专题4.4 三角函数的图象与性质（举一反三）（新高考专用）（教师版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

专题4.4三角函数的图象与性质【九大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1三角函数图象的识别及应用】 3【题型2三角函数的定义域、值域与最值】 5【题型3三角函数的奇偶性与对称性问题】 7【题型4三角函数的周期性问题】 9【题型5求三角函数的单调区间、比较大小】 11【题型6根据三角函数的单调性求参数】 13【题型7三角函数的周期性、对称性与奇偶性的灵活运用】 16【题型8三角函数的零点问题】 19【题型9三角函数的图象与性质的综合应用】 211、三角函数的图象与性质考点要求真题统计考情分析(1)能画出三角函数的图象

(2)了解三角函数的周期性、奇偶性、最大（小）值

(3)借助图象理解正弦函数、余弦函数在上的性质及正切函数在上的性质2023年新课标I卷：第15题，5分2023年天津卷：第6题，5分2024年新课标I卷：第7题，5分2024年新课标Ⅱ卷：第9题，6分2024年全国甲卷（文数）：第13题，5分三角函数的图象与性质是高考的热点内容，其中三角函数的周期性、对称性、奇偶性与单调性之间的关系则是高考考察的重心.从近几年的高考情况来看，比较注重对三角函数的几大性质之间的逻辑关系的考查，试题多以选择题、填空题的形式呈现，难度中等或偏下.【知识点1三角函数的定义域与值域的求解策略】1．三角函数的定义域的求解思路求三角函数的定义域通常要解三角不等式(组)，解三角不等式(组)常借助三角函数的图象.2．求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型：(1)形如y=asinx+bcosx+c的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+c的形式，再求值域(最值)；(2)形如y=asin2x+bsinx+c的三角函数，可先设sinx=t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；(3)形如y=asinxcosx+b(sinx±cosx)+c的三角函数，可先设t=sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值).【知识点2三角函数的周期性、对称性、奇偶性的求解思路】1．三角函数周期的一般求法(1)公式法；(2)不能用公式求函数的周期时，可考虑用图象法或定义法求周期.2．三角函数的对称轴、对称中心的求解策略

(1)对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)（或f(x)=Acos(ωx+φ)）形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可.(2)对于可化为f(x)=Atan(ωx+φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=(k∈Z)），求x即可.3．三角函数的奇偶性的判断方法

三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y=Asin(ωx+φ)中代入x=0，若y=0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数.若y=Asin(ωx+φ)为奇函数，则φ=kπ(k∈Z)；若y=Asin(ωx+φ)为偶函数，则φ=kπ(k∈Z).【知识点3三角函数的单调性问题的解题策略】1．三角函数的单调区间的求解方法求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y=Asin(ωx+φ)形式，再求y=Asin(ωx+φ)的单调区间，只需把ωx+φ看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.2．