《双曲线及其标准方程（第2课时）》教学设计

14/142.2.1双曲线及标准方程（第2课时）（名师:张远建）1.核心素养发展数学抽象、直观想象素养，培养解析法解题能力，提高数学运算素养2.学习目标（1）进一步熟悉双曲线的定义、标准方程.（2）掌握双曲线的定义在焦点三角形问题中的应用.（3）了解双曲线在实际问题中的初步应用.3.学习重点双曲线的定义4.学习难点双曲线的定义在焦点三角形问题中的应用二、教学设计（一）课前预习1.预习任务回顾双曲线的定义、双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有那些区别?双曲线的与椭圆的有何区别?2.预习自测1.已知方程表示双曲线，则的取值范围是（）A． B． C． D．或答案：A解析：考查双曲线的定义2.在双曲线的标准方程中，已知，则其标准方程为（）A． B．或C． D．或答案：D解析：考查双曲线的标准方程（二）课堂设计1.知识回顾(1)平面内点到两定点的距离之差的绝对值为常数，即当时，点的轨迹是双曲线；(2)双曲线，判断焦点在哪个轴上，是看x2，y2系数的符号，注意都有2.问题探究问题探究一进一步熟悉双曲线的定义、标准方程.例1已知方程表示的图形是双曲线，那么的取值范围是（）A． B．或C．或 D．【知识点：双曲线的标准方程】详解：∵方程的图形是双曲线，∴．即：或，解得：或．故选B．点评：在双曲线的标准方程中，项和项的系数是异号的，但若中间以“－”相连，则必须是同号的．形如的方程，若，则当且仅当时，表示双曲线．例2已知定圆，定圆，动圆与定圆都外切，求动圆圆心的轨迹方程.【知识点：双曲线的定义，双曲线的标准方程】详解：设动圆圆心，半径为则由已知可得点的轨迹是以、为焦点的双曲线的左支，且所以动圆圆心M的轨迹方程为：点拔：由动圆与定圆的关系，得，从而联想到双曲线的定义，用定义来确定方程（轨迹），达到了简化运算的目的，可见，在圆锥曲线中定义的应用十分广泛、灵活.问题探究二掌握双曲线的定义在焦点三角形问题中的应用例3若是双曲线的两个焦点，在双曲线上，且，求的大小．【知识点：双曲线的定义，双曲线的标准方程】详解：由双曲线的对称性，可设点P在第一象限，由双曲线的方程，知由双曲线的定义，得上式两边平方，得由余弦定理，得点拔：在焦点三角形中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义等是经常使用的知识点．另外，还经常结合，运用平方的方法，建立它与的联系，请同学们多加注意．一般地，已知双曲线上一点为双曲线的焦点，若，求的面积．解：由双曲线的定义，有，在中，由余弦定理有∴，即∴问题探究三：了解双曲线在实际问题中的初步应用例4A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B的正东方，相距6km，C在B的北偏西方向上，相距4km，P为敌炮阵地．某时刻A发现敌炮阵地的某种信号，由于B、C两地比A距P远，因此4s后，B、C才同时发现这一信号（该信号的传播速度为1km/s）．A若炮击P地，求炮击的方位角．【知识点：双曲线的定义，双曲线的标准方程】详解：以AB中点为原点，BA所在直线为轴建立直角坐标系，则、、．∵．∴点P在以A、B为焦点的双曲线右支上．该双曲线右支方程为．①又∵．∴点P在线段BC的垂直平分线上．该直线方程为．②由①②得：，解得：或（舍去）．∴．又∵，∴．∴点P在点A的北偏东方向上，即A炮击P地的方位角是北偏东．点拔：（1）有些看似与双曲线无关的实际应用问题，但依题意，通过数学建模，可以把问题转化为双曲线问题求解.（2）在此类问题时，除要准确把握题意外，还要注意使实际问题有意义.3.课堂总结【知识回顾】（1）形如的方程，若，则当且仅当时，表示双曲线．当且仅当时，表示椭圆.（2）一般地，已知双曲线上一点为椭圆的焦点，若，则的面积．【重难点突破】（1）对于形如的方程，能表示圆、椭圆、或双曲线，具体情况如下：当时，表示圆；当时，表示椭圆，当时，表示焦点在轴的椭圆，当时，表示焦点在轴上的椭圆；当时，表示双曲线，当时，表示焦点在轴上的双曲线，当时，表示焦点在轴上的双曲线.（2）在椭圆的研究中我们已经体验了定义在解决有关曲线上的点到焦点距离问题中的作用，同样在双曲线中也应注意定义的应用．已知双曲线上一点与两焦点构成的三角形问题，往往利用正弦定理、余弦定理以及双曲线的定义列出关系式．（3）在双曲线的实际应用中，要先建立适当的坐标系，然后将实际问题中的条件借助坐标系用数学语言表达出来.4.随堂检测1.k>9是方程eq\f(x2,9－k)＋eq\f(y2,k－4)＝1表示双曲线的()A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件答案：B解析：【知识点：双曲线的标准方程】2.已知为双曲线的左右焦点，点在双曲线上，，则（）A.2B.4C.6D.8答案：B解析：【知识点：双曲线的定义】（三）课后作业基础型1.双曲线的焦距是（）A．4 B．8 C． D．