2023-2024学年河南省商丘二中九年级（上）第二次月考数学试卷（11月份）

2023-2024九年级第二次月考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）1．（4分）下列4个数字中，是中心对称图形的是（）A．

B．

C．

D．2．（4分）已知x＝1是方程x2﹣3x+c＝0的一个根，则实数c的值是（）A．﹣1

B．0

C．1

D．23．（4分）下列成语或词语所反映的事件中，发生的可能性最小的是（）A．瓜熟蒂落

B．守株待兔

C．旭日东升

D．瓮中捉鳖4．（4分）反比例函数y＝，关于其函数图象下列说法错误的是（）A．位于第二、四象限

B．图象过点(-1，3)C．关于原点成中心对称

D．y随x的增大而增大5．（4分）2021年9月份，全国新冠疫苗当月接种量约为1.4亿剂次，11月份新冠疫苗当月接种量达到2.3亿剂次，若设平均每月的增长率为x，则下列方程中符合题意的是（）A．1.4x2＝2.3

B．1.4（1+x2）＝2.3

C．1.4（1+x）2＝2.3

D．1.4（1+2x）＝2.36．（4分）将一个圆心角为120°，半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥底面圆的半径为（）A．2

B．6

C．6

D．187．（4分）如图是三个反比例函数y＝＝＝在x轴上方的图象，由此观察k₁，k₂，k₃的大小关系为（）

A．k1＞k2＞k3

B．k2＞k3＞k1

C．k3＞k2＞k1

D．k3＞k1＞k28．（4分）如图，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝8，点D、点E分别是BC、AC边上的点，DE∥AB，则S△BDE的最大值是（）A．3

B．4

C．5

D．69．（4分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，将△ABC绕点C顺时针旋转至△EDC，使点E在⊙O上，再将△EDC沿CD翻折，点E恰好与点A重合，已知∠BAC＝36°，则∠DCE的度数是（）A．24°

B．27°

C．30°

D．33°10．（4分）如图，放置含30°的直角三角板，使点B在y轴上，点C在双曲线y＝上，且AB⊥y轴，BC的延长线交x轴于点D，若S△ACD＝3．则k＝（）

A．3

B．3

C．6

D．9二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）.11．（5分）抛物线y＝﹣2（x﹣3）2+5的顶点坐标是

．12．（5分）植树节过后，历下区园林绿化管理局为了考察树苗的成活率，于是进行了现场统计，表中记录了树苗的成活情况，则由此估计这种树苗成活的概率约为

（结果精确到0.1）．移植总数n400150035007000900014000成活数m369133532036335807312628成活的频率0.9230.8900.9150.9050.8970.90213．（5分）如图，菱形ABCD，∠A＝60°，AB＝3，分别以A，B，C，D为圆心，边长为半径画弧，得到一个眼状图形，则阴影部分的面积为

（结果保留π）．14．（5分）把一个球放入长方体纸盒，球的一部分露出盒外，球与纸盒内壁都刚好相切，其截面如图所示，若露出部分的高度为6cm，AF＝DE＝3cm，则这个球的半径是

cm．

15．（5分）把抛物线y＝x2﹣2x﹣c（c＞0）在直线y＝c上方部分沿直线y＝c对折，若对折后的部分在x轴上截得的线段长是6个单位，则c＝

．16．（5分）如图是三个正方形组成的图案，实线围成的三个封闭部分面积分别为S1，S2，S3，若S1＝1，则S2＝

，S3＝

．三、解答题（第17～20题，每题8分，第21题10分，第22～23题，每题12分，第24题14分，共80分）17．（8分）解方程：x2﹣6x+5＝0（两种方法）．18．（8分）如图所示，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（0，3），B（﹣1，0），C（3，﹣1）（每个方格的边长均为1个单位长度）．（1）将△ABC绕点A逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB1C1；（2）直接写出在旋转过程中，点C经过的格点坐标（C，C1除外，格点指小正方形的顶点）．

19．（8分）二胎政策实施后，甲、乙两个家庭都有了各自的规划，假定生男生女的概率相同，请回答下列问题：（1）甲家庭已有一个男孩，准备再生一个孩子，则第二个孩子是女孩的概率是

