专题8.7 抛物线（举一反三）（新高考专用）（教师版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

专题8.7抛物线【九大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1抛物线的定义及其应用】 3【题型2抛物线的标准方程】 5【题型3抛物线的焦点坐标及准线方程】 6【题型4抛物线的轨迹方程】 7【题型5抛物线上的点到定点的距离及最值】 9【题型6抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值】 11【题型7抛物线的焦半径公式】 14【题型8抛物线的几何性质】 16【题型9抛物线中的三角形（四边形）面积问题】 181、抛物线考点要求真题统计考情分析(1)掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程(2)掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)(3)了解抛物线的简单应用2023年新高考I卷：第22题，12分2023年新高考Ⅱ卷：第10题，5分2023年全国乙卷（文数）：第13题，5分2023年北京卷：第6题，4分2024年新高考Ⅱ卷：第10题，6分2024年北京卷：第11题，5分抛物线是圆锥曲线中的重要内容，抛物线及其性质是高考数学的热点问题.从近几年的高考情况来看，主要考查抛物线的定义、标准方程、几何性质、面积问题等内容，在选择、填空、解答题都可能出现，解题思路和解题步骤相对固定，强调通性通法，选择、填空题中难度不大，解答题中难度偏大，一般以第一小问考查抛物线的方程或轨迹问题，需要灵活求解.【知识点1抛物线及其性质】1．抛物线的定义(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线.(2)集合语言表示设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}.2．抛物线的标准方程与几何性质标准

方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)图形顶点(0,0)(0,0)轴对称轴y=0对称轴x=0焦点准线离心率e=1e=1开口开口向右开口向左开口向上开口向下焦半径范围x≥0x≤0y≥0y≤03．抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异：

①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形；

②顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点；

③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点；

④离心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是0<e<1,双曲线的离心率范围是e>1，抛物线的离心率是e=1；

⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线；

⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线.【知识点2抛物线标准方程的求解方法】1．抛物线标准方程的求解待定系数法：求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.【知识点3抛物线的焦半径公式】1．焦半径公式设抛物线上一点P的坐标为，焦点为F.(1)抛物线：，；(2)抛物线：，；(3)抛物线：，；(4)抛物线：，.注：在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公式.【知识点4与抛物线有关的最值问题的解题策略】1．与抛物线有关的最值问题的两个转化策略(1)转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决.(2)转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.【方法技巧与总结】1．通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.2．抛物线上一点P到焦点的距离，也称为抛物线的焦半径.【题型1抛物线的定义及其应用】【例1】（2024·贵州贵阳·二模）抛物线y2=4x上一点M与焦点间的距离是10，则M到x轴的距离是（

）A．4 B．6 C．7 D．9【解题思路】借助抛物线定义计算即可得.【解答过程】抛物线y2=4x的准线为由抛物线定义可得xM+1=10，故则yM=4xM=4×9故选：B.【变式1-1】（2024·河北·模拟预测）已知点P为平面内一动点，设甲：P的运动轨迹为抛物线，乙：P到平面内一定点的距离与到平面内一定直线的距离相等，则（

）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【解题思路】根据已知条件，结合充分条件、必要条件的定义，即可求解．【解答过程】解：当直线经过定点时，点的轨迹是过定点且垂直于该直线的另一条直线，当直线不经过该定点时，点的轨迹为抛物线，故甲是乙的充分条件但不是必要条件．故选：A．【变式1-2】（2024·北京大兴·三模）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过F且斜率为−1的直线与直线x=−1交于点A，点M在抛物线上，且满足MAA．1 B．2 C．2 D．2【解题思路】由题意先求出过F且斜率为−1的直线方程，进而可求出点A，接着结合点M在抛物线上且MA=MF可求出xM【解答过程】由题意可得F1,0，故过F且斜率为−1的直线方程为y=−令x=−1因为MA=MF，所以MA垂直于直线x=又M在抛物线上，所以由22所以MF=故选：C.【变式1-3】（2024·福建莆田·模拟预测）若抛物线C的焦点到准线的距离为3，且C的开口朝左，则C的标准方程为（

