费马点问题-【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（解析版）(一)-中考数学备考复习重点资料归纳

【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案

专题12费马点问题

解题策略

krerrmiu,ioul年8月17日-1665年1月12日），生于法国南部图卢兹

附近的波蒙•德•罗曼，被誉为业余数学家之王.1643年，费马曾提出了一个著名的几何

问题：给定不在一条直线上的三个点A,B,C,求平面上到这三个点的距离之和最小的

点的位置.另一位数学家托里拆利成功地解决了这个问题：如图1,△A8C（三个内角均

小于120°）的三条边的张角都等于120°,即满足NAPB=NBPC=NAPC=120°的点

P,就是到点A,B,C的距离之和最小的点，后来人们把这个点P称为“费马点”.

下面是“费马点”的证明过程：如图2,将△AP8绕着点8逆时针旋转60°得到P'

B,使得A'P'落在△ABC外，则AA'AB为等边三角形，：.P'B=PB=PP',

于是必+PB+PC=P'A'+PP'+PC^A'C,

...当A,P=P,C四点在同一直线上时B4+PB+PC有最小值为4c的长度，

,:P'B=PB,NPBP=60°,

...△PBP为等边三角形，

则当4,P,P,C四点在同一直线上时，

ZBPC=1800-NP'PB=180°-60°=120°,

NAP8=NA'PB=180°-NBP'P=180°-60°=120°,

NAPC=360°-ZBPC-ZAPC=360°-120°-120°=120°,

...满足/AP8=NBPC=NAPC=120°的点P,就是到点A,B,C的距离之和最小的点；

图2

经典例题

\见如因\"，3为△A8C所在平面上一点,且N4PB=/BPC=/Cfi4=120°,则

点P叫做△ABC的费马点.

ABf

B

图⑴图⑵

(1)如点尸为锐角的费马点.且NA8C=60°,%=3,PC=4,求尸8的长.

(2)如图(2),在锐角△ABC外侧作等边△ACS'连接.求证：BB'过△ABC的

费马点尸，且88'=PA+PB+PC.

(3)已知锐角△ABC,ZACB=60°,分别以三边为边向形外作等边三角形AB£),BCE,

ACF,请找出△ABC的费马点，并探究SAABC与SAABD的和，S^BCE与S”CF的和是否相

等.

【分析】(1)由题意可得△ABPsZ\8CP,所以即尸8=2五；

(2)在8B'上取点P,使/BPC=120°,连接AP,再在PB'上截取PE=PC,连接CE.由

此可以证明为正三角形，再利用正三角形的性质得到PC=CE,ZPCE=60°,

NCE3=120°,而△AC8为正三角形，由此也可以得到AC=B'C,ZACB'=60°,现在

根据已知的条件可以证明△ACP好△8CE,然后利用全等三角形的性质即可证明题目的

结论；

(3)作CP平分/AC8,交BC的垂直平分线于点P,P点即费马点；

要证明以上结论，需创造一些条件，首先可从△ABC中分出一部分使得与△ACF的面积

相等，则过A作AM〃尸C交8c于M,连接OM、EM,就可创造出这样的条件，然后再

证其它的面积也相等即可.

【解析】(1)；NRW+/P&4=180°-ZAPB=60Q,

ZPBC+ZPBA=ZABC=60°,

；./如B=NPBC,

又；NAP8=N8PC=120°,

:.△ABPs/\BCP,

•PA=PB

"PBPC

：.PB2=PA'PC=\2,

:.PB=2M;

(2)证明：在88'上取点P,使N3PC=120°.连接4P,再在尸2'匕截取PE=PC,连

接CE.

：.ZEPC^60Q,

...△PCE为正三角形，

:.PC=CE,ZPCE=60Q,NCEB，=120°.

•••△ACS为正三角形，

C.AC^B'C,ZACB'=6Q°,

ZPCA+ZACE=ZACE+ZECB'=60°,

：.ZPCA=ZECB',

...△ACP丝CE,

；.NAPC=NB'£C=120°,PA=EB',

ZAPB^ZAPC=ZBPC=120°,

尸为△ABC的费马点.

.♦.BB'过△ABC的费马点P,且BB'=EB'+PB+PE=PA+PB+PC.