已知三角函数的单调性求参数的解题思路对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷.【方法技巧与总结】1．对称性与周期性(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期.2．与三角函数的奇偶性相关的结论(1)若y=Asin(ωx+φ)为偶函数，则φ=(k∈Z)；若为奇函数，则φ=kπ(k∈Z).(2)若y=Acos(ωx+φ)为偶函数，则φ=kπ(k∈Z)；若为奇函数，则φ=(k∈Z).(3)若y=Atan(ωx+φ)为奇函数，则φ=kπ(k∈Z).【题型1三角函数图象的识别及应用】【例1】（2024·全国·模拟预测）函数fx=cosx⋅ln2x+2−x在区间−3π,3π上的图象可能是（A． B． C． D．【解题思路】判断函数的奇偶性，再根据f0【解答过程】因为fx的定义域为Rf−x所以fx为偶函数，其函数图象关于y因为f0故选：D．【变式1-1】（2024·江苏盐城·模拟预测）函数y=cosx与y=lgA．2 B．3 C．4 D．6【解题思路】在同一坐标系中，作出两个函数的图象，根据图象得到交点个数.【解答过程】函数y=cosx与y=lgx都是偶函数，其中在同一坐标系中，作出函数y=cosx与由图可知，两函数的交点个数为6.故选：D.【变式1-2】（2024·山东·一模）函数fx=ex−1A． B．C． D．【解题思路】根据函数奇偶性以及x∈0,【解答过程】函数y=fx的定义域为Rf−x即函数y=fx当x∈0,π2故选：A.【变式1-3】（2023·河南郑州·一模）已知函数fx=ex+A．fx+gxC．fx⋅gx【解题思路】利用奇偶性和特殊点函数值的正负进行判断.【解答过程】对于fx=ex+同理可得：gx记ℎx=f所以ℎ−x≠ℎx且ℎ同理可证：fx−gx+2为非奇非偶函数；由图可知，图像对应函数为奇函数，且0<f1显然选项A，B对应的函数都不是奇函数，故排除；对C:y=fx当x=1时，e+对D，y=g当x=1时，sin1故选：D.【题型2三角函数的定义域、值域与最值】【例2】（2024·广东湛江·二模）函数fx=4sin5x−πA．−2,2 B．−2,4 C．−23,4 【解题思路】先求得5x−π【解答过程】因为x∈0,π5，所以5x−π故fx=4sin5x−π故选：B.【变式2-1】（2024·河南郑州·一模）已知函数f(x)=2sinωx−π6(ω>0)在0,π2A．43,2 B．43,83【解题思路】根据题意可得ωx−π6∈−π6,【解答过程】由x∈0,π2及ω>0根据其值域为−1,2，且2sin由正弦函数图象性质可得π2即可得23≤ω故选：B.【变式2-2】（2024·安徽安庆·二模）已知函数f(x)=2cos2ωx+sin2ωx−1(ω>0)的图象关于点π4,0对称，且f(x)A．12 B．32 C．52【解题思路】先化简解析式，根据对称性可得ω=2k−1【解答过程】f(x)=2cos因为fx的图象关于点π所以fπ故ωπ2+当2ωx+π4=−π2因为fx在0,所以5π8ω≥π由ω=2k−12≤158解得k≤故选：B.【变式2-3】（2024·内蒙古包头·一模）已知函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φ<π2的最大值为2，其图象上相邻的两条对称轴之间的距离为π2，且A．−3 B．−1 C．−2 【解题思路】利用题目条件求出fx的解析式，然后讨论fx在【解答过程】由条件知A=2，πω=π从而A=ω=2，sinφ−所以φ−π6=k又因为φ<π2这说明fx=2sin2x+π又f0=1,fπ2=−1，所以f故选：B.【题型3三角函数的奇偶性与对称性问题】【例3】（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=3sinA．fx的图象关于点5B．若fx+t是偶函数，则C．fx在区间0,πD．fx的图象关于直线x=【解题思路】代入验证法判断函数fx的图象的对称中心和对称轴，进而判断选项AD；求得t的值判断选项B；求得fx在区间【解答过程】对于A：f5则fx的图象关于点5对于B：因为fx+t所以3t+π6=k对于C：当x∈0,π3所以fx即fx在区间0,π3对于D：当x=π9时，则fx的图象关于直线x=故选：C.