2022-2023学年高一数学：直线与圆的位置关系的实际应用

2.5.1直线与圆的位置关系的实际应用（第2课时）第2章直线和圆的方程人教A版2019选修第一册01直线与圆的方程在实际生活中的应用02与圆有关的最值问题03过直线与圆的交点的圆系方程目录“海上生明月,天涯共此时。”,表达了诗人望月怀人的深厚情谊。在海天交于一线的天际,一轮明月慢慢升起,先是探出半个圆圆的小脑袋,然后冉冉上升,和天际线相连,再跃出海面,越来越高,展现着迷人的风采.这个过程中,月亮看作一个圆,海天交线看作一条直线,月出的过程中也体现了直线与圆的三种位置关系:相交、相切和相离.情景导入1.直线与圆的方程在实际生活中的应用如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这个圆的圆拱跨度𝐴𝐵=20

m,拱高𝑂𝑃=4

m,建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑,求支柱𝐴2𝑃2的高度（精确到0.01m）.ABA1A2A3A4OPP2典例1POA2P2A1AA3A4BCH思考1你能用几何法求支柱𝐴2𝑃2的高度吗？【分析】如图,过_x001A_𝑃_x001B_2_x001B_作_x001A_𝑃_x001B_2_x001B_𝐻⊥𝑂𝑃,由已知,在直角三角形𝐴𝑂𝐶中,有_x001A__x001A_𝐶𝐴_x001B__x001B_2_x001B_=_x001A__x001A_𝐶𝑂_x001B__x001B_2_x001B_+_x001A__x001A_𝑂𝐴_x001B__x001B_2_x001B_.设圆拱所在圆𝐶的半径长是𝑟,则有_x001A_𝑟_x001B_2_x001B_=_x001A__x001A_𝑟−4_x001B__x001B_2_x001B_+1_x001A_0_x001B_2_x001B_,解得𝑟=14.5.我们求出_x001A_𝑂𝐻_x001B_即可.

典例1ABA1A2A3A4OPP2xy思考2你能用代数法(坐标法)求支柱𝐴2𝑃2的高度吗？思考3取1m为长度单位，如何求圆拱所在圆的方程？

思考4利用这个圆的方程可求得点𝑃2的纵坐标是多少？问题的答案如何？

典例1解:建立如图所示的坐标系，设圆心坐标是（0，𝑏）,圆的半径是𝑟,则圆的方程是𝑥2+(𝑦−𝑏)2=𝑟2

.答:支柱𝐴2𝑃2的长度约为3.86m.如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这个圆的圆拱跨度𝐴𝐵=20

m,拱高𝑂𝑃=4

m,建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑,求支柱𝐴2𝑃2的高度（精确到0.01m）.第一步:建立坐标系，用坐标和方程表示有关的量.第二步:进行有关代数运算第三步:把代数运算结果翻译成几何关系.

把点𝑃2的横坐标𝑥=−2

代入圆的方程,得_x001A__x001A_−2_x001B__x001B_2_x001B_+_x001A__x001A_𝑦+10.5_x001B__x001B_2_x001B_=_x001A_14.5_x001B_2_x001B_.把𝑃（0,4）

𝐵（10,0）代入圆的方程得方程组_x001A__x001A_02+_x001A_4−𝑏_x001B_2=_x001A_𝑟_x001B_2_x001B_,_x001B_102+_x001A_0−𝑏_x001B_2=_x001A_𝑟_x001B_2_x001B_,_x001B__x001B_