）A．y2=−6x B．y2=6x C．【解题思路】根据开口设抛物线标准方程，利用p的几何意义即可求出.【解答过程】依题意可设C的标准方程为y2因为C的焦点到准线的距离为3，所以p=3，所以C的标准方程为y2故选：A.【题型2抛物线的标准方程】【例2】（2024·山东菏泽·模拟预测）已知点Aa,2为抛物线x2=2pyp>0上一点，且点A到抛物线的焦点F的距离为3，则A．12 B．1 C．2 【解题思路】由题意,根据抛物线的性质,抛物线x2=2pyp>0,则抛物线焦点为F0,p2，若Mx【解答过程】因为抛物线为x2则其焦点在y轴正半轴上,焦点坐标为0,p由于点Aa,2为抛物线x2=2py所以点A到抛物线的焦点F的距离为AF=2+p2故选：C.【变式2-1】（2024·陕西安康·模拟预测）过点2,−3，且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是（

）A．x2=−3y B．x2=−43【解题思路】利用待定系数法，设出抛物线方程，把点代入求解即可.【解答过程】设抛物线的标准方程为x2将点点2,−3代入，得22=−3a，解得所以抛物线的标准方程是x2故选：B.【变式2-2】（2024·新疆·三模）已知抛物线y2=2px(p>0)上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为（A．y2=x B．y2=2x C．【解题思路】根据抛物线的定义求解．【解答过程】由题意抛物线y2=2px(p>0)上任意一点到焦点F的距离与它到直线因此−p2=−1抛物线方程为y2故选：C．【变式2-3】（2024·宁夏石嘴山·三模）如图，过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于两点A、B，交其准线于C，AE与准线垂直且垂足为E，若BC=2A．y2=3xC．y2=9x【解题思路】过点A,B作准线的垂线，设BF=a，得到AC=3+3a，结合抛物线的定义，求得a=1，再由BD//FG，列出方程求得【解答过程】如图所示，分别过点B作准线的垂线，垂足为D，设BF=a，则BC由抛物线的定义得BD=在直角△BCD中，可得sin∠BCD=BDBC在直角△ACE中，因为AE=3，可得AC由AC=2AE，所以3+3a=6，解得因为BD//FG，所以1p=2a3a，解得故选：C.

【题型3抛物线的焦点坐标及准线方程】【例3】（2024·内蒙古赤峰·二模）已知抛物线C的方程为

x=−116yA．(-4,0) B．−140 C．(-2,0)【解题思路】由抛物线的几何性质求解．【解答过程】依题意得：y2=−16x，则此抛物线的焦点坐标为：故选：A.【变式3-1】（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知抛物线C:y=6x2，则C的准线方程为（A．y=−32 B．y=32 C．【解题思路】根据抛物线的准线方程直接得出结果.【解答过程】抛物线C：y=6x2的标准方程为所以其准线方程为y=−1故选：C.【变式3-2】（2024·河南·三模）抛物线y2=−28x的焦点坐标为（A．0,−14 B．0,−7 C．−14,0 D．−7,0【解题思路】根据抛物线的标准方程直接得出结果.【解答过程】∵2p=28,∴p=14,∴抛物线y2=−28x的焦点坐标为故选：D.【变式3-3】（2024·福建厦门·模拟预测）若抛物线y2=mx的准线经过双曲线x2−yA．−4 B．4 C．−8 【解题思路】根据题意，分别求得双曲线的右焦点以及抛物线的准线方程，代入计算，即可得到结果.【解答过程】因为双曲线x2−y又抛物线y2=mx的准线方程为x=−m4，则故选：C.【题型4抛物线的轨迹方程】【例4】（2024·湖南衡阳·三模）已知点F(2,0)，动圆P过点F，且与x=−2相切，记动圆圆心P点的轨迹为曲线Γ，则曲线Γ的方程为（