【变式3-1】（2024·贵州黔南·二模）若函数fx=cosx−πA．5π6 B．4π3 C．【解题思路】由题意可知：x=0为函数fx【解答过程】由题意可知：x=0为函数fx则−π3+φ=k对于选项A：令φ=kπ+π对于选项B：令φ=kπ+π对于选项C：令φ=kπ+π对于选项D：令φ=kπ+π故选：B.【变式3-2】（2024·甘肃陇南·一模）下列函数图象的对称轴方程为x=π3+kA．fx=sinC．fx=sin【解题思路】根据正弦函数的对称轴，利用整体代入的方法可求出A、C中函数的对称轴方程，利用余弦函数的对称轴，利用整体代入的方法可求出B、D中函数的对称轴方程，即得答案.【解答过程】对于A，fx=sinx−π即fx的对称轴方程为x=对于B，fx=cosx+2即fx的对称轴方程为x=对于C，fx=sin2x−π即fx的对称轴方程为x=对于D，fx=cos2x+π即fx的对称轴方程为x=−故选：B.【变式3-3】（2024·广东佛山·二模）已知函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)在[π4A．x=7π12 B．x=11π12【解题思路】由函数的零点情况，求出ω的取值范围，再利用给定等式分析判断函数图象的对称轴即可得解.【解答过程】由函数f(x)=sin(ωx+π得T2≤3π2又f(3π8)=f(11π8)，而由x∈[π4,3π2]即函数f(x)在[π因此x=7π8是函数f(x)图象的一条对称轴，即7当k≥2时，ω>125，当k=0时，当k=1时，ω=43，得T=3π2故选：C.【题型4三角函数的周期性问题】【例4】（2024·天津·一模）下列函数中，以π2为周期，且在区间π4,A．fx=sinC．fx=cos【解题思路】结合函数周期性的定义与正弦函数及余弦函数的单调性逐项判断即可得.【解答过程】对A：f0=sin0=0，f对B：fx+π2=sin当x∈π4,π3时，2x∈且y=sinx>0，故fx对C：f0=cos0=1，f对D：fx+π2=cos当x∈π4,π3时，2x∈但y=cosx<0，故x∈π故fx=cos故选：D.【变式4-1】（2023·湖南长沙·一模）已知函数fx=sinωx−π6(1<ω<2)，若存在x1,A．2π3 B．4π3 C．【解题思路】由题意可得出k⋅T2=2π，结合【解答过程】因为存在x1,x2∈所以k⋅T2=k⋅又因为1<ω<2，则k=3，所以ω=3所以函数fx的最小正周期为：T=故选：B.【变式4-2】（2024·安徽马鞍山·三模）记函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)的最小正周期为T，若π2<T<A．113 B．103 C．83【解题思路】由最小正周期π2<T<π可得2<ω<4，再由f(x)≤fπ【解答过程】函数f(x)的最小正周期π2<T<π，则π又f(x)≤fπ8，即x=所以π8ω+π又2<ω<4，当k=0时，ω=8故选：C.【变式4-3】（2023·内蒙古赤峰·三模）定义运算如果abcd=ad−bc，fx=1052sinωx+φω>0,0<φ<π2，A．3π B．π C．π2 【解题思路】求出函数fx的解析式，根据已知条件求出φ的值，利用正弦型函数的单调性可得出关于ω的不等式组，解出ω的取值范围，可得出ω【解答过程】fx因为3sinφ=cos而0<φ<π2，所以φ=π当x∈0,π2因为fx在0,π2上单调递增，所以，π当ω取最大值23时，fx的最小正周期故选：A．【题型5求三角函数的单调区间、比较大小】【例5】（2024·青海·模拟预测）下列区间中，函数fx=3sinA．0,π2 C．5π4,【解题思路】首先求函数的单调递增区间，再根据选项判断.【解答过程】令2kπ−π2≤x+π4当k=0时，增区间是−3π4,π其中只有5π故选：C.【变式5-1】（2023·陕西·模拟预测）已知函数fx=sin2x+φ在x=πA．−π12,5π12 B．π【解题思路】根据函数的最值结合正弦函数性质可得φ=2kπ+π6,k∈Z【解答过程】因为fx=sin2x+φ在可得π3+φ=2kπ所以fx令2kπ−π所以fx的单调递增区间是k令k=0,1，可得−π3,故ABC错误，D正确.