；（2）乙家庭没有孩子，准备生两个孩子，用列表或树状法求至少有一个孩子是女孩的概率．20．（8分）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AC＝8，CD＝12，求半径的长度．21．（10分）如图，一次函数y1＝k1x+b（x＞0）的图象与反比例函数y2＝（x＞0）的图象交于点A（m，6）、点B（3，2）．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）根据图象直接写出：当x为

时，k1x+b﹣＜0．

22．（12分）在△ABC中，AB＝AC，点D为平面内一点，（1）观察猜想：如图1，当∠BAC＝90°，点D在BC上时，探究BD2、DC2与AD2之间的数量关系，我们可以把△ABD绕着点A逆时针旋转90°得△ACE，根据图形，请你通过探究直接写出BD2、DC2与AD2之间的数量关系：

；（2）类比探究：如图2，当∠BAC＝60°时，点D为△ABC外一点，将△ABD顺时针旋转后得到△BCE，若D、E、C三点在一直线上，求∠ADB的度数；（3）拓展应用：如图3，已知∠BAC＝∠BDA＝120°，DC＝10，AD＝2，求BD的长．

23．（12分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，CD平分∠ACB交⊙O于点D，OE⊥AC交AC于点E，交CD于点F，连接BD．（1）如图1，求∠OFD的度数．（2）如图2，过O作OG⊥CD于G，交BC于H，求证：BH＝OF；

（3）如图3，连接BF，若BF＝BD，OF＝1，求⊙O半径（画出辅助线，写出简要过程）．

24．（14分）疫情就是命令，台州新冠疫情防控指挥部安排某中学进行了核酸检测采样演练，演练下午3点开始，设6个采样窗口，每个窗口采样速度相同，学生陆续到操场排队，4点半排队完毕，小明就排队采样的时间和人数进行了统计，得到下表：时间x（分）0153045759095100110人数y（个）601151601952352401801200小明把记录的数据，在平面直角坐标系里，描成点连成线，发现满足学过的某些函数图象如图，请你解答：（1）求曲线ABC部分的函数解析式；（2）若排队人数在220人及以上，即为满负荷状态，问满负荷状态的时间持续多长？（3）如果采样进行45分钟后，为了减少扎堆排队的时间，指挥部要求4点15分后，采样可以随到随采，那么至少需新增多少个采样窗口？（4）疫情防控指挥部按照每个采样窗口与某中学相同采样速度对员工人数为600的某单位进行全员核酸检测，如果采样时间t（分钟）控制在30分钟到60分钟之间（即30≤t≤60），则开设的采样窗口数量n（个）的范围是

．

参考答案1．A．2．D．3．（B．4．D．5．C．6．A．7．C．8．B．9．B．10．C．11．（5分）抛物线y＝﹣2（x﹣3）2+5的顶点坐标是（3，5）．【分析】因为y＝﹣2（x﹣3）2+5是二次函数的顶点式，根据顶点式可直接写出顶点坐标．

【解答】解：∵抛物线解析式为y＝﹣2（x﹣3）2+5，∴二次函数图象的顶点坐标是（3，5）．故答案为（3，5）．【点评】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的顶点式，可确定抛物线的开口方向，顶点坐标（对称轴），最大（最小）值，增减性等．12．（5分）植树节过后，历下区园林绿化管理局为了考察树苗的成活率，于是进行了现场统计，表中记录了树苗的成活情况，则由此估计这种树苗成活的概率约为

0.9（结果精确到0.1）．移植总数n400150035007000900014000成活数m369133532036335807312628成活的频率0.9230.8900.9150.9050.8970.902【分析】用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．【解答】解：根据表格数据可知：树苗移植成活的频率近似值为0.9，所以估计这种树苗移植成活的概率约为0.9．故答案为：0.9．【点评】本题考查了利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．13．（5分）如图，菱形ABCD，∠A＝60°，AB＝3，分别以A，B，C，D为圆心，边长为半径画弧，得到一个眼状图形，则阴影部分的面积为