）A．y2=2x B．y2=4x C．【解题思路】分析题意，利用抛物线的定义判断曲线是抛物线，再求解轨迹方程即可.【解答过程】由题意知，点P到点F的距离和它到直线x=−2的距离相等，所以点P的轨迹是以(2,0)为焦点的抛物线，所以Γ的方程为y2故选：C.【变式4-1】（23-24高二上·北京延庆·期末）到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1的动点且动点不在xA．y2=8x B．y2=4x C．【解题思路】根据抛物线的定义即可得解.【解答过程】因为动点到定点F(1,0)的距离比到y所以动点到定点F(1,0)所以动点的轨迹是以F(1,0)所以动点的轨迹方程是y2故选：B.【变式4-2】（23-24高二上·重庆·期末）已知点Px,y满足(x−1)2+y2A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆【解题思路】根据已知条件及抛物线的定义即可求解.【解答过程】(x−1)2+y2表示点Px,y到点1,0的距离；x+1因为(x−1)2所以点Px,y到点1,0的距离等于点Px,y到直线所以P的轨迹为抛物线.故选：C.【变式4-3】（23-24高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）一个动圆与定圆F：x+22+y2=1A．y2=8x B．y2=4x C．y2【解题思路】先利用圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系找到动点M的几何条件，再根据抛物线的定义确定动点M的轨迹，最后利用抛物线的标准方程写出轨迹方程．【解答过程】设动圆M的半径为r，依题意：MF=r−1点M到定直线x=2的距离为d=r−1，所以动点M到定点F−2,0的距离等于到定直线x=2即M的轨迹为以F为焦点，x=2为准线的抛物线，所以此动圆的圆心M的轨迹方程是y2故选：D．【题型5\t"/gzsx/zj165994/_blank"\o"抛物线上的点到定点的距离及最值"抛物线上的点到定点的距离及最值】【例5】（2024·全国·模拟预测）已知A是抛物线C：y2=4x上的点，N4,0，则ANA．2 B．22 C．4 D．【解题思路】由抛物线的方程，利用二次函数的性质求最值【解答过程】设At则AN=当且仅当t=±22故选：D．【变式5-1】（2024高三·全国·专题练习）已知P是抛物线y2=2x上的点，Q是圆x−52+yA．2 B．22 C．23【解题思路】将问题转化为求|PC|的最小值，根据两点之间的距离公式，求得|PC|的最小值再减去半径即可.【解答过程】如图，抛物线上点Px,y到圆心C5,0的距离为

因此PQ≥CP−1，当CP而CP2当y=±22时，CPmin=3，因此PQ故选：A.【变式5-2】（2024·湖南益阳·三模）已知M是抛物线y²=4x上一点，圆C1:x−12+y−22=1关于直线y=x−1对称的圆为C2A．22−1 B．2−1 C．11【解题思路】根据对称性求出圆C2的方程，设My024【解答过程】圆C1:x−12+y−22则由对称性可知：b−2a−1×1=−11+a2−所以圆C2:设My02所以当y02=4，即y所以MN的最小值是22故选：A.【变式5-3】（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知抛物线C:y2=8x的焦点为F，M为C上的动点，N为圆A:x2+y2+2x+8y+16=0上的动点，设点MA．1 B．22 C．332【解题思路】作出图形，过点M作ME垂直于抛物线的准线，垂足为点E，利用抛物线的定义可知d=MF−2，分析可知，当且仅当N、M为线段AF分别与圆A、抛物线C的交点时，【解答过程】根据已知得到F2,0，圆A:x+12+y+42=1抛物线C的准线为l:x=−2，过点M作ME⊥l，垂足为点E，则ME=d+2由抛物线的定义可得d+2=ME所以，MN+d=当且仅当N、M为线段AF分别与圆A、抛物线C的交点时，两个等号成立，因此，MN+d的最小值为3故选：D.【题型6\t"/gzsx/zj165994/_blank"\o"抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值"抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值】【例6】（2024·四川成都·模拟预测）设点A(2,3)，动点P在抛物线C:y2=4x上，记P到直线x=−2的距离为d，则APA．1 B．3 C．10−1 D．【解题思路】根据抛物线的定义，P到焦点F的距离等于P到准线的距离，可得d=|PF|+1，从而转化为求|AP|+|PF|+1的值，当A,P,F三点共线时，d=|PF|+1取得最小值，即可求解.【解答过程】由题意可得，抛物线C的焦点F1,0，准线方程为x=−1由抛物线的定义可得d=|PF|+1，所以|AP|+d=|AP|+|PF|+1，因为|AP|+|PF|≥|AF|=所以|AP|+d=|AP|+|PF|+1≥10当且仅当A,P,F三点共线时取等号，所以|AP|+d的最小值为1故选：D.【变式6-1】（2024·湖南常德·一模）已知抛物线方程为:y2=16x，焦点为F.圆的方程为x−52+y−12=1，设PA．6 B．7 C．8 D．9【解题思路】根据抛物线定义将点到焦点的距离转化为点到直线的距离，即PF=PN，从而得到PF+PQ=PN+【解答过程】