故选：D.【变式5-2】（2023·贵州·模拟预测）已知a=sin1，b=sin32A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．a<c<b【解题思路】根据诱导公式，得到sin2=sinπ−2，结合【解答过程】由三角函数的诱导公式，可得sin2=因为0<1<π−2<32<所以sin1<sinπ故选：D.【变式5-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=sinπ6−x,gA．π6,π3 B．π3,【解题思路】利用复合函数的单调性，判断各选项是否正确.【解答过程】当x从π6增加到π3时，fx从0递减到−12所以fgx从sinπ6−32递减到sin当x从π3增加到π2时，fx从−12递减到−所以fgx从sinπ6−1递增到sinπ6当x从π2增加到2π3时，fx从−32递减到−1，所以fgx从sinπ6−32递增到sin当x从2π3增加到5π6时，fx从-1递增到−所以fgx从sinπ6−12递增到1故选：D.【题型6根据三角函数的单调性求参数】【例6】（2023·天津·二模）若函数fx=2sinωx+π6ω>0A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】由x的范围确定ωx+π6的范围，分别讨论fx【解答过程】当x∈−π6若fx在−π6解得：ω≤4−12kω≤2+12kk∈Z，又ω>0，∴解得：−16<k<13若fx在−π6解得：ω≤−2−12kω≤8+12k，又ω>0，∴若不等式组有解，则−2−12k>0解得：−23<k<−16，与k∈Z综上所述：ω∈0,2，则ω的最大值为2故选：B.【变式6-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=sinωx+π3(ω>0)的周期为T，且满足T>2π，若函数A．34,1 C．23,1 【解题思路】由函数fx在区间π6,【解答过程】已知fx令ωx+π3则函数fx对称轴方程为∵函数fx在区间π∴π6<k又由T>2π，且ω>0，得0<ω<1故仅当k=0时，23故选：C.【变式6-2】（2024·浙江·模拟预测）已知函数fx=Asinωx+φω>0,φ<π2，fx≤A．3 B．5 C．6 D．7【解题思路】根据fx≤fπ6可知直线x=π6为fx图象的对称轴，根据fx+f4π3−x=0可得fx的对称中心为【解答过程】∵fx≤fπ6∵f(x)+f4π3−x=0∴1+2k∴T=2∴ω=2k+1,k∈N．又f(x)在π3,5∴T=2πω又ω=2k+1,k∈N，∴当ω=11时，f(x)=Asin11x+φ，因为直线x=π所以11×π6+解得φ=−4π3+kπ，k∈Z，又当x∈π3,5π12时，当ω=9时，f(x)=Asin9x+φ，因为直线x=π所以9×π6+解得φ=−π+kπ，k∈Z，又|φ|<当x∈π3,5π12时，∴当ω=7时，f(x)=Asin7x+φ，因为直线x=π所以7×π6+解得φ=−2π3+kπ，k∈Z，又当x∈π3,5π12时，则ω的最大值为7．故选：D.【变式6-3】（2023·浙江·模拟预测）定义mina,b=a,a≤bb,a>b设函数fx=minsinωx,A．25,35 B．2,3 C．【解题思路】分段写出函数f(x)解析式，并确定单调递减区间，再借助集合的包含关系求解作答.【解答过程】依题意，f(x)=sin函数f(x)的递减区间是[−3π4ω+2k于是(5π12,π即−3π4ω+2kπω≤5或π4ω+2kπω≤5π12πω+2k当k=0时，35≤ω≤2，当k=1时，故选：C.【题型7三角函数的周期性、对称性与奇偶性的灵活运用】【例7】（2024·河南新乡·三模）已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(0<ω<10,0<φ<π)图象的一个对称中心是Aπ8,0A．f(x)=cos2x+π4 B．直线C．