(3)如下图，

作CP平分/ACB,交8c的垂直平分线于点P,P点就是费马点;

证明：过4作AM〃尸。交8c于M,连接。M、EM,

VZACfi=60°,/C4尸=60°,

，ZACB=ZCAF,

：.AF//MC,

...四边形AMCF是平行四边形，

又：/;A=FC,

四边形4MCF是菱形，

：.AC=CM^AM,且NMAC=60°,

•.•在△B4C与△EMC中，

CA=CM,ZACB=ZMCE,CB=CE,

'：ZDAM=ZDAB+ZBAM=60°+ZBAM

NBAC=/M4C+/BAM=60°+ZBAM

：.NBAC=ZDAM

在△ABC和△AOM中

AB=AD,ZBAC=ZDAM,AC=AM

：.^ABC^^ADM(SAS)

故△ABCdMECdAOM,

在CB上截取CM,使CM=C4,

再连接AM、DM、EM(辅助线这样做△/!〃€■就是等边三角形了，后边证明更简便)

易证△AMC为等边三角形，

在△ABC与△〃£：(；中，

CA=CM,ZACB=ZMCE,CB=CE,

：.AABC^AA/EC(SAS),

：.AB=ME,ZABC=AMEC,

又；。8=AB,

；.DB=ME,

/DBC=ZDBA+ZABC^60°+ZABC,

NBME=NBCE+NMEC=60°+ZMEC,

：.NDBC=NBME,

J.DB//ME,

即得到DB与ME平行且相等，故四边形DBEM是平行四边形，

四边形DBEM是平行四边形，

.".S^/3DM+S^DAM+S^MAC=S^BEM+S^EMC+SMCF,

即SMBC+SMBD=SABCE+SMCF.

【例21探究问题:

（1）阅读理解：

①如图（A）,在已知aABC所在平面上存在一点P,使它到三角形顶点的距离之和最小，

则称点P为△ABC的费马点，此时PA+PB+PC的值为△ABC的费马距离；

②如图（8）,若四边形ABC。的四个顶点在同一圆上，则有A8・CQ+8C・D4=AC・8。.此

为托勒密定理；

（2）知识迁移：

①请你利用托勒密定理，解决如下问题：

如图（C）,已知点P为等边△ABC外接圆的前上任意一点.求证：PB+PC^PA；

②根据（2）①的结论，我们有如下探寻AABC（其中N4、NB、NC均小于120°）的

费马点和费马距离的方法：

第一步：如图（。），在△ABC的外部以BC为边长作等边△8C。及其外接圆；

第二步：在?5±任取一点P,连接PA、P'B、P'C、P'D.易知尸'A+P'B+P'

C=P'A+CP'B+P'C）=P'A+P'D

第三步：请你根据（1）①中定义，在图（。）中找出△A8C的费马点P,并请指出线段

也—的长度即为△A8C的费马距离.

2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困

难，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水.

已知三村庄A、B、C构成了如图（E）所示的△A8C（其中乙4、NB、/C均小于120°）,

现选取一点P打水井，使从水井户到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小，求输

水管总长度的最小值.

【分析】（2）知识迁移①问，只需按照题意套用托勒密定理，再利用等边三角形三边相

等，将所得等式两边都除以等边三角形的边长，即可获证.②问，借用①问结论，及线

段的性质“两点之间线段最短”数学容易获解.

（3）知识应用，在（2）的基础上先画出图形，再求解.

【解答】（2）①证明：由托勒密定理可知

•..△ABC是等边三角形

：.AB=AC=BC,

：.PB+PC=PA,

②尸'D、AD,

（3）解：如图，以8c为边长在△4BC的外部作等边△BCD,连接A。，则知线段AO

的长即为最短距离.

：△88为等边三角形，8c=4,

；.NCBD=60°,BD=BC=4,

VZABC=30a,/.ZABD=90",

在RtZXABZ）中，：AB=3,BD=4,

VAB2+BD2=V32+42=5（如力，

从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度的最小值为5h”.

D

D

【例3].如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（0,2）,点。在x轴的正半轴

上，ZODB=30°,OE为△B。。的中线，过8、E两点的抛物线x

轴相交于A、尸两点（A在尸的左侧）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）等边△OMN的顶点M、N在线段AE上，求AE及AM的长；