由抛物线方程为y2=16x，得到焦点F4,0，准线方程为x=−4，过点P因为点P在抛物线上，所以PF=所以PF+PQ=PN+PQ，当又因为Q在圆上运动，由圆的方程为x−52+y−12=1得圆心M故选：C.【变式6-2】（2024·全国·模拟预测）在直角坐标系xOy中，已知点F1,0，E−2,0，M2,2，动点P满足线段PE的中点在曲线y2=2x+2A．2 B．3 C．4 D．5【解题思路】设Px,y，由题意求出P的轨迹方程，继而结合抛物线定义将PM+PF的最小值转化为M【解答过程】设Px,y，则PE的中点坐标为x−22,y2故动点P的轨迹是以F为焦点，直线l：x=−1由于22<4×2，故M2,2过点P作PQ⊥l，垂足为Q，则PM+故当且仅当M，P，Q三点共线时，PM+PQ最小，即最小值为点M到直线l的距离，所以PM+故选：B．【变式6-3】（2024·陕西西安·一模）设P为抛物线C：y2=4x上的动点，A2,6关于P的对称点为B，记P到直线x=−1、x=−4的距离分别d1、d2A．33+2 B．233+2 C．3【解题思路】根据题意得到d1【解答过程】抛物线C：y2=4x的焦点为F1,0如图，因为d2=d1+3，且A2,6关于所以d1+≥2AF+3当P在线段AF与抛物线的交点时，d1+d故选：D.【题型7\t"/gzsx/zj165994/_blank"\o"抛物线的焦半径公式"抛物线的焦半径公式】【例7】（2024·青海西宁·一模）已知F是抛物线C:x2=4y的焦点，点M在C上，且M的纵坐标为3，则MFA．22 B．23 C．4【解题思路】利用抛物线的标准方程和抛物线的焦半径公式即可求解.【解答过程】由x2=4y，得2p=4，解得所以抛物线C:x2=4y的焦点坐标为F又因为M的纵坐标为3，点M在C上，所以MF=故选：C.【变式7-1】（2024·河南·模拟预测）已知抛物线C:y2=2pxp>0上的点m,2到原点的距离为22，焦点为F，准线l与x轴的交点为M，过C上一点P作PQ⊥l于Q，若∠FPQ=A．13 B．12 C．33【解题思路】根据点m,2到原点的距离为22求出抛物线方程，再设点P【解答过程】因为点m,2到原点的距离为22所以m2+2将点(2,2)代入抛物线方程y2=2pxp>0，得4=4p所以C:y