3π（结果保留π）．

【分析】由图可知，阴影部分的面积是两个圆心角为60°，且半径为3的扇形的面积，可据此求出阴影部分的面积．【解答】解：菱形ABCD，∠A＝60°，AB＝3，∴△ABD是等边三角形，∴AD＝AB＝BD，∴S弓形AD＝S弓形BD，∴S阴影＝2S扇形＝3π，故答案为：3π．【点评】本题利用了扇形的面积公式，菱形的性质，得出S阴影＝2S扇形是解题关键．14．（5分）把一个球放入长方体纸盒，球的一部分露出盒外，球与纸盒内壁都刚好相切，其截面如图所示，若露出部分的高度为6cm，AF＝DE＝3cm，则这个球的半径是

15cm．【分析】过O作OG⊥AD于G，交⊙O于H，连接OE，设半径为r

cm，根据勾股定理列方程即可得到结论．

【解答】解：过O作OG⊥AD于G，交⊙O于H，连接OE，∴FG＝EG，∵AF＝DE＝3cm，设半径为r

cm，则OG＝（r﹣6）cm，OE＝r

cm，EG＝（r﹣3）cm，根据勾股定理得，（r﹣3）2+（r﹣6）2＝r2，解得：r＝15或3（舍），答：这个球的半径为15cm．故答案为：15．【点评】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解题的关键是正确的作出辅助线构造直角三角形．15．（5分）把抛物线y＝x2﹣2x﹣c（c＞0）在直线y＝c上方部分沿直线y＝c对折，若对折后的部分在x轴上截得的线段长是6个单位，则c＝．【分析】根据题意对折后的部分在x轴上截得的线段长是6个单位，相当于抛物线y＝x2﹣2x﹣c在直线y＝2c上截得的线段长度是6个单位，然后解方程x2﹣2x﹣c＝2c，方程的解的差的绝对值＝6求出c即可．【解答】解：将抛物线y＝x2﹣2x﹣c（c＞0）在直线y＝c上方部分沿直线y＝c对折，而对折后的部分在x轴上截得的线段长是6个单位，相当于抛物线y＝x2﹣2x﹣c在直线y＝2c上截得的线段长度是6个单位，

∴当y＝2c时，x2﹣2x﹣c＝2c，则x2﹣2x﹣3c＝0，解得：x1＝1﹣2＝1+∴1+﹣（1﹣）＝6，2＝6，∴1+3c＝9，解得：c＝故答案为：．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，关键是理解题意把对折部分在x轴上截得的线段长进行转化．16．（5分）如图是三个正方形组成的图案，实线围成的三个封闭部分面积分别为S1，S2，S3，若S1＝1，则S2＝，S3＝．【分析】由正方形的性质可得：正方形ABCD的顶点C是正方形BDFE的中心，则延长BC必经过点F，延长DC比经过点E，设正方形ABCD的边长为a，则正方形BDFE的边长为a，利用勾股定理可得正方形AFGH的边长；利用AD∥BF，可得△ABD与△ADF为同底等高的三角形，再利用面积割补法可得S3与正方形BDFE的面积相等；利用S1＝S正方形AFGH﹣S2＝S正方形AFGH﹣S正方形BDFE，列出方方程即可求得a2的值，则结论可得．

【解答】解：如图，由正方形的性质可得：正方形ABCD的顶点C是正方形BDFE的中心，则延长BC必经过点F，延长DC比经过点E，设正方形ABCD的边长为a，则正方形BDFE的边长为a，∴BF＝2BC＝2a．∴AF＝＝a．即正方形AFGH的边长为a．∵AD∥BF，∴S△ADB＝S△ADF．∴＝a2．∴S△ABM＝S△DFM．∴S3＝S正方形BDFE＝2a2．∵S1＝S正方形AFGH﹣S2＝S正方形AFGH﹣S正方形BDFE，∴5a2﹣2a2＝1．