（3）点P为△ABO内的一个动点，设机=唐+尸8+尸0,请直接写出，"的最小值，以及m

取得最小值时，线段AP的

【分析】（1）己知点8的坐标，可求出08的长：在RtZ\08。中，己知了/。力8=30°,

通过解宜角三角形即可求得。。的长，也就得到了点。的坐标；由于£是线段8。的中

点，根据8、。的坐标即可得到E点的坐标：将8、E的坐标代入抛物线的解析式中，即

可求得待定系数的值，由此确定抛物线的解析式；

（2）过E作EG_Lx轴于G,根据4、E的坐标，即可用勾股定理求得AE的长；

过。作AE的垂线，设垂足为K,易证得△AOKs/vlEG,通过相似三角形所得比例线

段即可求得OK的长；在RtZXOMK中，通过解直角三角形，即可求得MK的值，而AK

的长可在RtZXAEK中由勾股定理求得，根据AM=AK-KW或AM=AK+KM即可求得AM

的长；

（3）由于点。到△ABO三顶点的距离和最短，那么点P是△AB。的费马点，即/AP。

=ZOPB=ZAPB=\20°；易证得△06E是等边三角形，那么办+PO+PB的最小值应为

AE的长；求AP的长时，可作△OBE的外切圆（设此圆为。。），那么。。与AE的交点

即为，”取最小值时户点的位置；设。。与x轴的另一交点（。点除外）为H,易求得点

。的坐标，即可得到点”的坐标，也就得到了AH的长，相对于。。来说，AE.A”都

是OQ的割线，根据割线定理即可求得AP的长.

【解析】（1）过E作EGJ_OO于G（I分）

,：ZBOD=ZEGD=90°,ZD=ZD,

:.ABODsAEGD,

•.•点B（0,2）,NOO8=30°,

可得08=2,0D=2«；

为8。中点，

.EGDEGD1

"BO"DB=OD1

：.EG=\,GD=V3

0G=V3

.•.点E的坐标为（«,1）（2分）

:抛物线丫=2乂2率x+c经过8（0,2）、E（V3,1）两点,

l=a（V3）2XV3+2，

可得a=4：

...抛物线的解析式为y=^x2率x+2：（3分）

（2）•.•抛物线与龙轴相交于A、F,4在尸的左侧，

点的坐标为（—四，0）

.•.AG=2«,EG=1,

...在aAGE中，NAGE=90°,（273）2+12=V13⑺分）

过点。作OK_LAE于K,

可得△AOKs/^AEG

.OK_EG

"AO'AE

.OK]

"73=713

•，噜

AK=7AO2-OK2

•..△OMN是等边三角形，

/.NNMO=60°

V39

IT_OK一方.

KH-tanZKM0-布-13

•'-AM=AK+KM=^p-'或AM=AK-KM=5辱;（6分）

XOXO

（写出一个给1分）

（3）如图；

以A8为边做等边三角形AO'B,以0A为边做等边三角形A03'；

易证OE=O8=2,NO8E=60°,则△O8E是等边三角形；

连接0。'、BB，、AE,它们的交点即为"，最小时，P点的位置（即费马点）：

"：OA=OB',NB'OB=/AOE=150°,OB=OE,

.♦.△AOE丝0B-,

：.ZB'80=/AE。；

,：ZBOP=ZEOP',而NBO£=60°,

.•.NPOP=6（T,

'△POP'为等边三角形，

：.OP=PP',

：.PA+PB+PO=AP+OP'+P'E=AE；

即m坡小=AE=J]3；

如图；作正△OBE的外接圆。Q,

根据费马点的性质知NBPO=120°,则NPBO+/8OP=60°,而NEBO=NEOB=60°；

；.NPBE+/POE=180°,ZBPO+ZBEO=180°；

即8、P、0、E四点共圆；

易求得。（近，1）,则，（冬/1_,0）；

33

3

由割线定理得：AP-AE=OA-AH,

即：亘.

313

故：，〃可以取到的最小值为我

当m取得最小值时，线段AP的长为显亘.

13

（如遇不同解法，请老师根据评分标准酌情给分）

1.已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点.如果aABC是锐角

（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足/AP8=N8PC=NCB4=

120°.（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）.若AB=AC=夜,BC=2禽，

尸为△ABC的费马点，则P+PB+PC=5；若AB=2百，BC=2,AC=4,P为/XABC

的费马点，则弘+P8+PC=.

【分析】①作出图形，过B,C分别作N£>BP=NOCP=30°,勾股定理解直角三角形即

可；

②作出图形，将△APC绕点A逆时针旋转60°,P为△ABC的费马点则8,P,P,,C

四点共线，即M+P8+PC=BC,再用勾股定理求得即可.