f(x)在7π8,11π【解题思路】由f0=22可得φ=π4，由对称中心【解答过程】因为点B0,22在f(x)的图象上，所以f(0)=cosφ=因为f(x)图象的一个对称中心是Aπ8,0，所以ω则ω=2+8k，k∈Z.又0<ω<10，所以ω=2，则f(x)=cosf5π8=cos当x∈7π8,11fx+故选：B.【变式7-1】（2024·天津·模拟预测）已知fx=sinωx+π①φ=π②若gx的最小正周期为3π，则③若gx在区间0,π上有且仅有3个最值点，则ω的取值范围为④若gπ4=A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解题思路】根据正弦函数的性质一一判断即可.【解答过程】对于①：若fx=sin则π3+φ=π2+kπ,k∈Z对于②：若gx的最小正周期为3π且ω>0，则T=2对于③：由x∈0,π，ω>0，得若gx在区间0,π上有且仅有则5π2<ω对于④：因为gx=sin则π4ω+π6=解得ω=23+8k又ω>0，所以ω的最小值为23故选：A.【变式7-2】（2024·河北唐山·一模）已知函数fx=sinA．fx在−π8,π8单调递增C．fx在−π6,π6的值域为1【解题思路】由函数fx的最小正周期为π，求出ω=2，再代入化简fx，画出【解答过程】因为函数fx的最小正周期为π，所以ω=2所以函数f即fx=2如下图所示：对于A，由图可知，fx在−对于B，由图象可知，fx对于C，由图象可知，fx为偶函数，当x∈2x+π4∈所以2sin2x+π4∈1,2对于D，由图象可知，fx的对称轴为x=故选：C.【变式7-3】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数fx①fx的图象关于点π②函数ℎx=f③函数gx=2fx④对于函数gx其中所有正确结论的序号为（

）A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④【解题思路】利用中心对称的性质验证判断A；求出周期判断B；探讨函数单调性判断C；计算判断D.【解答过程】对于①，由cosx≠0得fx的定义域为f(π因此f(x)的图象关于点(π对于②，因为ℎπ所以π是ℎx对于③，当x∈0,π2时，cos故gx因为t=cosx在0,π2上单调递减，所以，由复合函数性质可知，函数gx在0,对于④，由上知，当x∈0,π2g(x+=2(−cos因此3|g(x)|=g(x+π故选：C.【题型8三角函数的零点问题】【例8】（2024·湖北武汉·模拟预测）若函数fx=3cosωx+φω<0，−π2<φ<πA．π6,π2 B．−π2【解题思路】根据给定周期求得ω=−2，再结合余弦函数的单调区间、单调性及零点所在区间列出不等式组，然后结合已知求出范围.【解答过程】由函数f(x)的最小正周期为π，得2π|ω|=π，而则f(x)=3cos(−2x+φ)=3cos得2kπ+φ≤2x≤2kπ+π因此2kπ+φ≤−π3，且由余弦函数的零点，得2x−φ=nπ+π而f(x)在(0,π6)于是−nπ−π2<φ<−n所以φ的取值范围是(−π故选：B.【变式8-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=sin2πωxω>0在区间0,2上单调，且在区间0,18A．19,5C．19,1【解题思路】根据复合型三角函数最小正周期的计算公式，结合其单调性和零点，可得答案.【解答过程】因为fx=sin2π因为fx在区间0,2上单调，所以14T=因为fx在区间0,18上有5个零点，所以2T≤18<52T，即综上，19故选：D．【变式8-2】（2024·全国·一模）已知函数fx=sinωx+π3(ω>0)A．83,11C．[113,【解题思路】先由零点个数求出3≤ω<6，再用整体法得到不等式组，求出ω的取值范围.【解答过程】因为x∈π3,π，ωx+π则π3ω+π满足①π+2k1π≤π3ω+或要满足②2k2π≤π3ω+经检验，满足题意，其他情况均不满足3≤ω<6条件，综上：ω的取值范围是113故选：C.【变式8-3】（2023·四川雅安·一模）已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)（ω>0且−π2<φ<π2），设T为函数f(x)的最小正周期，fT4A．