由于抛物线关于x轴对称，不妨设P(x,2x因为|PQ|=|PF|=x+12，所以△PQF为等腰三角形，∠PQF=π所以|QF|=所以|QF|=1+2x解得x=16或所以PF=故选：D.【变式7-2】（2024·新疆·三模）已知抛物线C：y2=x的焦点为F，在抛物线C上存在四个点P，M，Q，N，若弦PQ与弦MN的交点恰好为F，且PQ⊥MN，则1PQA．22 B．1 C．2 【解题思路】由抛物线的方程可得焦点F的坐标，应用抛物线焦点弦性质PF=p1−cosθ，QF=p【解答过程】由抛物线C:y2=x得2p=1，则p=不妨设PQ的倾斜角为θ0<θ<则由PFcosθ+p=PF得PF=p1−所以MF=p1−得PQ=PF+所以1PQ故选：B.【变式7-3】（2024·北京西城·三模）点F抛物线y2=2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若FA+FB+A．2 B．23 C．3 D．【解题思路】设A(x1,y1),B(x2,【解答过程】设A(x由y2=2x，得p=1，所以F(1因为FA+FB+FC=所以x1+x所以|==3故选：C.【题型8抛物线的几何性质】【例8】（2024·重庆·模拟预测）A,B是抛物线y2=2px(p>0)上的不同两点，点F是抛物线的焦点，且△OAB的重心恰为F，若|AF|=5，则p=（A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】根据重心可得x1+x【解答过程】设Ax因为△OAB的重心恰为F，则x1+x由y1=−y2可知A,B关于则x1+x又因为AF=x1故选：D.【变式8-1】（23-24高二下·福建厦门·期末）等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线y2=2x上，则这个等边三角形的边长为（A．2 B．23 C．4 D．【解题思路】正三角形的另外两个顶点关于x轴对称，设另外两个顶点坐标分别是A3【解答过程】设正三角形得边长为2a，由图可知正三角形的另外两个顶点关于x轴对称，可设另外两个顶点坐标分别是A3把顶点代入抛物线方程得a2=23所以正三角形的边长为43故选：D.【变式8-2】（23-24高三下·北京·阶段练习）设抛物线C的焦点为F，点E是C的准线与C的对称轴的交点，点P在C上，若∠PEF=30°，则sin∠PFE=（