∴a2＝．∴S2＝3＝．故答案为：；．【点评】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，利用平行线的性质和同底等高的三角形面积相等以及利用面积割补法解答是解题的关键．三、解答题（第17～20题，每题8分，第21题10分，第22～23题，每题12分，第24题14分，共80分）17．（8分）解方程：x2﹣6x+5＝0（两种方法）．【分析】利用因式分解法和配方法解方程．【解答】解：方法一：（x﹣5）（x﹣1）＝0，x﹣5＝或x﹣1＝0，所以x1＝5，x2＝1；方法二：x2﹣6x＝﹣5，x2﹣6x+9＝4，（x﹣3）2＝4，x﹣3＝±2，所以x1＝5，x2＝1．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．18．（8分）如图所示，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（0，3），B（﹣1，0），C（3，﹣1）（每个方格的边长均为1个单位长度）．

（1）将△ABC绕点A逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB1C1；（2）直接写出在旋转过程中，点C经过的格点坐标（C，C1除外，格点指小正方形的顶点）．【分析】（1）根据旋转的性质即可将△ABC绕点A逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB1C1；（2）根据网格和旋转的性质即可写出在旋转过程中，点C经过的格点坐标．【解答】解：（1）如图，△AB1C1即为所求；（2）点C经过的格点坐标为：（4，0），（5，3）．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，解决本题的关键是掌握旋转的性质．19．（8分）二胎政策实施后，甲、乙两个家庭都有了各自的规划，假定生男生女的概率相同，请回答下列问题：（1）甲家庭已有一个男孩，准备再生一个孩子，则第二个孩子是女孩的概率是

；

（2）乙家庭没有孩子，准备生两个孩子，用列表或树状法求至少有一个孩子是女孩的概率．【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；（2）画树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出至少有一个孩子是女孩的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）第二个孩子是女孩的概率为；故答案为：；

（2）画树状图为：共有4个等可能的结果数，其中至少有一个孩子是女孩的结果数为3个，∴至少有一个孩子是女孩的概率为．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．20．（8分）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AC＝8，CD＝12，求半径的长度．【分析】（1）连接OD，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠DAB+∠DBA＝90°，再由∠CDA＝∠CBD可得∠CDA+∠DAO＝90°，然后利用OD＝OA证出∠DAB＝∠ADO，从而得∠CDO＝90°，根据切线的判定即可得出；

（2）在Rt△CDO中利用勾股定理列出关于r的方程即可解答．【解答】（1）证明：连接OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，∵∠CDA＝∠CBD，∴∠DAB+∠CDA＝90°，∵OD＝OA，∴∠DAB＝∠ADO，∴∠CDA+∠ADO＝90°，∴∠CDO＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：在Rt△CDO中，CD2+OD2＝OC2，∴122+r2＝（8+r）2，∴r＝5，∴半径的长度为5．

【点评】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．21．（10分）如图，一次函数y1＝k1x+b（x＞0）的图象与反比例函数y2＝（x＞0）的图象交于点A（m，6）、点B（3，2）．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）根据图象直接写出：当x为

0＜x＜1或x＞3时，k1x+b﹣＜0．【分析】（1）把B点坐标代入反比例函数解析式可求得k2的值，把点A（m，8）代入求得的反比例函数的解析式求得m，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；（2）直接由A、B的坐标可求得答案．

故答案为：0＜x＜1或x＞3．【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．22．（12分）在△ABC中，AB＝AC，点D为平面内一点，（1）观察猜想：如图1，当∠BAC＝90°，点D在BC上时，探究BD2、DC2与AD2之间的数量关系，我们可以把△ABD绕着点A逆时针旋转90°得△ACE，根据图形，请你通过探究直接写出BD2、DC2与AD2之间的数量关系：CD2+BD2＝2AD2；（2）类比探究：如图2，当∠BAC＝60°时，点D为△ABC外一点，将△ABD顺时针旋转后得到△BCE，若D、E、C三点在一直线上，求∠ADB的度数；（3）拓展应用：如图3，已知∠BAC＝∠BDA＝120°，DC＝10，AD＝2，求BD的长．【分析】（1）由旋转知AD＝AE，∠DAE＝∠BAC＝90°，∠B＝∠ACE，BD＝CE，由等腰三角形的性质可证∠DCE＝90°，从而得出CD2+CE2＝DE2＝2AD2；（2）连接DE，由（1）同理可得△BDE是等边三角形，得∠BED＝60°，则有∠BEC＝∠ADB＝120°；（3）将△ADB绕点A逆时针旋转120°得△ACE，连接DE，作AH⊥DE于H，可得△ADE是顶角为120°的等腰三角形，则∠DEC＝90°，再求出DH的长，从而得出DE，再利用勾股定理即可得出答案．