【解析】如图，过A作AQLBC,垂足为。，

过8,C分别作NO2P=NOCP=30°,则PB=PC,P为△ABC的费马点，

；A8=AC=V7，BC=2料，

;-BD=DC=yBC=V3）

•+0C。PDV3

.•tan30=而二

:・PD=1,

•••AD=A/AB2-BD2=VT^3=2，

：.PA+PB+PC=5；

②如图：

,:AB=2«,BC=2,AC=4,

：.AB2+BC2^]6,AC2=16,

：.AB2+BC2=AC2,NABC=90°,

：sinNBAC=^q=sin30。'

AC2

AZBAC=30°,

将△4PC绕点A逆时针旋转60°,

由旋转可得：△APCZ/V1PC,

：.AP'=AP,PC=P'C,AC^AC,ZCAC^ZPAP1=60°,

：.^APP'是等边三角形，

：.ZBAC=90°,

为△ABC的费马点，

即B,P,P',C四点共线时候，PA+PB+PC=BC,

；.PA+PB+PC=BP+PP”C=BC=ylhB2+hC‘2=4(2^)2+42

故答案为：5,2^7.

P

BC

A

2.在△ABC中，若其内部的点尸满足/428=/82。=/(7%=120°,则称P为△ABC的

费马点.如图所示，在△ABC中，已知N8AC=45°,设尸为△ABC的费马点，且满足

/P8A=45°,%=4,则△"(；的面积为4\6.

【分析】如图，延长BP交AC于£),先说明△A8D是等腰直角三角形，△AOP是30°

的直角三角形，可得P。和AO的长，根据费马点的定义可得/APC=120°,从而可知

△POC也是30°的直角三角形，可得CQ的长，根据三角形的面积公式可得结论.

【解析】如图，延长3尸交4c于。，

；NBAC=NPBA=45°,

/.ZADB=90°,AD^BD,

为ZvlBC的费马点，

.•.NAP8=/CB4=12O°,

：.ZBAP=\S0a-120°-45°=15°,

：.ZPAC^45°-15°=30°,

=60°,

RtZ\B4。中，VB4=4,

:.PD=2,A£)=2禽，

VZAPC=120°,

：.ZCPD=120°-60°=60°,

Rtz^POC中，/PCD=30°,

；.CQ=2代，

.*.*=4。+。=2禽+24=4禽，

C的面积为/AOPD4X4炳X2=4V3-

故答案为：473.

3.如图，在边长为6的正方形A3。中，点M,N分别为AB、8c上的动点，且始终保持

BM=CN.连接MN,以例N为斜边在矩形内作等腰Rt^MNQ,若在正方形内还存在一

点P,则点P到点A、点。、点。的距离之和的最小值为3+3JR.

【分析】根据勾股定理得到关于x的一元二次方程，根据函数的性质求得当BM=BN=3

时，Q点到AD距离最近，此时。点是AC和BD的交点，过点。作。加，月。于点M',

在△ADQ内部过A、。分别作NA/'DP=ZM'AP=30°,则NAPD=/APQ=/OPQ

=120°,点P就是费马点，此时以+PO+PQ最小，根据特殊直角三角形才求出AQ,PA,

PD,P。的长，进而得出答案.

【解析】设8M=x,则BN=6-x,

'：MN2=BM2+BN2,

二例M=/+(6-x)2=2(x-3)2+18,

，当元=3时，MN最小,

此时。点离A。最近，

•:BM=BN=3,

・・・Q点是AC和8。的交点，

：.AQ=DQ=^-AD=3\[2<

2

过点Q作QM'_LAQ于点M',在△49Q内部过4、。分别作NM'DP=NM'AP=

30°,则/4尸。=/4「。=/£)/>。=120°,点/5就是费马点，此时％+PD+PQ最小，

在等腰中，AQ=OQ=3&,QM'_LA。，

：.AM=QMf=*_AQ=3,

故cos300=幽——，

PA

解得：PA=243,则PM'=禽，

故QP=3-盗，同法可得尸3=2禽，

则PA+PD+PQ=2X2A/3+3-愿=3+3愿，

...点P到点A、点。、点。的距离之和的最小值为3+3愿,

故答案为3+3

4.如果点尸是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫AABC的

费马点.已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当NAP8=/APC=NBPC=

120°时,P就是△ABC的费马点.若点P是腰长为我的等腰直角三角形OE尸的费马点，

则PD+PE+PF=_43±\_.