A．34 B．33 C．22【解题思路】先设P(x0,y0【解答过程】由于抛物线的对称性，不妨设抛物线为C:y2=2px(p>0)点E是C的准线与C的对称轴的交点，其坐标为E(−p点P在C上，设为P(x0,y0且|PF|=x0+故选：B.【变式8-3】（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知x轴上一定点Aa,0a>0，和抛物线y2=2pxp>0上的一动点M，若AMA．0,p2 B．0,p C．0,3p【解题思路】设Mx0,y0x0≥0，表示出AM，依题意可得x02−2a−2px0【解答过程】设Mx0,y0==x因为AM≥a恒成立，所以x所以x0当x0=0时显然恒成立，当x0所以2a−2p≤0，则a≤p，又a>0，所以0<a≤p，即实数a的取值范围为0,p.故选：B.【题型9抛物线中的三角形（四边形）面积问题】【例9】（2024·江西新余·二模）已知点Q2,−2在抛物线C：y2=2px上，F为抛物线的焦点，则△OQF（OA．12 B．1 C．2 【解题思路】将点Q代入抛物线C的方程，即可求解p，再结合抛物线的公式，即可求解【解答过程】∵点Q(2,−2)在抛物线C:y2=2px上，F∴4=4p，解得p=1，故抛物线C的方程为y2=2x，F(1则△OQF的面积S△OQF故选：A．【变式9-1】（23-24高二上·广东广州·期末）已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F，直线l与C相交于A、B两点，与y轴相交于点E．已知AF=5，BF=3，若△AEF的面积是△BEF面积的2倍，则抛物线A．y2=2x B．y2=4x C．【解题思路】过A,B分别作C的准线的垂线交y轴于点M,N，根据抛物线定义可得AM=5−p2，BN=3−p【解答过程】如图，过A,B分别作C的准线的垂线交y轴于点M,N，则AM//BN，故因为C的准线为x=−p2，所以AM=所以S△AEFS△BEF故抛物线C的方程为y2故选：B.【变式9-2】（23-24高二上·广东广州·期末）设F为抛物线y2=4x的焦点，A,B,C为该抛物线上不同的三点，且FA+FB+FC=0,O为坐标原点，若△OFA、△OFB、△OFC的面积分别为SA．3 B．4 C．5 D．6【解题思路】设点A,B,C的坐标，再表示出△OFA,△OFB,△OFC的面积，借助向量等式即可求得答案.【解答过程】设点A,B,C的坐标分别为(x1,y1FA=(x1−1,y于是S1所以S1故选：A.【变式9-3】（23-24高二·全国·课后作业）已知抛物线C：y2=8x，点P为抛物线上任意一点，过点P向圆D：x2+y2−4x+3=0作切线，切点分别为AA．1 B．2 C．3 D．5【解题思路】由题意圆的圆心与抛物线的焦点重合，可得连接PD，则S四边形PADB=2SRt△PAD=PA，而【解答过程】如图，连接PD，圆D：x−22则S四边形又PA=PD2−1，所以当四边形过点P向抛物线的准线x=−2作垂线，垂足为E，则PD=当点P与坐标原点重合时，PE最小，此时PE=2故S四边形故选：C.一、单选题1．（2024·江西·模拟预测）若抛物线x2=8y上一点x0,y0到焦点的距离是该点到A．12 B．1 C．32【解题思路】根据抛物线的方程，结合抛物线的标准方程，得到抛物线的焦点和准线，利用抛物线的定义，得到抛物线上的点x0,y【解答过程】已知拋物线的方程为x2=8y，可得所以焦点为F0,2，准线为l：y=−2抛物线上一点Ax0,y0即AF=又∵A到x轴的距离为y0由已知得y0+2=2y故选：D．2．（2024·四川·模拟预测）已知抛物线C:x2=8y的焦点为F,P是抛物线C上的一点，O为坐标原点，OP=43A．4 B．6 C．8 D．10【解题思路】求出抛物线焦点和准线方程，设Pm,nm≥0，结合OP=4【解答过程】抛物线C:x2=8y的焦点为F设Pm,nm≥0，则m2=8n,m则PF=n+2=6故选：B．3．（23-24高二下·甘肃白银·期中）若圆C与x轴相切且与圆x2+y2=4A．x2=4y+4 C．x2=4y【解题思路】设圆心坐标为x,y，依题意可得x2【解答过程】设圆心坐标为x,y，依题意可得x2+y即圆C的圆心的轨迹方程为x2故选：C.4．（2024·北京海淀·三模）已知抛物线y2=4x的焦点为F、点M在抛物线上，MN垂直y轴于点N，若MF=6，则△MNFA．8 B．45 C．55 【解题思路】确定抛物线的焦点和准线，根据MF=6得到M【解答过程】因为抛物线y2=4x的焦点为F1,0所以MF=xM不妨设M在第一象限，故M5,2所以S△MNF故选：C.5．（2024·西藏林芝·模拟预测）已知抛物线y2=8x上一点P到准线的距离为d1，到直线l:4x−3y+12=0的距离为d2，则A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】点P到直线l:4x−3y+12=0的距离为|PA|，到准线l1:x=−2的距离为|PB|，利用抛物线的定义得|PF|=|PB|，当A，P和F共线时，点P到直线l:4x−3y+12=0和准线【解答过程】由抛物线y2=8x知，焦点F2,0

