命题，根据复合命题的真假判断是真命题，其他选项都是假命题，故选B．考点：复合命题真假的判断．2．已知命题若，则；命题若，则．下面四个结论中正确的是（）A．是真命题B．是真命题C．是真命题D．是假命题答案：B解析：由题意可知，命题为真命题，命题为假命题，所以是真命题，故选B．考点：复合命题的真假判断．3．下列说法错误的是（）A．若命题“”为真命题，则“”为真命题B．若命题“”为假命题，则“”为真命题C．命题“若，则”的否命题为真命题D．命题“若，则方程有实根”的逆命题为真命题答案：D解析：对于A：若“”为真命题，则p，q都是真命题，所以“”为真命题，故A正确；对于B：若“”为假命题，则都是假命题，∴p是真命题，是真命题，所以“”为真命题，故B正确；对于C：“若，则”的否命题为“若，则”，∵c2≥0，∴由可得到，故C正确；对于D：命题“若，则方程有实根”的逆命题为“若方程有实根，则”，方程有实数根只需所以不一定得到，所以D错．故选D．（二）课堂设计1．知识回顾（1）学生自己写两个命题p，q，并判断其真假．（2）再将两个命题用“或、且、非”联结，能否判断真假？2．问题探究问题探究一：逻辑连接词观察与思考:想一想：从串联电路ABC之间的一些关系，我们能得到什么样的启示？阅读与举例：请大家阅读教材中P14所举例的例子，并试着举一些类似的命题．探究：考察下列命题:（1）6可以被2或3整除；（2）6是2的倍数且6是3的倍数；（3）不是有理数；想一想：这些命题的构成各有什么特点？1．逻辑连结词命题中的“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词2．三种命题构成形式的表示常用小写拉丁字母p、q、r、s……表示命题1．用联结词“且（and）”联结命题p和命题q，就得到一个新命题，记作__________，读作__________．2．用联结词“或(or)”联结命题p和命题q，就得到一个新命题，记作__________，读作__________．3．对一个命题p全盘否定(not)，就得到一个新命题，记作__________，读作_________或__________．问题探究二：三种命题真假判断1．“p且q”形式的复合命题真假：pqp且q真真真假假真假假2．“p或q”形式的复合命题真假：pqP或q真真真假假真假假假3．“非p”形式的复合命题真假：p非p真假3．课堂总结【知识梳理】1．逻辑联结词与集合的关系“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．2．正确区别命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论．命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系．3．“p∧q”“p∨q”“非p”形式命题的真假判断步骤(1)准确判断简单命题p、q的真假；(2)判断“p∧q”“p∨q”“¬p”命题的真假．【重难点突破】含有逻辑联结词的命题的真假判断规律(1)p∨q：当p、q中至少有一个为真时，p或q为真；当p、q都为假时，p或q为假．（一真必真）(2)p∧q：当p、q为真时，p且q为真；当p、q中至少有一个为假时，p且q为假．（一假必假）(3)非p：当p为真时，非p为假；当p为假时，非p为真（真假相反）4．随堂检测1．“xy≠0”是指（）A．x≠0且y≠0B．x≠0或y≠0C．x，y至少一个不为0D．x，y不都是0解析：【知识点：逻辑联结词】答案：A2．下列命题：①矩形的对角线相等且互相平分；②10的倍数一定是5的倍数；③方程x2＝1的解为x＝±1；④3∉{1,2}．其中使用逻辑联结词的命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个答案：C解析：【知识点：逻辑联结词】①中有“且”；②中没有；③中有“或”；④中有“非”．故选C．3．若条件p：x∈A∩B，则¬p是（）A．x∈A且x∉BB．x∉A或x∉BC．x∉A且x∉BD．x∈A∪B答案：B解析：【知识点：逻辑联结词，四种命题】由p：x∈A∩B，得p：x∈A且x∈B，∴¬p是x∉A或x∉B．4．设命题p：函数y＝sin2x的最小正周期为eq\f(π,2)；命题q：函数y＝cosx的图象关于直线x＝eq\f(π,2)对称．则下列判断正确的是（）A．p为真B．¬q为假C．p∧q为假D．p∨q为真答案：C解析：【知识点：逻辑联结词，命题真假的判断】因周期T＝eq\f(2π,2)＝π，故p为假命题．因函数y=cosx的对称轴为x＝kπ(k∈Z)，故q也为假命题，所以p∧q为假．5．已知P：2＋2＝5，Q：3＞2，则下列判断正确的是（）A．“P∨Q”为假，“¬Q”为假B．“P∨Q”为真，“¬Q”为假C．