【解答】解：（1）将△ABD绕着点A逆时针旋转90°得△ACE，连接DE，则AD＝AE，∠DAE＝∠BAC＝90°，∠B＝∠ACE，BD＝CE，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，∴∠DCE＝90°，∴CD2+CE2＝DE2＝2AD2，∴BD2+CD2＝2AD2，故答案为：CD2+BD2＝2AD2；（2）如图，连接DE，∵将△ABD顺时针旋转后得到△BCE，∴BD＝BE，∠DBE＝∠ABC＝60°，∠ADB＝∠BEC，∴△BDE是等边三角形，∴∠BED＝60°，∴∠BEC＝∠ADB＝120°，∴∠ADB的度数为120°；（3）将△ADB绕点A逆时针旋转120°得△ACE，连接DE，作AH⊥DE于H，

∴∠AEC＝∠ADB，AD＝AE，∠DAE＝∠BAC＝120°，∴∠AED＝30°，∴∠DEC＝∠AEC﹣∠AED＝90°，∵AD＝2∴AH＝∴DH＝3，∵AD＝AE，AH⊥DE，∴DE＝2DH＝6，在Rt△DEC中，由勾股定理得，CE＝8，∴BD＝CE＝8，∴BD的长为8．【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，采取类比的方法是解题的关键．23．（12分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，CD平分∠ACB交⊙O于点D，OE⊥AC交AC于点E，交CD于点F，连接BD．（1）如图1，求∠OFD的度数．（2）如图2，过O作OG⊥CD于G，交BC于H，求证：BH＝OF；（3）如图3，连接BF，若BF＝BD，OF＝1，求⊙O半径（画出辅助线，写出简要过程）．

【分析】（1）可证得△CEF是等腰直角三角形，进而求得结果；（2）连接CF，证明△COF≌△OBH，从而命题得证；（3）设EF＝a，半径OA＝r，表示出AE和OE，BD和DH，利用△AOE∽△BDH求得a，进而求得r．【解答】（1）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACF＝∵OE⊥AC，∴∠FEC＝90°，∴∠CFE＝90°﹣∠ACF＝90°﹣45°＝45°，∴∠OFD＝∠CFE＝45°；（2）证明：如图1，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，

∵OG⊥CD，∴∠CGH＝90°，∵∠BCD＝45°，∴∠CHG＝90°﹣∠BCD＝45°，∴∠CBO+∠BOH＝∠CHG＝45°，∠GCO+∠OCB＝∠GCH＝45°，∴∠GCO＝∠HOB，在△COF和△OBH中，∴△COF≌△OBH（AAS），∴BH＝OF；（3）解：如图2，设EF＝a，半径OA＝r，作OG⊥CD于G，BH⊥CD于H，∵BF＝BD，∴DH＝∵△CEF是等腰直角三角形，∴CE＝EF＝a，CF＝

∵OE⊥AC，∴AE＝CE＝a，∵OF＝1，∴OE＝OF+EF＝a+1，∵△GOF是等腰直角三角形，∴GF＝OG＝∴CG＝CF+GF＝∴CD＝2CG＝2∴DF＝CD﹣CF＝2＝∴DH＝＝∴∠D＝∠CAB，∵∠AEO＝∠BHD＝90°，∴a＝1，在Rt△AOE中，由勾股定理得，r2＝a2+（a+1）2＝12+22＝5，

∴⊙O的半径是．【点评】本题是圆的综合题，考查了垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形判定和性质等知识，解决问题的关键是分析数量关系，表示出重要数量，利用相似三角形性质列方程．24．（14分）疫情就是命令，台州新冠疫情防控指挥部安排某中学进行了核酸检测采样演练，演练下午3点开始，设6个采样窗口，每个窗口采样速度相同，学生陆续到操场排队，4点半排队完毕，小明就排队采样的时间和人数进行了统计，得到下表：小明把记录的数据，在平面直角坐标系里，描成点连成线，发现满足学过的某些函数图象如图，请你解答：（