点P到直线l:4x−3y+12=0的距离为|PA|，到准线l1:x=−2的距离为由抛物线的定义知：|PB|=|PF|，所以点P到直线l:4x−3y+12=0和准线l1:x=−2的距离之和为且点F2,0到直线l:4x−3y+12=0的距离为d=所以d1+d故选：D.6．（2024·四川雅安·三模）已知过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的通径，清代数学家明安图在《割圆密率捷法》中，也称圆的直径为通径.已知圆(x−2)2+(y+1)2=4的一条直径与拋物线xA．12 B．1 C．2 【解题思路】根据圆的通径的上端点就是抛物线通径的上右端点，可得抛物线x2=2py(p>0)经过点【解答过程】因为圆(x−2)2+(y+1)而抛物线x2=2py(p>0)的通径与所以圆(x−2)2+(y+1)且圆的直径的上端点就是抛物线通径的右端点，因为圆(x−2)2+(y+1)2=4所以该圆与x轴垂直的直径的上端点为2,1，即抛物线x2=2py(p>0)经过点2,1，则4=2p，即故选：C.7．（2024·山西运城·三模）已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，动点M在C上，点B与点A1,−2关于直线l:y=x−1对称，则A．22 B．12 C．33【解题思路】根据对称性可得B(−1,0)，即点B为C的准线与x轴的交点，作MM′垂直于C的准线于点M′，结合抛物线的定义可知MFMB=MM′MB=【解答过程】依题意，F(1,0)，A(1,−2)，设B(m,n)，则n+2m−1=−1n−2即B(−1,0)，点B为C的准线与x轴的交点，由抛物线的对称性，不妨设点M位于第一象限，作MM′垂直于C的准线于点设∠MBF=θ,θ∈(0,π2)，由抛物线的定义得MM′当直线MB与C相切时，θ最大，cosθ最小，|MF||MB| 设切线MB的方程为x=my−1(m>0)，由x=my−1y2=4x消去x得y则Δ=16m2−16=0，得m=1，直线MB的斜率为于是θmax=π4，(cos故选：A.8．（2024·江西九江·二模）已知抛物线C:y2=2px过点A1,2，F为C的焦点，点P为C上一点，A．C的准线方程为x=−2B．△AFO的面积为1C．不存在点P，使得点P到C的焦点的距离为2D．存在点P，使得△POF为等边三角形【解题思路】求解抛物线方程，得到准线方程，判断A；求解三角形的面积判断B；利用|PF|=2．判断C；判断P的位置，推出三角形的形状，判断D．【解答过程】由题意抛物线C:y2=2px过点A(1,2)，可得p=2，所以抛物线方程为C:可以计算S△AFO当P(1,2)时，点P到C的焦点的距离为2，C错误；△POF为等边三角形，可知P的横坐标为：12，当x=12则12×3=3故选：B．二、多选题9．（2024·湖南长沙·二模）已知抛物线C与抛物线y2=4x关于y轴对称，则下列说法正确的是（A．抛物线C的焦点坐标是−1,0B．抛物线C关于y轴对称C．抛物线C的准线方程为x=1D．抛物线C的焦点到准线的距离为4【解题思路】依题意可得抛物线C的方程为y2【解答过程】因为抛物线C与抛物线y2=4x关于所以抛物线C的方程为y2则抛物线C的焦点坐标是−1,0，准线方程为x=1，故A、C正确；抛物线C关于x轴对称，故B错误；抛物线C的焦点到准线的距离为2，故D错误.故选：AC.10．（2024·湖北襄阳·二模）抛物线C:x2=2py的焦点为F，P为其上一动点，当P运动到(t,1)时，|PF|=2，直线l与抛物线相交于A、BA．抛物线的方程为：xB．抛物线的准线方程为：y=−1C．当直线l过焦点F时，以AF为直径的圆与x轴相切D．AF【解题思路】根据焦半径即可求解A，根据准线方程即可求解B，求解圆心和半径即可判断C，设出直线l方程，与抛物线方程联立，韦达定理，利用焦半径公式求出AF+【解答过程】对于A：当P运动到t,1时，PF=1+p2=2，故对于B：由x2=4y，故抛物线的准线方程为：对于C：当直线l过焦点F时，设A为x0,y故以AF为直径的圆的半径为y0+12，又F0,1，故以圆心到x轴的距离与该圆半径相等，即该圆与x轴相切，故C正确；对于D：由题意直线l斜率存在，设l的方程为y=kx+m，联立y=kx+mx整理得x2−4kx−4m=0，Δ=所以xA所以yA+y所以AF+不能确定什么时候最小，则D错误.故选：BC.11．（2024·广东广州·模拟预测）已知抛物线C：x2=2y的焦点为F，准线为l，点A，B在C上（A在第一象限），点Q在l上，以AB为直径的圆过焦点F，QB=λBF（A．若λ=3，则BF=34 B．若C．△AFB的面积最小值为14 D．△AQB的面积大于【解题思路】对于A，由抛物线的定义及△QBD∽△QEF即可；对于B，由抛物线的定义及△AQF≌△AQM即可；对于C，分类讨论B点所在象限，并由焦半径公式结合三角函数辅助角公式即可；对于D，结合C选项，分类讨论B点所在象限，可证QB≥BF，得【解答过程】对于A，设点B在准线l上的投影为D，准线l与y轴交于点E，因为A,B两点在抛物线x2=2y上，根据抛物线的定义BD=又QB=3则|QBQF=对于B，设点A在准线l上的投影为点M，因为以AB为直径的圆过焦点F，所以AF⊥QF，且|AF|=|AM|，所以△AQF≌△AQM，又因为∠AQF=3π8即∠MAF=π4，由焦半径公式AF=p对于C，分两种情况：当点A,B都在第一象限，设∠AFy=α，α∈0,由焦半径公式可得AF=BF=所以S△ABF令fα设t=sin且t2所以S△ABF当且仅当α=π当点B在第二象限时，设∠AFO=β，β∈0,则AF=11+所以S△ABF同理令t=sinβ+cos所以21+所以S△ABF当且仅当β=π综上，△AFB面积的最小值为3−22对于D，当点A,B都在第一象限，|EF|=1，QF=1sin则QB=所以QBBF即QB≥所以S当点B在第二象限时，同理可得QBBF即QB>所以S△AQB综上，△AQB的面积大于3−22故选：ABD.三、填空题12．（2024·陕西宝鸡·三模）抛物线y2=2px(p>0)过点A(2,2)，则点A到抛物线准线的距离为5【解题思路】将已知点代入抛物线方程求得p，结合抛物线定义求解即可.【解答过程】由题意22=2p×2，解得p=1，所以抛物线的准线为故所求为2+1故答案为：5213．（2024·西藏林芝·模拟预测）抛物线x2=16y的焦点为F，点P(x,y)为该抛物线上的动点，点A(2,0)，则|PF|−|PA|的最大值是【解题思路】作PM⊥准线l，M为垂足，由抛物线的定义可得|PF|−|PA|=|PM|−|PA|≤AM，故当P，A，M三点共线时|PF|−|PA|【解答过程】根据抛物线方程x2=16y，可得F(0,4)，准线方程为作PM⊥准线l，M为垂足，又知A(2,0)，由抛物线的定义可得|PF|−|PA|=|PM|−|PA|≤AM故当P，A，M三点共线时，|PM|−|PA|=|AM|取最大值，最大值为|AM|=4．故答案为：4.