与有关答案：C解析：【知识点：双曲线的标准方程】2．已知两定点、，在满足下列条件的平面内的动点P的轨迹中，为双曲线的是（）A． B．C． D．答案：A解析：【知识点：双曲线的定义】3．双曲线的一个焦点坐标是（3,0），则的值是（）A．1 B．－1 C． D．－答案：A解析：【知识点：双曲线的标准方程】4.如图所示，若，且，则和所表示的曲线只可能是（）答案：C解析：【知识点：双曲线的标准方程】能力型5.P为双曲线上一点，F是一个焦点，则以PF为直径的圆与圆的位置关系是（）A．内切 B．外切 C．外切或内切 D．无公共点或相交答案：C解析：【知识点：双曲线的定义，圆的几何性质】6.已知双曲线的焦点为，点在双曲线上且，则点到轴的距离为()A.B.C. D.答案：C解析：【知识点：双曲线的定义及标准方程】7．若、、成等差数列，则点的轨迹方程是_______________．答案：解析：【知识点：双曲线的标准方程，等差数列】8.在平面直角坐标系中，已知的顶点和，若顶点在双曲线的左支上，则答案：解析：【知识点：双曲线的定义及标准方程】探究型9.已知定点和定圆C：，动圆和圆C相切，并且过点A，求动圆圆心P的轨迹方程．答案：见解析解析：【知识点：双曲线的定义及标准方程】设点的坐标为，∵圆C与圆P外切且过点A．∴．∵，∴点的轨迹是以C、A为焦点的双曲线的右支．∵，，∴．∴圆心的轨迹方程为10.已知双曲线中，半焦距为左右焦点，为双曲线上的点，,求双曲线的标准方程.答案：见解析解析：【知识点：双曲线的定义及标准方程】由双曲线的定义，有，而在中，由余弦定理有∴，即,∴,所以所求双曲线标准方程为(四)自助餐1.焦点的坐标是（－6,0）、（6,0），并且经过A（－5，2）的双曲线的标准方程为（）A.B.C.D.答案：A解析：【知识点：双曲线的标准方程】2．已知方程表示双曲线，则它的焦点坐标为（）A．、 B．、C．、 D．不能确定答案：D解析：【知识点：双曲线的标准方程】3.设点在双曲线上，若为此双曲线的两个焦点。且，则的周长等于（）A．22 B．16 C．14 D．12答案：A解析：【知识点：双曲线的定义及标准方程】4．设为第四象限的角，则方程所表示的曲线是（）A．焦点在轴上的椭圆 B．焦点在轴上的椭圆C．焦点在轴上的双曲线 D．焦点在轴上的双曲线答案：解析：【知识点：双曲线的标准方程】5.若动圆P与定圆及都相内切或都相外切，则动圆P的圆心轨迹方程是（）A． B． C． D．答案：C解析：【知识点：双曲线的定义及标准方程】6．设圆过双曲线的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上．则圆心到双曲线中心的距离是．答案：解析：【知识点：双曲线的标准方程，圆定义及性质】7.已知点的坐标分别是，曲线C上任意一点P满足，则曲线C的方程为______________.答案：解析：【知识点：双曲线的定义，平面向量的模】8．P是双曲线左支上一点，、分别是左、右焦点，且焦距为，则的内切圆的横坐标是．答案：解析：【知识点：双曲线的定义】9．已知的底边长为，且底边固定，顶点是动点，使．求点的轨迹．答案：见解析解析：【知识点：双曲线的定义及标准方程】建立适当的直角坐标系，令为轨迹上任一点，则，．因为，利用正弦定理，我们有，结合双曲线定义，动点到两个定点的距离之差为，动点位于以为焦点的双曲线上。又注意到，此时点只能在左支上，且不能与左顶点重合．在双曲线中，实轴长为，焦距为，则，，中心在原点，两焦点在轴上，方程为．所以A点的轨迹是双曲线的左支，并且除去点．10.在周长为48的，，，求以M、N为焦点，且过P的双曲线方程．答案：见解析解析：【知识点：双曲线的定义及标准方程】∵的周长为48，且，∴设，，则．由，得：．∴、、．以MN所在直线为轴，以MN的垂直平分线为轴建立直角坐标系。设所求双曲线方程为．由得，，．由得，．由得所求双曲线方程为．点拔：选取的坐标系不同，则双曲线方程不同，但双曲线的形状不会发生变化，解题中，注意合理选取坐标系，这样才能使所求曲线的方程更简便.数学视野1619年，23岁的笛卡尔在一支德国部队服役，军营驻扎在多瑙河旁，11月的一天，他因病躺在了床上，无所事事的他默默地思考着……20岁时，他大学毕业继承父业，当了一名律师，当时法国的社会风气是“非红即黑”。也就是说，有志之士不是致力于宗教事业就是献身于军事，笛卡尔选择了后者。军旅中一个偶然机会，他解出了数学教授别克曼的一道难题。从此成了别克曼教授的上宾，在数学的海洋中漫游，并游进了深水区。他开始看到了传统的几何过分依赖图形和形式演绎的缺陷。同时也深感代数过分受法则和公式的限制而缺乏活力。代数与几何的各自为政、划地为牢的状况抑制了数学的发展，怎样才能摆脱这种状况，架起沟通代数与几何的桥梁呢？这个问题苦苦折磨着年轻的笛卡尔。在没有战事的军队中，他常常有时间思考它。现在，他的思绪又回到了这个问题上……抬头望着天花板，一只小小的蜘蛛从墙角慢慢地爬过来，吐丝结网，忙个不停。从东爬到西，从南爬到北。要结一张网，小蜘蛛该走多少路啊！笛卡尔突发奇想，算一算蜘蛛走过的路程。他