“P∧Q”为假，“¬P”为假D．“P∧Q”为真，“P∨Q”为假答案：B解析：【知识点：逻辑联结词，命题真假的判断】由题意可知，P假、Q真，所以P或Q为真，P且Q为假，非Q为假，非P为真，故选B．（三）课后作业★基础型自主突破1．若p是真命题，q是假命题，则（）A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．p是真命题D．q是真命题答案：D解析：【知识点：逻辑联结词，命题真假的判断】2．若命题“p∧(¬q)”为真命题，则（）A．p∨q为假命题B．q为假命题C．q为真命题D．(¬p)∧(¬q)为真命题答案：B解析：【知识点：逻辑联结词，命题真假的判断】p∧(¬q)为真命题，故¬q为真命题，所以q为假命题．3．若p、q是两个简单命题，“p或q”的否定是真命题，则必有（）A．p真q真B．p假q假C．p真q假D．p假q真答案：B解析：【知识点：逻辑联结词，命题真假的判断】“p或q”的否定是：“¬p且¬q”是真命题，则¬p、¬q都是真命题，故p、q都是假命题．4．命题p：2不是质数，命题q：eq\r(2)是无理数，在命题“p∧q”、“p∨q”、“¬p”、“¬q”中，假命题是__________________，真命题是__________________．答案：“p∧q”“¬q”；“p∨q”“¬p”解析：【知识点：逻辑联结词，命题真假的判断】因为命题p假，命题q真，所以命题“p∧q”假，命题“p∨q”真，“¬p”真，“¬q”假．5．已知p：x2－x≥6，q：x∈Z．若“p∧q”，“¬q”都是假命题，则x的值组成的集合为_____________．答案：{－1,0,1,2}解析：【知识点：逻辑联结词，命题真假的判断】因为“p∧q”为假，“¬q”为假，所以q为真，p为假．故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x<6,x∈Z))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2<x<3,x∈Z))，因此x的值可以是－1,0,1,2．6．如果命题“非p或非q”是假命题，给出下列四个结论：①命题“p且q”是真命题；②命题“p且q”是假命题；③命题“p或q”是真命题；④命题“p或q”是假命题．其中正确的结论是（）A．①③B．②④C．②③D．①④解析：【知识点：逻辑联结词，命题真假的判断】答案：A“非p或非q”是假命题⇒“非p”与“非q”均为假命题⇒p与q均为真命题．7．分别指出下列各组命题构成的“p∧q”、“p∨q”形式的命题的真假．(1)p：6<6，q：6＝6；(2)p：梯形的对角线相等，q：梯形的对角线互相平分；(3)p：函数y＝x2＋x＋2的图象与x轴没有公共点，q：不等式x2＋x＋2<0无解；(4)p：函数y＝cosx是周期函数，q：函数y＝cosx是奇函数．答案：见解析解析：【知识点：逻辑联结词，命题真假的判断】(1)∵p为假命题，q为真命题，∴p∧q为假命题，p∨q为真命题．(2)∵p为假命题，q为假命题，∴p∧q为假命题，p∨q为假命题．(3)∵p为真命题，q为真命题，∴p∧q为真命题，p∨q为真命题．(4)∵p为真命题，q为假命题，∴p∧q为假命题，p∨q为真命题．8．写出下列命题的否定：(1)若a>b>0，则eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；(2)a、b∈N，若ab可被5整除，则a、b中至少有一个能被5整除；(3)若x2－x－2＝0，则x≠－1且x≠2．答案：见解析解析：【知识点：命题的否定】(1)若a>b>0，若eq\f(1,a)≥eq\f(1,b)．(2)正方形的四条边不全相等．(2)a、b∈N，若ab可以被5整除，则a、b都不能被5整除；(3)若x2－x－2＝0，则x＝－1或x＝2．★★能力型师生共研9．已知命题p：偶函数的图象关于y轴对称，命题q：正数的对数都是正数，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧qB．(¬p)∧(¬q)C．(¬p)∧qD．p∧(¬q)答案：D解析：【知识点：逻辑联结词，命题真假的判断】∵p为真命题，q为假命题，∴p∧(¬q)为真命题，故选D．10．已知命题p：x2－4x＋3<0与q：x2－6x＋8<0；若“p且q”是不等式2x2－9x＋a<0成立的充分条件，则实数a的取值范围是（）A．(9，＋∞)B．{0}C．(－∞，9]D．(0,9]解析：【知识点：逻辑联结词，充分必要条件】答案：C11．设命题p：函数y＝sin2x的最小正周期为eq\f(π,2)；命题q：函数y＝cosx的图象关于直线x＝eq\f(π,2)对称．则下列判断正确的是（）A．p为真B．q为真C．