（分析】过点D作DMLEF于点、M,在ABDE内部过E、尸分别作NMEP=ZMFP=30°,

则/£/于=/尸「。=/£2。=120°,点户就是费马点，求出PE,PF,OP的长即可解决

问题；

【解析】如图：过点D作DM±EF于点M,在△BOE内部过E、F分别作N?WEP=N

MFP=30。，则/曰）/=//7>£）=/后尸。=120°,点尸就是费马点，

在等腰RtZkDEF中，DE=DF=®,DMLEF,

:.EF=®DE=2

:.EM=DM=1,

故cos30°=®L,

PE

解得：PE=22S应，则

33

故DP=\-叵,同法可得PF=2限

33

则PD+PE+PF=2X^ZL+l-2^=我+1.

33

故答案为我+i.

5.法国数学家费马提出：在aABC内存在一点P,使它到三角形顶点的距离之和最小.人

们称这个点为费马点，此时南+P8+PC的值为费马距离.经研究发现：在锐角△4BC中，

费马点。满足/4)8=/2/^=/61%=120°,如图，点P为锐角AABC的费马点，且

布=3,PC=4,NABC=60°,则费马距离为7+2、2.

【分析】根据相似三角形的判定和性质，即可求解.

：N4P8=/8PC=/Cai=120,/ABC=60°,

.,.Zl+Z3=60°,Zl+Z2=60°,N2+N4=60°,

.-.Z1=Z4,Z2=Z3,

.♦.△BPCS/XAPB

•PC=PB

"PBPA'

即PB2=\2

，P8=2历

：.PA+PB+PC=1+143

故答案为：7+2我.

二.解答题(共20小题)

6.定义：在一个等腰三角形底边的高线上所有点中，到三角形三个顶点距离之和最小的点

叫做这个等腰三角形的“近点”，“近点”到三个顶点距离之和叫做这个等腰三角形的“最

近值”.

【基础巩固】

(1)如图1,在等腰RtA^BC中，N84C=90°,AD为BC边上的高，已知AO上一点

E满足NDEC=60°,4C=4&，AE+BE+CE=12+4A/3_；

【尝试应用】

(2)如图2,等边三角形A8C边长为4料，E为高线AO上的点，将三角形AEC绕点

4逆时针旋转60°得到三角形AFG,连接EF,请你在此基础上继续探究求出等边三角

形A8C的“最近值”；

【拓展提高】

(3)如图3,在菱形ABCC中，过A8的中点E作AB垂线交CD的延长线于点尸，连接

AC、DB,已知/BD4=75°,AB=6,求三角形AFB“最近值”的平方.

图1图2图3

【分析】(1)△CDE为含30°角直角三角形，可求出DE、CE的长度，进而得出结果.

(2)aAEF为等边三角形，可得AE+BE+CE=EF+BE+GF,故当8、E、F、G四点共线

时，EF+8E+G尸最小，进而可得乙4后8=乙4£<?=/8£：。=120°,即可求出结果.

(3)作。于点M,可知进而可推出△ABF为等腰直角三角形，

2

结合(2)中的结论，当点P满足：ZAPF=ZBPF=ZAPB=120°时，办+P8+PF最小，

进而结合(1)中方法求出结果.

【解析】(1)：A8=AC,/a4C=90°,AC=4找，

：.BD=CD=AD=4我，

,.•/£>EC=60",

V3

：.AE=AD-DE=4A/3-4>CE=BE=2DE=8,

：.AE+BE+CE=4V3-4+8X2=12+473；

故答案为：12+4、/*^；

(2)由题意可得：AE^AF,/EAF=60°,

...△EAF为等边三角形，

：.AE=EF=AF,

：.AE+BE+CE=EF+BE+GF,

；B、G两点均为定点，

...当8、E、F、G四点共线时，EF+8E+G尸最小,

AZA£B=120°,ZAEC=ZAFG=\20°,

/.ZBEC=120",

，此时E点为等边△ABC的中心，

：.AE+BE+CE=3AE=3X-fi-=12>

V3

故等边三角形ABC的“最近值”为12；

(3)如图，过点。作。于点M,

,:NBDA=15°,AB=AD,

：.ZDAB=30°,

：.2DM=AD=AB,

'：AB//CD,

；.EF=DM,

：.2EF=AB,

：.AE=BE=EF=3,

：.^AEF与△BEF均为等腰直角三角形，

...△A8尸为等腰直角三角形，

设P为EF上一点，由(2)得：ZAPF=ZBPF=120°时，*PB+PF最小,

此时：£7>=单_=我，

.'.AP=BP=2EP=2/3<FP=EF-EP=3-M，

：.AP+BP+FP^2/3+2V3+3-V3=3+3«，

(AP+BP+FP)2=(3+3V3)2=36+l8V3.

