北京市2024届九年级上学期期中检测数学试卷

北京市2023-2024第一学期初三数学期中检测时间：90分钟满分：100分一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．二次函数的最小值是（）A．1 B．-1 C．2 D．-22．我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）是由四个图案构成，这四个图案中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．方程的根的情况是（）A．没有实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．有一个实数根4．将抛物线的图象向下平移3个单位长度，则平移后抛物线的解析式为（）A． B． C． D．5．用配方法解一元二次方程，此方程可化为的正确形式是（）A． B． C． D．6．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点，，将矩形OABC绕点O逆时针旋转90°，则旋转后点B的对应点坐标为（）A． B． C． D．7．如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转角（）至，使得点恰好落在AB边上，则等于（）A．150° B．90° C．30° D．60°8．某农业基地现有杂交水稻种植面积36公顷，计划两年后将杂交水稻种植面积增加到48公顷，设该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率为x，则可列方程为（）A． B． C． D．9．某超市一种干果现在的售价是每袋30元，每星期可卖出100袋．经市场调研发现，如果在一定范围内调整价格，每涨价1元，每星期就少卖出5袋．已知这种干果的进价为每袋20元，设每袋涨价x（元），每星期的销售量为y（袋），每星期销售这种干果的利润为z（元）．则y与x，z与x满足的函数关系分别是（）A．一次函数关系，一次函数关系 B．一次函数关系，二次函数关系C．二次函数关系，二次函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系10．抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物线经过点，则一定是方程的一个根．其中所有正确结论的序号是（）A．①② B．①③ C．③④ D．①④二、填空题：本大题共8个小题，每小题2分，共16分．11．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是__________．12．已知是关于x的一元二次方程的一个根，则b的值是__________．13．写出一个开口向下，顶点在x轴上的二次函数的表达式__________．14．如图，P是正方形ABCD内一点，将绕点C逆时针方向旋转后与重合，若，则__________．15．如图，直线与抛物线交于A，B两点，其中点，点，则不等式的解集为__________．16．已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是__________．17．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是，那么飞机着陆后滑行__________秒才能停下来．18．如图，已知，，，，点D在CB所在直线上运动，以AD为边作等边三角形ADE，则__________．在点D运动过程中，CE的最小值__________．三．解答题：共54分，第19-24题，每题5分，第25-28题，每题6分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．19．解方程：．20．如图，在正方形ABCD中，点E在边AB上，将点E绕点D逆时针旋转得到点F，若点F恰好落在边BC的延长线上，连接DE，DF，EF．（1）判断的形状，并说明理由；（2）若，则的面积为__________．21．已知关于x的一元二次方程．（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；（2）若是该方程的一个实数根，求代数式的值．22．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．（1）画出关于原点中心对称的，并写出点的坐标：__________；（2）画出将绕点按顺时针方向旋转90°所得的．23．已知：二次函数中的x和y满足下表：x…012345…y…30-10m8…（1）m的值为__________；（2）求出这个二次函数的解析式；（3）当时，则y的取值范围为__________．24．如图，有一块长为21m，宽为10m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，且人行通道的宽度不能超过3米．（1）如果两块绿地的面积之和为，求人行通道的宽度；（2）能否设计人行通道的宽度，使得每块绿地的宽与长之比等于3：5，请说明理由﹒25．下面给出六个函数解析式：，，，，，．小明根据学习二次函数的经验，分析了上面这些函数解析式的特点，研究了它们的图象和性质．下面是小明的分析和研究过程，请补充完整：（1）观察上面这些函数解析式，它们都具有共同的特点，可以表示为形如：__________，其中x为自变量；（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，画出了函数的部分图象，用描点法将这个函数的图象补充完整；（3）对于上面这些函数，下列四个结论：①函数图象关于y轴对称②有些函数既有最大值，同时也有最小值③存在某个函数，当（m为正数）时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小④函数图象与x轴公共点的个数只可能是0个或2个或4个所有正确结论的序号是__________；（4）结合函数图象，解决问题：若关于x的方程有一个实数根为3，则该方程其它的实数根为__________．26．在平面直角坐标系xOy中，点，在抛物线上，其中．（1）求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；（2）①当时，求y的值；②若，求的值（用含a的式子表示）；（3）若对于，都有，求a的取值范围．27．如图，在中，，将BC边绕点C逆时针旋转（）得到线段CD．（1）判断与的数量关系并证明；（2）将AC边绕点C顺时针旋转得到线段CE，连接DE与AC边交于点M（不与点A，C重合）．①用等式表示线段DM，EM之间的数量关系，并证明．②若，，直接写出AM的长．（用含a，b的式子表示）28．对于某一函数给出如下定义：若存在实数p，当其自变量的值为p时，其函数值等于p，则称p为这个函数的不变值．在函数存在不变值时，该函数的最大不变值与最小不变值之差q称为这个函数的不变长度．特别地，当函数只有一个不变值时，其不变长度q为零．例如，下图中的函数有0，1两个不变值，其不变长度q等于1．（1）函数①，②，③中存在不变值的是__________(填序号)；（2）函数．①若其不变长度为0，则b的值为__________；②若，求其不变长度q的取值范围；（3）记函数的图象为，将沿翻折后得到的函数图象记为．函数G的图象由和两部分组成，若其不变长度q满足，则m的取值范围为__________．

北京市重点中学2023-2024第一学期初三数学期中检测参考答案一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．1．D 2．B 3．C 4．A 5．A6．A 7．D 8．C 9．B 10．B二、填空题：本大题共8个小题，每小题2分，共16分．11． 12． 13．答案不唯一，如 14．15． 16．且 17．20 18．4；三．解答题：共54分，第19-24题，每题5分，第25-28题，每题6分．19．解：∴，．20．（1）是等腰直角三角形．证明：在正方形ABCD中，，．∵F落在边BC的延长线上，∴．∵将点E绕点D逆时针旋转得到点F，∴．∴．∴．∵∴，即，∴是等腰直角三角形．（2）的面积为8．21．（1）证明：∵，∴不论m为何值，该方程总有两个实数根；（2）解：把代入方程得，即，∴．22.（1）如图所示（画图2分）；；（2）如图所示．23．解：（1）∵抛物线经过点和，∴抛物线的对称轴为直线，∴当和所对应的函数值相等，∴；故答案为：3；（2）∵抛物线经过点和，∴抛物线的对称轴为直线，顶点为，设抛物线解析式为，把代入得，解得，∴抛物线解析式为．（或者写成）．（3）当时，，当时，y有最小值-1，当时，，∴当时，则y的取值范围为．故答案为：．24．解：（1）设人行通道的宽度为x米，则两块矩形绿地的长为（米），宽为（米），根据题意得：，解得：（舍去），，答：人行通道的宽度为2米；（2）设人行通道的宽为y米时，每块绿地的宽与长之比等于3：5，根据题意得：，解得：，∵，∴不能改变人行横道的宽度使得每块绿地的宽与长之比等于3：5．25．解：（1）①，（a，b，c是常数，）．（2）图象如图1所示．图1（3）①③．（4）如图2，-1，0．图226，解：（1）抛物线的对称轴为直线．（2）①当时，；②．（3）①当时，∵，，∴，只需讨论的情况．若，∵时，y随着x的增大而增大，∴，符合题意；若，∵，∴．∵，∴．∴．∵时，，时，y随着x的增大而增大，∴，符合题意．②当时，令，，此