p∧q为假D．p∨q为真答案：C解析：【知识点：逻辑联结词，命题真假的判断】命题p，q均为假命题，故p∧q为假命题．12．已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（）A．(p)∨qB．p∧qC．(p)∧(q)D．(p)∨(q)答案：D解析：【知识点：逻辑联结词，命题真假的判断】命题p为真命题，命题q为假命题，所以¬p为假命题，¬q为真命题，所以(¬p)∨(¬q)为真命题．13．命题p：若a·b>0，则a与b的夹角为锐角；命题q：若函数f(x)在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中正确的是（）A．“p或q”是真命题B．“p或q”是假命题C．p为假命题D．q为假命题答案：B解析：【知识点：逻辑联结词，命题真假的判断】∵当a·b>0时，a与b的夹角为锐角或零度角，∴命题p是假命题；命题q是假命题，例如f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋1，x≤0，,－x＋2，x>0，))综上可知，“p或q”是假命题．14．已知命题p：函数f(x)＝|lgx|为偶函数，q：函数g(x)＝lg|x|为奇函数，由它们构成的“p∨q”“p∧q”和“¬p”形式的新命题中，真命题是________________．解析：【知识点：逻辑联结词，命题的否定，命题真假的判断】答案：¬p函数f(x)＝|lgx|为非奇非偶函数，g(x)＝lg|x|为偶函数，故命题p和q均为假命题，从而只有“¬p”为真命题．15．设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0，命题q：实数x满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x－6≤0，,x2＋2x－8>0.))(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；(2)p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．答案：见解析解析：【知识点：逻辑联结词，命题真假的判断】(1)由x2－4ax＋3a2<0，得(x－3a)(x－a)<0．又a>0，所以a<x<3a，当a＝1时，1<x<3，即p为真命题时，1<x<3．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x－6≤0，,x2＋2x－8>0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2≤x≤3，,x<－4或x>2，))即2<x≤3．所以q为真时，2<x≤3．若p∧q为真，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1<x<3，,2<x≤3))⇔2<x<3，所以实数x的取值范围是(2,3)．(2)设A＝{x|x≤a，或x≥3a}，B＝{x|x≤2，或x>3}，因为¬p是¬q的充分不必要条件，所以A⊆B．所以0<a≤2且3a>3，即1<a≤2．所以实数a的取值范围是(1,2]．16．已知命题p：方程2x2＋ax－a2＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有一个实数x0满足不等式xeq\o\al(2,0)＋2ax0＋2a≤0，若命题“p∨q”是假命题，求a的取值范围．答案：见解析解析：【知识点：逻辑联结词，命题真假的判断，一元二次方程解的讨论】由2x2＋ax－a2＝0，得(2x－a)(x＋a)＝0，∴x＝eq\f(a,2)或x＝－a，∴当命题p为真命题时，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))≤1或|－a|≤1，∴|a|≤2．又“只有一个实数x0满足不等式xeq\o\al(2,0)＋2ax0＋2a≤0”，即抛物线y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一个交点，∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a＝0或a＝2．∴当命题q为真命题时，a＝0或a＝2．∴命题“p∨q”为真命题时，|a|≤2．∵命题“p∨q”为假命题，∴a>2或a<－2．即a的取值范围为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>2，或a<－2))))．★★★探究型多维突破17．设a、b、c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c，则下列命题中真命题是（）A．