...三角形AF8“最近值”的平方为36+18«.

7.如图①，P为AABC所在平面上一点，且NAPB=/8PC=NC以=120°,则点P叫做

△4BC的费马点.

(1)如果点尸为锐角三角形ABC的费马点，且/ABC=60°.

①求证：△ABPsLBCP；

②若出=3,PC=4,求P8的长.

(2)己知锐角三角形ABC,分别以AB、AC为边向外作正三角形ABE和正三角形ACD,

CE和相交于P点，连结AP,如图②.

①求NCPD的度数；

②求证：P点为△ABC的费马点.

【分析】(1)①由三角形内角和定理可求NP54+N用8=60°,可证NPBC=/BAP,

可得结论；

②由相似三角形的性质可得改型，即可求解；

PBPC

(2)①由“SAS”可证可得/1=N2,即可求解；

②通过证明可得空M，可证△AFPs/\c4凡可得

CPPF

=60°,可得结论.

【解答】(1)①证明：：点尸为锐角三角形A8C的费马点，

...NAPB=NBPC=/C%=120°,

：.ZPBA+ZPAB=60a,

；/ABC=60°,

，NA8P+NP8C=60°,

NPBC=ZBAP,

又；NAPB=NBPC,

，△ABPsgCP，

②解：V/XABP^^BCP,

.PAPB

"PB'PC"

又：勿=3,PC=4,

•-•-3-=-P-B--

PB4

:,PB=2心

(2)①解：设AC与8。的交点于F,

如图，".•△ABE与△ACO都为等边三角形，

.•./84E=NCAD=60°,AE^AB,AC^AD,

：./BAE+/BAC=ZCAD+ZBAC,即NEAC=/BAD,

在△ACE和△AO8中，

，AC=AD

-ZEAC=ZBAD-

EA=AB

A/\ACE^/\ADB(SAS),

.*.Z1=Z2,

；N3=/4,

.*.ZCPD=Z6=Z5=60o；

②证明：VZ1=Z2,N5=N6,

△ADFsXCFP,

•AFDF

"CP"PF'

：.AF-PF=DF-CP,

'：NAFP=NCFD,

/APF=NACD=60°,

APC=/CP£>+/APF=120°,

:.ZBPC=no0,

.•.NAP8=360°-Z.BPC-ZAPC=120°,

...尸点为△ABC的费马点.

8.如图1,。、E、尸是等边三角形A8C中不共线三点，连接4。、BE、CF,三条线段两两

分别相交于。、E、F.已知AF=BO,NEDF=60：

(1)证明：EF=DF；

(2)如图2,点M是ED上一点，连接CM,以CM为边向右作aCMG,连接EG.若

EG=EC+EM,CM=GM,ZGMC=ZGEC,证明：CG=CM.

(3)如图3,在(2)的条件下，当点例与点。重合时，若G£)=4,请问在

△AC。内部是否存在点P使得P到△ACQ三个顶点距离之和最小,若存在请直接写出距

离之和的最小值；若不存在，试说明理由.

【分析】(1)可先推出/C4尸再证△AC尸丝△84Z),即可得出结论；

(2)在EF上截取£N=EM,连接MN,可推出是等边三角形，可证△NCMgA

EGM,然后推出△CMG是等边三角形，从而问题得证；

(3)先求得将△£＞「(？绕点〃顺时针旋转60°至△DQG,连接AG,可得

3

△PD。是等边三角形，于是AP+PD+CP=AP+PQ+QG,故当A、P、Q、G共线时，

AP+PQ+CP最小=AG,最后解斜三角形4QG,从而求得.