17π6,23π6 B．17【解题思路】根据题意可确定T为函数f(x)=2cos(ωx+φ)的最小正周期，结合fT4=−1求出φ【解答过程】由题意知T为函数f(x)=2cos(ωx+φ)的最小正周期，故由fT4=−1得2由于−π2<φ<f(x)在区间[0,1]有且只有三个零点，故ωx+π且由于y=cosx在(0,+∞)上使得cosx=0故5π2≤ω+π6<故选：D.【题型9三角函数的图象与性质的综合应用】【例9】（2024·上海金山·二模）已知函数y=f(x)，记f(x)=sinωx+φ，ω>0，0<φ<π(1)若函数y=f(x)的最小正周期为π，当f(π6)=1时，求ω(2)若ω=1，φ=π6，函数y=f【解题思路】（1）利用三角函数的周期公式求得ω，再利用三角函数的值域与周期性求得φ，从而得解；（2）根据题意，利用换元法将问题转化为t2−2t−a=0在【解答过程】（1）因为函数y=f(x)的最小正周期2πω=则当x=π6时，所以π3+φ=2kπ因为0<φ<π，所以取k=0得φ=（2）解法一：当ω=1，φ=π6时，fx设t=fx由题意得，t2−2t−a=0在x∈[−1,1]有解，化简得又g(t)=t2−2t=所以−1≤g(t)≤3，则a∈[−1,3].解法二：当ω=1，φ=π6时，fx设t=fx由题意得，t2−2t−a=0在记ℎ(t)=t2−2t−a则由根的分布可得Δ≥0ℎ−1≥0，即所以a∈[−1,3].【变式9-1】（2023·北京海淀·三模）已知函数fx=2sinωx+π(1)求fπ(2)若函数fx在区间0,a上是增函数，求实数a条件①：f0=2；条件②：fx最大值与最小值之和为0；条件③：f【解题思路】（1）选择适合的条件求出ω和m的值，得出函数fx的表达式，即可求出f（2）求出函数单调区间，根据函数在区间0,a上是增函数即可求出实数a的最大值.【解答过程】（1）由题意，在fx选条件①②：由①知，f0=2sin由②知，2−3+m+∴函数fx∴不能选①和②.选条件①③：由条件③得，T=2πω=π由①知，f0=2sin则fx所以f选条件②③：由于fx最小正周期为π，所以ω=2，所以f由fx最大值与最小值之和为0，fx故−2−3+m+2−3所以fx=2sin（2）由题意及（1）得，选条件①③：在fx令−π∴−5∴函数fx的单调增区间为−∵函数在区间0,a上单调递增，且0∈−5π所以a≤π∴a的最大值为π12选条件②③：令−π2+2k所以函数fx的单调增区间为−因为函数在区间0,a上单调递增，且0∈−5π∴a的最大值为π12【变式9-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=−2cos(1)证明：fx的图象关于直线x=(2)设fx在π,3π2（ⅰ）求t的取值范围；（ⅱ）证明：m+n<5【解题思路】（1）利用平方关系将函数变形为fx=2sin（2）（ⅰ）令k=sinx则k∈−1,0，问题转化为关于k的方程2k2+2k+3t−2=0在−1,0上有两个不相等实数根，即可得到3t−2>02×−12【解答过程】（1）因为f=−2=2sin因为fπ−x=2所以fx的图象关于直线x=（2）（ⅰ）令k=sinx，因为x∈π,3则2sin2x+2因为y=sinx在所以关于k的方程2k2+2k+3t−2=0所以3t−2>02×−12即t的取值范围为23（ⅱ）令k1=sinm<0，k2=sinn<0，则所以k1+k所以sinm+所以sinm+sinn因为2sin所以sin2m+sin由于π<n<3π2，π则−sinm<−sin又y=sinx在π,3π【变式9-3】（23-24高一下·江苏盐城·开学考试）已知函数f(x)=2sin(1)若fx1≤fx≤f(2)已知0<ω<5，函数f(x)图象向右平移π6个单位，得到函数gx的图象，x=π3是gx的一个零点，若函数gx在[m,n]（(3)已知函数ℎ(x)=acos(2x−π6)−2a+3(a>0)，在第（2）问条件下，若对任意x1∈[0,【解题思路】（1）由fx1≤fx≤fx2，x1−x2min=π2可求得函数f【解答过程】（1）∵f(x)=2sin(2ωx+π又∵fx1≤fx≤fx2故T=2π2ω当ω=1时，fx=2sin2x+π6+1当ω