p∨qB．p∧qC．(¬p)∧(¬q)D．p∨(¬q)解析：【知识点：逻辑联结词，命题真假的判断】答案：A取a＝c＝(1,0)，b＝(0,1)知，a·b＝0，b·c＝0，但a·c≠0，∴命题p为假命题；∵a∥b，b∥c，∴存在λ，μ∈R，使a＝λb，b＝μc，∴a＝λμc，∴a∥c，∴命题q是真命题．∴p∨q为真命题．18．在一次篮球投篮比赛中，甲、乙两球员各投篮一次．设命题p：“甲球员投篮命中”；q：“乙球员投篮命中”，则命题“至少有一名球员投中”可表示为（）A．p∨qB．p∧(¬q)C．(¬p)∧(¬q)D．(¬p)∨(¬q)解析：【知识点：逻辑联结词，命题的否定】答案：A至少有一名球员投中为p∨q．19．已知a>0，设命题p：函数y＝ax在R上单调递增；命题q：不等式x2－ax＋1>0对x∈R恒成立．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．答案：见解析解析：【知识点：逻辑联结词，命题真假的判断】∵函数y＝ax在R上单调递增，∴a>1，∴p：a>1．∵不等式x2－ax＋1>0时x∈R恒成立，∴Δ＝a2－4<0，∴－2<a<2．∴q：0<a<2．又∵p∨q为真，p∧q为假，∴p、q一真一假．当p真q假时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>1,a≥2))，∴a≥2．当p假q真时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a≤1,0<a<2))，∴0<a≤1，综上可知，实数a的取值范围是(0,1]∪[2，＋∞)20．已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．答案：见解析解析：【知识点：逻辑联结词,命题真假的判断】若方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根x1，x2，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,x1＋x2<0，,x1x2>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝m2－4>0，,m>0.))解得m>2，即p：m>2．若方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，则Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)<0．解得1<m<3，即q：1<m<3．∵p或q为真，p且q为假，∴p、q两命题应一真一假，即p为真、q为假或p为假、q为真．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>2，,m≤1或m≥3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≤2，,1<m<3.))解得m≥3或1<m≤2．∴m的取值范围是(1,2]∪[3，＋∞)．（四）自助餐1．已知命题p：1∈{x|(x＋2)(x－3)<0}，命题q：∅＝{0}，则下列判断正确的是（）A．p假q假B．“p或q”为真C．“p且q”为真D．p假q真答案：B解析：【知识点：逻辑联结词,命题真假的判断】∵{x|(x＋2)(x－3)<0}＝{x|－2<x<3}，∴1∈{x|(x＋2)(x－3)<0}，∴p真．∵∅≠{0}，∴q假．故“p或q”为真，“p且q”为假，故选B．2．若命题p：0是偶数，命题q：2是3的约数，则下列结论中正确的是（）A．“p∨q”为假B．“p∨q”为真C．“p∧q”为真D．以上都不对．答案：B解析：【知识点：逻辑联结词,命题真假的判断】命题p为真命题，命题q为假命题，故“p∨q”为真命题．3．已知命题p、q，则命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：B解析：【知识点：逻辑联结词,命题真假的判断,充分必要条件】p∧q为真⇒p真且q真⇒p∨q为真；p∨q为真⇒p真或q真eq\o(⇒,/)p∧q为真．4．命题p:“方程x2+2x+a=0有实数根”;命题q:“函数f(x)=(a2-a)x是增函数”,若“p∧q”为假命题,且“p∨q”为真命题,则实数a的取值范围是（）A．a>0B．a≥0C．a>1D．a≥1解析：【知识点：逻辑联结词,命题真假的判断】答案：B当p真时,Δ=4-4a≥0,解得a≤1．当q真时a2-a>0,解得a<0或a>1．∵p∧q为假命题,p∨q为真命题,∴p,q中一真一假．(1)当p真q假时,得0≤a≤1．