【解答】(1)证明：如图1,

△ABC是等边三角形,

：.AC=AB,

ZACB=60°,

，NCA尸+ND48=60°,

VZEDF=60°,

：.ZDAB+ZABD=60°,

：.ZCAF=NA8D,

・：AF=BD,

：.^ACF^ABAD(S4S),

：.EF=DF；

EF=DF,NEDF=60°,

•••△OE/是等边三角形，

：・NDEF=60°,

在石尸上截取硒=EM,连接MM

:.CN=CE+EN=CE+EM=EG,

•••△EMN是等边三角形，

：.ZCNM=60°,

•：NGMC=NGEC,Na=N0,

:・/NCM=NEGM,

•:CM=GM,

:•△NCMWdEGM(SAS),

；・NMEG=NCNM=60°,

：.ZCEG=1800-NMEG-NFED=60°,

；・NGME=NGEC=60°,

■:CM=GM,

•••△CA/G是等边三角形，

JCG=CM；

(3)解：如图3,

E

由⑴（2）知，

△DEF和ACDG是等边三角形,

：.ZCFD=60°，CO=GZ）=4,

U：CD±AD,

：.ZCDF=90°,

：.AD=CF=—2P=3后,

sin6003

将△£）「（：绕点。顺时针旋转60°至△OQG,连接AG,

：.AD=DQ,CP=QG,

...△PQ2是等边三角形，

：.PD=PQ,

."P+PO+"=AP+PQ+QG,

.•.当A、P、。、G共线时，AP+PO+CP最小=AG,

作GHLAD于H,

在RtaQGH中，

GH=^DG=2,

2

DH=^-DG=2M，

2

；.AH=AD+DH=2M=此愿,

33

•■•AG=VGH2+AH2

."P+PO+CP的最小值是

9.【问题情境】

如图1,在△4BC中，ZA=120°,AB^AC,BC=5如,则△ABC的外接圆的半径值

为5.

【问题解决】

如图2,点P为正方形ABC。内一点，且NBPC=90°,若A8=4,求AP的最小值.

【问题解决】

如图3,正方形A8C。是一个边长为3d的隔离区域设计图，CE为大门，点E在边

BC上,CE=J§cm,点尸是正方形ABCZ）内设立的一个活动岗哨，到8、E的张角为120°,

即NBPE=120°,点A、O为另两个固定岗哨.现需在隔离区域内部设置一个补水供给

点Q,使得。到A、D、P三个岗哨的距离和最小，试求QA+QO+QP的最小值.（保留

根号或结果精确到lew,参考数据愿F.7,10.52=110.25）.

【分析】（1）作出三角形的外接圆O,证明△OBA是等边三角形，利用三线合一性质计

算即可；

（2）点P在以8c为直径的圆上，根据圆心，P,A三点共线时AP最小，计算即可；

（3）如图3,设N8PE所在圆的圆心为点O,根据（1）可得/BPE所在圆的半径，以

点。为旋转中心，将△OQA顺时针旋转60°,得到△OFN,当N,F,Q,P,。共线时，

04+QD+QP最小，构造直角三角形求解即可.

【解析】（1）如图1,作△A8C的外接圆。，作直径AQ,连接08,

"：AB=AC,

：.AO±BC,N8AO=60°,

'：OA=OB,

.♦.△084是等边三角形，

：.AB=OA=OB,

设A。与8C交于点E,BE=LBC=酎2,

22

在直角三角形ABE中,

•.•sin/&40=里

AB

5«

.".sin60°=_2_=返

AB2

：.AB=5f

・,.OA=5,

故答案为：5；

VZ«PC=90°,

点在以BC为直径的圆上，设圆心为点O,

则OP=JLBC=2,

2

：.O,P,A三点线时AP最小，

在直角三角形A80中，

AO=VAB2OB2=2V5-

:尸0=2,

：.AP的最小值为：AO-PO=2爬-2；

蚯

~~5~

(3)如图3,设N8PE所在圆的圆心为点O,根据(1)可得NBPE所在圆的半径为—一

V3

2

=2,以点。为旋转中心，将△OQA顺时针旋转60°,得到△OFM当MF,Q,P,

。共线时，QA+QQ+QP最小，过点N作NGLA8交8A的延长线于点G,连接AM则

△4ND是等边三角形，过点。作OM_LGN于M交8c于点打，连接08,

:四边形A8C£＞是正方形,

：.AD//BC//GN,

：.OH±BC,

,:BE=2M，

:

0//=VOB2-BH2=1，

YAD=DN,/ADN=6Q°,

.♦.△AN。是等边三形，且AV=3禽，NNAC=60°,

ZGAN=30°,

GN=ANsin30。=AG=ANcos30°=9,

22

A0M=OH+AB+AG^^-+1+35/3—+373-MN=GN--M=^-,

2222

OEGM+MN2r吟+3\^V+（冬2,11,

...QA+QD+QP最小值为：11-2=9（cm）.

10.在平面直角坐标系中，二次函数y=a?+bx-8的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交

于点C,直线y=正号（20）经过点A,与抛物线交于另一点R,已知。C=2O4,08

=3OA.