典例1坐标法解决平面几何问题的“三步曲”:第二步:通过代数运算，解决代数问题；第三步:将代数运算结果“翻译”成几何结论．第一步:建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；归纳总结1.一个小岛的周围有环岛暗礁,暗礁分布在以小岛中心为圆心,半径为20km的圆形区域内.已知小岛中心位于轮船正西40km处,港口位于小岛中心正北30km处.如果轮船沿直线返港,那么它是否会有触礁危险?•港口xOy•轮船•解:以小岛的中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系，为了运算的简便，我们取10km为单位长度，则港口所在位置的坐标为(0,3)，轮船所在位置的坐标为(4,0).这样，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为轮船航线所在直线l的方程为联立直线l与圆O的方程,消去y,得由△<0,可知直线l与圆O相离,所以轮船沿直线返港不会有触礁危险.练一练2.已知台风中心从A地以20km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30km内的地区为危险区，城市B在A的正东40km处，求B城市处于危险区内的时间.【解】如图，以A为原点，以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系．射线AC为∠xAy的平分线，则台风中心在射线AC上移动，点B到AC的距离为.xyCAB则射线AC被以B为圆心，以30km为半径的圆截得的弦长为所以B城市处于危险区内的时间为t＝1(h).用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几何元素:点、直线、圆,将几何问题转化为代数问题；然后通过代数运算解决代数问题；最后解释代数运算结果的几何含义,得到几何问题的结论.这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”:第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何要素,如点、直线、圆,把平面几何问题转化为代数问题;第二步:通过代数运算,解决代数问题;第三步:把代数运算的结果“翻译”成几何结论.2.与圆有关的最值问题已知实数x,y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.(2)求y－x的最大值和最小值.解：原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，的几何意义是圆上一点与原点连线的的斜率，即y＝kx.oxy当直线y＝kx与圆相切时,斜率k取得最大值或最小值,典例2(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距,当直线y＝x＋b与圆相切时,b取得最大值或最小值,oxy在本例条件下，求x2＋y2的最大值和最小值.解:x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，又圆心到原点的距离为所以x2＋y2的最大值是x2＋y2的最小值是练一练DA(2,0)BxyOC(0,1)解:练一练DP(2,0)BxyOC(0,1)解:练一练解:lBxyOC(0,1)D练一练解:lxyOC(0,1)练一练2.过直线与圆的交点的圆系方程已知圆C经过直线x＋y＋2＝0与圆x2＋y2＝4的交点，且圆C的圆心在直线2x－y－3＝0上，求圆C的方程.设所求圆的方程为(x2＋y2－4)＋a(x＋y＋2)＝0,即x2＋y2＋ax＋ay－4＋2a＝0,因为圆心在直线2x－y－3＝0上,所以a＝－6.所以圆的方程为x2＋y2－6x－6y－16＝0,即(x－3)2＋(y－3)2＝34.典例3求过直线与圆的交点的圆系方程的方法(1)联立方程组，求出交点坐标，再根据交点坐标求方程；(2)设圆系方程求参数，一般地，过直线l:Ax＋By＋C＝0与圆O:x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)的交点的圆系方程可设为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0.求经过直线x＋y＝0与圆x2＋y2＋2x－4y－8＝0的交点，且经过点P(－1，－2)的圆的方程.解方程组所以直线与圆交于点A(1,－1)和点B(－4,4).设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0),故所求圆的方程为x2＋y2＋3x－3y－8＝0.方法二:设所求圆的方程为x2＋y2＋2x－4y－8＋λ(x＋y)＝0，又点P(－1，－2)在圆上，将(－1，－2)代入圆的方程得(－1)2＋(－2)2＋2×(－1)－4×(－2)－8＋λ(－1－2)＝0，解得λ＝1.故所求圆的方程为x2＋y2＋2x－4y－8＋x＋y＝0，即x2＋y2＋3x－3y－8＝0.最长弦、最短弦问题(1)当直线过圆心时,直线被圆截得的弦长最长,最长弦是直径,即为(2)当直线与过圆心的弦垂直时,被圆截得的弦长最短,即为过一点与圆相切的切线方程问题:(1)过圆上一点与圆相切的切线方程求法:【例1】过圆C:x2＋y2＝10上一点P(1,3),且与圆C相切的切线方程为__________.x+3y-10=0一般地,过圆C:x2＋y2＝r2上一点P(x0,y0),且与圆C相切的切线方程为【例2】过圆C:(x－4)2＋(y－2)2＝10上一点P(1,3),且与圆C相切的切线方程为______________.3x－y＝0一般地,过圆C:(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0,y0),且与圆C相切的切线方程为过一点与圆相切的切线方程问题:(1)过圆上一点与圆相切的切线方程求法:过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0,y0)的切线方程:归纳总结:P(x,y)yxOC(a,b)特别地，过圆x2＋y2＝r2上点M(x0,y0)的切线方程:P(x,y)yxO【例3】过点P(1,1)与圆C:(x－4)2+(y－2)2=1相切的切线方程为________________.y=1或3x-4y+1=0注意:此种情况一定要对切线斜率存在与否进行讨论,否则有可能会漏解；还有区分切线所过的点是否在圆上,只需验证点的坐标是否满足圆的方程即可.过一点与圆相切的切线方程问题:(2)过圆外一点与圆相切的切线方程求法:【变式】过点P(3,－1)与圆C:(x－4)2+(y－2)2=1相切的切线方程为_____________.x=3或4x-3y-15=0课本练习1.赵州桥的跨度是37.4m,圆拱高约为7.2m.求这座圆拱桥的拱圆的方程.ABPOxy解:建立如图所示的直角坐标系.设圆拱所在圆的圆心坐标为(0,b),圆的半径为r,则圆的方程为由题意,点P,B在圆上,且它们的坐标分别为(0,7.2),(18.7,0),则有故所求圆拱的方程为解得2.某圆拱桥的水面跨度20m,拱高4m.现有一船,宽10m,水面以上高3m.这条船能否从桥下通过?ABPOxyCFED解:建立如图所示的直角坐标系.设圆拱的圆心坐标为(0,b),圆的半径为r,则圆的方程为由题意,点P,B在圆上,且它们的坐标分别为(0,4),(10,0),则有故所求圆拱的方程为解得把代入上式，得因为船在水面以上的高度为3m,3<3.1,所以该船可以从船下穿过.3.在一个平面上,机器人从与点C(5,－3)的距离为9的地方绕点C顺时针而行,在行进过程中保持与点C的距离不变,它在行进过程中到过点A(－10,0)与B(0,12)的直线的最近距离和最远距离分别是多少?22lA(0,12)•C(5,-3)xOy•B(-10,0)•解:依题意得,机器人在以C(5,－3)为圆心,9为半径的圆上运动,其圆的方程为经过点A(－10,0)与B(0,12)的直线方程为