(2)当p假q真时得a>1,由(1)(2)得所求a的取值范围是a≥0．故选B．5．命题p：函数y＝loga(ax＋2a)(a>0且a≠1)的图象必过定点(－1,1)；命题q：如果函数y＝f(x)的图象关于(3,0)对称，那么函数y＝f(x－3)的图象关于原点对称，则有（）A．“p且q”为真B．“p或q”为假C．p真q假D．p假q真答案：C【知识点：逻辑联结词,命题真假判断】y＝loga(ax＋2a)＝logaa(x＋2)＝1＋loga(x＋2)，当x＝－1时，loga(x＋2)＝0，∴函数y＝loga(ax＋2a)(a>0且a≠1)的图象过定点(－1,1)，故p真；如果函数y＝f(x)的图象关于点(3,0)对称，则函数y＝f(x－3)的图象关于点(6,0)对称，故q假，∴选C．6．p：函数f(x)＝lgx＋1有零点；q：存在α、β，使sin(α－β)＝sinα－sinβ，在p∨q，p∧q，¬p，¬q中真命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个答案：B解析：【知识点：逻辑联结词,命题真假的判断】∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))＝0，∴p真；∵α＝β时，sin(α－β)＝0＝sinα－sinβ，∴q真，故p∨q为真，p∧q为真，¬p为假，¬q为假．7．分别用“p∧q”、“p∨q”填空．(1)命题“0是自然数且是偶数”是__________________形式；(2)命题“5小于或等于7”是__________________形式；(3)命题“正数或0的平方根是实数”是__________________形式．答案：p∧q；p∨q；p∨q解析：【知识点：逻辑联结词】8．设命题p：a2<a，命题q：对任何x∈R，都有x2＋4ax＋1>0，命题p∧q为假，p∨q为真，则实数a的取值范围是__________________．答案：－eq\f(1,2)<a≤0或eq\f(1,2)≤a<1解析：【知识点：逻辑联结词】由a2<a得0<a<1，∴p：0<a<1；由x2＋4ax＋1>0恒成立知Δ＝16a2－4<0，∴－eq\f(1,2)<a<eq\f(1,2)，∴q：－eq\f(1,2)<a<eq\f(1,2)，∵p∧q为假，p∨q为真，∴p与q一真一假，p假q真时，－eq\f(1,2)<a≤0，p真q假时，eq\f(1,2)≤a<1，∴实数a的取值范围是－eq\f(1,2)<a≤0或eq\f(1,2)≤a<1．9．已知命题p：不等式x2＋x＋1≤0的解集为R，命题q：不等式eq\f(x－2,x－1)≤0的解集为{x|1<x≤2}，则命题“p∨q”“p∧q”“¬p”“¬q”中为真命题是__________________．解析：【知识点：逻辑联结词,命题真假的判断】答案：p∨q，¬p∴∀x∈R，x2＋x＋1>0，∴命题p为假，¬p为真；∵eq\f(x－2,x－1)≤0⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1((x－2)(x－1)≤0,x－1≠0))⇔1<x≤2．∴命题q为真，p∨q为真，p∧q为假，¬q为假．10．已知命题p：eq\f(1,x－1)<1，命题q：x2＋(a－1)x－a>0，若¬p是¬q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是__________________．答案：(－∞，－2)解析：【知识点：逻辑联结词,充分必要条件】命题p：eq\f(1,x－1)<1，∴x>2或x<1．命题q：x2＋(a－1)x－a>0，∴(x＋a)(x－1)>0．∵¬p是¬q的充分不必要条件，∴q是p的充分不必要条件．∴－a>2，∴a<－2．11．已知命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立；命题q：函数f(x)＝－(5－2a)x是减函数，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．答案：见解析解析：【知识点：逻辑联结词,命题真假的判断】设g(x)＝x2＋2ax＋4，由于关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立，所以函数g(x)的图象开口向上且与x轴没有交点，故Δ＝4a2－16<0．所以－2<a<2，所以命题p：－2<a<2；又f(x)＝－(5－2a)x是减函数，则有5－2a>1，即a<2．所以命题q：a<2．∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，∴p和q一真一假．(1)若p为真命题，q为