(1)求抛物线与直线的解析式；

(2)如图1,若点P是x轴下方抛物线上一点，过点P做PHLAR于点H,过点P做

「。〃》轴交抛物线于点。过点P做P”'轴于点H',K为直线PH'上一点，且

PK=2如PQ,点/为第四象限内一点，且在直线PQ上方,连接/P、/Q、/K,记

PQ,m=lP+IQ+lK,当/取得最大值时，求出点P的坐标，并求出此时〃?的最小值.

(3)如图2,将点A沿直线AR方向平移13个长度单位到点M,过点M做MNLx轴,

交抛物线于点N,动点D为x轴上一点，连接MD、DN,再将沿直线MD翻折

为AMDN'(点M、N、D、N'在同一平面内)，连接AN、AN'、NN',当△AMV'

为等腰三角形时，请直接写出点。的坐标.

y八『个

图1图2

【分析】(1)令二次函数x=0,解出C点坐标(0,-8),根据已知条件可知点A(-4,

0)点B(12,0).代入解析式从而求得抛物线和直线解析式.

(2)设点P坐标的横坐标为p,求出对称轴为直线x=4,根据对称性求出点Q的坐标，

从而求出PQ的长度，延长PK交直线4R与点例,利用一次函数解析式求出点M的坐标，

PM线段长可表示,利用△尸，MS/VIEO,求出PH的长度，则/可用点p的代数式表示，

从而求得最大值，点P坐标也可求出，由，〃=/P+/Q+/K求其最小值可知，点/为△PQK

的“费马点”.

(3)由点A平移13个单位可知点M的坐标，则点N的坐标可求为(8,-8)可求4N

的长度，MN的长度为13,因为翻折可知MN'的长度也为13,则N'在以点M为圆心

13个单位长度为半径的圆上运动，再利用等腰三角形求出点D的坐标.

【解答】解(1)•••)，=以2+云-8与y轴的交点为C,令x=0,y=-8

...点C(0,-8)

0C=8

'：OC=2OA,0B=30A

；.0A=4,08=12

(-4,0)B(12,0)

将点A代入直线解析式可得0=-4"互

3

解得人=_L

12

.*.y=-5-x+—

123

将点A和点B代入抛物线中

f0=16a-4b-8

l0=144a+12b-8

解得a=—,b=-—

63

/•y=Ax2-Ax-8

'63

(2)设点尸的坐标为(p,与2_g-8)

-至=4

b

.•.抛物线的对称轴为直线x=4

.•.点Q(8-p,|p2-1p-8)

:.PQ=2p-8

PK=2aPQ

；.PK=4料〃-1673

)

■：4PHM=NMH'A,NHMP=NAMH'

：.ZHPM=ZMAH

•..直线解析式为y=-Lx金，令x=o,y=~-

1233

3

VOA=4

根据勾股定理得

3

，COSNEAO=93=_1^.

AE13

cosZHPMh理=--------———=J2

PMJ,2212913

6P12p3

.PH-2221116

・，”FP

-1.PQ

24

p2aL-A(2p-8)=(p-5)2+85

213Pl3P134

...当p=5时，/取最大值此时点产（5,2）

2

:.PQ=2,尸K=4«

如图2所示，连接QK,以PQ为边向下做等边三角形PQD,连接KC,在KQ取/,

使/尸/。=60°,以P/为边做等边三角形/PF,连接/Q

•：IP=PF,PQ=PD,4PQ=NFPD

.♦.△/PQ空△尸PO

:.DF=IQ

：.IP+1Q+IK=1F+FD+1K=DK,此时〃，最小

过点。作£W垂直于KP

,/NKPD=NKPQ+NQPD=150°

：.ZPDN=30°

,;DP=PQ=2

:.DN=T,根据勾股定理得

在AKDN中,KN=543'DN=\,根据勾股定理得长。=2•

：.m的最小值为2丁语

(3)设NM与x轴交于点./

：AM=13,cosNM4./=X

13

.♦.A/=12,根据勾股定理得M/=5

：0A=4,；Q=8

：.M(8,5)

当x=8时，代入抛物线中，可得y=-8

：.N(8,-8),MN=13

在△AJN中，根据勾股定理得AN=4

•.•点。为x轴上的动点，根据翻折，MN'=13,所以点N'在以朋为圆心，13个单位

长度为半径的圆上运动，如图3所示

tanZA/WA=-^-=—

82

.,.tan/MGJ=3,"：MJ=5

2

.•.1/G=」g,根据勾股定理得

33

,：MD\为NGMJ的角平分线

•.--M-G-=-G-D-

M.TD.T

D\（止5o）

22

也为角平分线

.,.ZDIMD4=90°

根据射影定理得M