=−1时，fx=2sin−2x+π6+1综上所述，fx的对称中心为−π12（2）∵函数fx图象向右平移π6个单位，得到函数∴g(x)=2sin又∵x=π3是g(π3)=2∴π3ω+π解得ω=3+6kk∈Z或由0<ω<5可得ω=3∴g(x)=2sin6x−5π令gx=0即6x−5π6=−π6+2k1π若函数gx在[m,n]（m,n∈R且m<n）上恰好有10个零点，故要使n−m最小，须m、n恰好为gx的零点，故n−m（3）由（2）知g(x)=2sin6x−5π6+1，对任意x1∈[0,当x2∈[0,π当x1∈[0,π由{y|y=ℎ(x)}⊆{y|y=g(x)故实数a的取值范围为0,8一、单选题1．（2024·福建泉州·一模）已知函数f(x)的周期为π，且在区间π6,π3内单调递增，则A．f(x)=sinx−πC．f(x)=sin2x−π【解题思路】根据函数周期排除AB，根据函数的单调性判断CD即可.【解答过程】因为函数f(x)的周期为π，所以当ω>0时，对正、余弦函数来说，ω=2当x∈π6,因为y=sinx在故选：C.2．（2024·江西九江·模拟预测）函数fx=eA． B．C． D．【解题思路】判断函数的奇偶性，并判断x∈0,【解答过程】∵f(x)=(e∴定义域为R，关于原点对称，由f(−x)=(e所以f(x)为奇函数，排除BD；当0<x<π2时，cosx>0，因为y=e−x为R则y=e−x−ex为R上的减函数，且当x=0e−x−e故选：C.3．（2024·浙江绍兴·三模）已知函数fx=sinx+φ−π2<φ<0的图象关于点π12,0对称，若当A．−π6 B．−5π12 【解题思路】利用正弦型函数的对称性可得φ，再利用正弦型函数的最小值即可得解.【解答过程】由题意可得π12+φ=kπ又−π2<φ<0，故φ=−当x∈m,π3时，x−π12则m−π12≤−π2，故m≤−故选：B.4．（2024·广东汕头·三模）已知A，B，C是直线y=m与函数f(x)=2sin(ωx+φ)（ω>0，0<φ<π）的图象的三个交点，如图所示．其中，点A(0,2)，B，C两点的横坐标分别为xA．φ=π4 C．f(x)的图象关于(π,0)中心对称 D．f(x)在【解题思路】根据给定条件，可得f(x)=2sin(ωx+3π4)，进而求得【解答过程】由f(0)=2sinφ=2，得sinφ=22，而0<φ<π于是f(x)=2sin(ωx+3π4)，显然由A点横坐标xA=0，即ωxA+解得x1=3π2ω，x2=2π对于A，φ=3对于B，f(π对于C，f(π)=2sin(2π对于D，当x∈[0,π2]时，3π4≤2x+3又3π8∈(0,π2故选：B.5．（2024·黑龙江·模拟预测）已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,−π2<φ<π2，且x=πA．A=3 B．ω=2C．φ=−π6 【解题思路】对于A，由∀x∈R,f(x)≤3判断，对于B，由题意可得T2=2π3−π6，结合周期公式可求出【解答过程】对于A，因为∀x∈R,f(x)≤3,A>0，所以对于B，f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2所以其周期T2=π对于C，令π6×2+φ=kπ(k∈又因为|φ|<π2，所以对于D，由以上可知f(x)=3sin2x−π所以f(x)的图象关于直线x=−π12对称，所以故选：C.6．（2024·天津滨海新·三模）已知函数fx（1）函数fx的图象关于点5（2）函数fx的图象关于直线x=−（3）函数fx在区间−（4）函数fx在区间−以上四个说法中，正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】根据题意，利用三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【解答过程】对于（1），由f(5所以5π12,0对于（2）中，由f(−π所以x=−π8不是函数对于（3）中，令2x−π6=k当k=0时，可得x=π12；当k=1时，可得x=7π12；当当k=−2时，可得x=−11π12，所以在−π对于（4）中，由x∈−π2,0，可得故选：A.7．