14．（2024·上海·三模）过抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点F的直线交E于点A,B，交E的准线l于点C，AD⊥l，点D为垂足.若F是AC的中点，且AF=3【解题思路】作BE⊥l于点E，l与x轴交于点M，借助相似三角形的性质可得ADFM=AC【解答过程】作BE⊥l于点E，l与x轴交于点M，如图，则AD//FM//BE，又AF=3且F是AC的中点，则有AD即AD=2FM，又AD=又FMBE=FCBC，故32FB=33−故答案为：4.四、解答题15．（24-25高二上·全国·课堂例题）分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)焦点为−2,0；(2)准线为y=−1；(3)过点A2,3(4)焦点到准线的距离为52【解题思路】（1）根据焦点位置得到p=4，则得到其标准方程；（2）根据准线方程得到p=2，则得到其标准方程；（3）利用待定系数，设出抛物线方程，代入所过得点即可；（4）根据距离求出p=5【解答过程】（1）由于焦点在x轴的负半轴上，且p2=2，∴抛物线的标准方程为y2（2）∵焦点在y轴正半轴上，且p2=1，∴抛物线的标准方程为x2（3）由题意，抛物线方程可设为y2=mxm≠0将点A2,3的坐标代入，得32=m⋅2∴m=92或∴所求抛物线的标准方程为y2=9（4）由焦点到准线的距离为52，可知p=∴所求抛物线的标准方程为y2=5x或y2=−5x或16．（23-24高二下·甘