（2024·青海海南·二模）已知函数f(x)=cosωx−π3,ω>0,x∈R，且f(α)=−1,f(β)=0.若|α−β|的最小值为πA．−π3+kC．−π12+k【解题思路】先求出函数f(x)的周期，再求出ω，求出函数f(x)的解析式，再结合余弦函数的性质，即可求解.【解答过程】函数f(x)=cosωx−π3,ω>0,x∈R，且f(α)=−1,f(β)=0则T4=π4，所以T=π，故2令2kπ−π故f(x)的单调递增区间为−π故选：A.8．（2024·四川·模拟预测）已知函数fx=sinωx+π3（ω>0）在区间0,5π6A．45,2 B．45,54【解题思路】由x范围求得ωx+π3的范围，结合整体思想转化为y=sint在【解答过程】当x∈0,5π因为f(x)在0,5所以π<5π当x∈−2π因为45<ω≤2，所以又因为f(x)在−2所以−π2≤−综上可得45故选：C.二、多选题9．（2024·吉林·二模）已知函数fx=AsinA．φ=B．函数fx在πC．方程fx=1D．θ=−π6是函数【解题思路】对于A：根据图象结合五点法求相应参数即可；对于B：以2x+π3为整体，结合正弦函数单调性分析判断；对于C：以2x+π【解答过程】由图象可得：A=2，且图象过点0,3则f0=2sin且0<φ<π2，可得则fx由ω>0结合图象可得fπ则π12ω+π所以fx对于B：因为x∈π12,且y=sinx在π2,4π对于C：令fx=1，即则2x+π3=2k解得x=kπ−π所以方程fx=1的解集为x|x=kπ对于D：若θ=−π6，则若fx+θ则2θ+π3=k可知不一定得到θ=−π综上所述：θ=−π6是函数故选：ABD.10．（2024·湖南长沙·三模）已知函数fx=3A．fxB．函数fx的图象关于直线x=C．不等式fx>D．若fx在区间−π2,【解题思路】对于A，由正弦函数的性质直接求解，对于B，由ωx+π3=kπ+π2,k∈Z，可求出对称轴方程判断，对于C，由sinωx+【解答过程】对于A，fx的最大值为3对于B，令ωx+π3=k所以函数fx的图象关于直线x=对于C，不等式fx>32可化为sinωx+因此原不等式的解集为2kπ对于D，由2kπ−π2≤ωx+因为fx在区间−π2所以−5π6ω故选：BCD.11．（2024·贵州贵阳·二模）函数f(x)=Atan(ωx+φ)(ω>0,0<φ<πA．ω⋅φ=B．f(x)在0,π3C．函数y=|f(x)|的图象关于直线x=5D．若函数y=|f(x)|+λf(x)在区间−5π6,【解题思路】根据正切型三角函数的图象性质确定其最小正周期，从而得ω的值，再根据函数特殊点求得φ,A的值，从而可得解析式，再由正切型三角函数的性质逐项判断即可.【解答过程】函数的最小正周期为T，则有T=πω=由函数的图象可知：π6+φ=π由图象可知：f(0)=Atanπ3=23关于B,f(x)=2tanx+π3，当x=π6故B错误.因为f5π所以f5π3−x=fy=|f(x)|+λf(x)=2当x∈−π3,π当x∈−5π6,−π当函数y=|f(x)|+λf(x)在区间−5π6故选：CD．三、填空题12．（2024·河北衡水·三模）已知x=112是函数f(x)=sin(3πx+φ)0<φ<π2的一条对称轴，f(x)【解题思路】根据函数的对称轴求出φ=π【解答过程】由题意知x=112是函数故3π12+φ=π2+kπ(k∈Z)故f(x)=sin3πx+π原点附近的6个对称中心分别为−3若3个对称中心恰好是−1则−512≤−t<−若3个对称中心恰好是−5则−34≤−t<−故当512故t的取值范围为(5故答案为：(513．（2024·陕西西安·模拟预测）若函数fx=2cosωx+π3−1(ω>0)在0,【解题思路】结合余弦函数的图象与性质计算即可得.【解答过程】由fx=0，得由0<x<π，得π由在0,π上恰有两个零点可得7解得2<ω≤10

故答案为：2,1014．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知函数fx=sin2x+φ(φ>0)图象的一个对称中心为π6,0，且fx在【解题思路】根据题意，由fx的一个对称中心为π6,0，可得φ=−π3+k1π，k【解答过程】因为fx的一个对称中心为π6,0，所以