数学归纳法教学设计 高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.4数学归纳法教学设计

课程基本信息学科数学年级高二学期秋季课题4.4数学归纳法教学目标1.了解数学归纳法原理，会用数学归纳法原理证明一些简单的与正整数有关的命题；2．通过对多米诺骨牌全部倒下的条件的类比和迁移，归纳得到数学数学归纳法的两个步骤，提高学生数学表达能力和推理论证能力；3.体会从特殊到一般、无穷到有限的辩证思维过程，发展数学抽象素养．教学重难点教学重点：数学归纳法原理的理解及简单应用．教学难点：理解数学归纳法中两个步骤的作用．教学过程一、创设情境，问题导入问题1(1)对于一切n∈N*，n2＋n＋11是质数吗?(2)对于数列{an}，已知a1＝1，an＋1＝eq\f(an,1＋an)(n∈N*)，它的通项公式是an＝eq\f(1,n)吗?给n赋值计算，写出你的猜想，并试着证明你的猜想．师生活动对于(1)，学生一般会令n＝1，2，3，4，5…，得12＋1＋11＝13，22＋2＋11＝17，32＋3＋11＝23，42＋4＋11＝31，52＋5＋11＝41…，于是猜想对于一切n∈N*，n2＋n＋11是质数成立．对于(2)令n＝1，2，3…，由a1＝1a2＝eq\f(1,2)a3＝eq\f(1,3)a4＝eq\f(1,4)…，于是猜想an＝eq\f(1,n)成立．追问1这两个猜想一定成立吗?师生活动教师引导学生认识到，题(1)中，若令n＝10，得102＋10＋11＝121＝112，所以猜想不成立．对于(2)，即使举不出反例，但是通过不完全归纳得到的结论，也不能说明对于任意n∈N*，都成立．追问2如果(2)的结论是成立的，如何证明它呢?设计意图通过设置具体问题，发现运用现有的方法不能证明涉及一切自然数都成立的命题，从而需要研究新的证明方法，引发学习新知识的必要性．同时让学生看到，用不完全归纳得到的结论不一定成立．二、经验提炼，探究规律问题2题(2)中，由a1＝1a2＝eq\f(1,2)a3＝eq\f(1,3)a4＝eq\f(1,4)…，这是一个无穷步骤的问题，我们能否通过有限的步骤来解决这一无穷的问题呢?师生活动教师引导学生思考，因为n∈N*，，我们要达到证明的目的，必须用有限的步骤完成．这就需要我们思考，怎样将“无限”转化为“有限”，通过有限步骤，证明n∈N*，时，命题成立．追问你在学过的知识里，有将“无限”转化为“有限”的实例吗?你认为什么能够实现这样的转化?师生活动学生回顾，教师适时引导，立体几何中，直线与平面的垂直的定义为：如果一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线与这个平面垂直．直线与平面垂直的判定定理为：一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与这个平面垂直．其定义是“无限”，判定则是“有限”．之所以能够实现转化，是因为一个平面可以由两条相交直线确定，所以一条直线与两条相交直线垂直就能保证直线与平面垂直．设计意图类比无限到有限的转化，实现知识的迁移．情景观看多米诺骨牌游戏视频，思考以下问题：问题3要想保证骨牌全部倒下去，需要具备哪些条件呢?师生活动教师组织学生重复观看视频，引导学生讨论交流归纳，得到骨牌要全部倒下去，需要具备两个条件：①第一块骨牌要倒下；②如果某一张骨牌倒下，要能保证它的后一张骨牌也倒下(用数学语言表述：如果第k张倒下，则要使第k＋1张也倒下)．设计意图通过“多米诺骨牌”视频游戏，引导学生理解从有限递推到到无穷所需满足的两个条件，逐渐实现问题情景数学化的过渡；同时体会方法的探究过程是来源于生活实践，并接受实践的经验．三、类比分析，形成原理问题4你认为上述题（2）猜想，与多米诺骨牌有相似性吗?请你完成下表．师生活动学生合作完成下表：多米诺骨牌题（2）解答条件一：第一块牌倒下；步骤一：证明n＝1时，a1＝1，结论成立；条件二：任意一块牌倒下，它的后一块牌也倒下(如果第k张倒下，则要使第k＋1张也倒下)．步骤二：如果n＝k时结论成立，即ak＝eq\f(1,k)，那么有ak＋1＝eq\f(1,k＋1)，即n＝k＋1时结论也成立．结果：所有骨牌都倒下．结果：结论对一切正整数n都成立．设计意图通过对多米诺骨牌全部倒下的两个条件的类比分析，得到完成题（2）解答过程应有的两个主要步骤，实现了知识的迁移．追问1你能完成上述ak＝eq\f(1,k)ak＋1＝eq\f(1,k＋1)的证明吗?师生活动学生独立完成．如果n＝k，即ak＝eq\f(1,k)成立，那么有ak＋1＝eq\f(ak,1＋ak)＝eq\f(eq\f(1,k),1＋eq\f(1,k))＝eq\f(1,k＋1)，即n＝k＋1时ak＋1＝eq\f(1,k＋1)也成立．追问2如何解释题（2）猜想的合理性?师生活动由学生解释，由n＝1时，a1＝1成立，根据步骤二的证明过程知道，就可以得到n＝2时，a2＝eq\f(1,2)成立；由n＝2时，a2＝eq\f(1,2)成立，就可以得到n＝3时，a3＝eq\f(1,3)成立；……所以，对于任意的n∈N*，an＝eq\f(1,n)成立．设计意图由多米诺骨牌全部倒下的条件分析，迁移到对数学命题的证明过程探究，得到了证明方法．既体现了知识来源于实践，又通过由猜想到理性分析，培养学生的逻辑推理能力．设计问题追问，也为原理归纳作好铺垫．问题5从题（2）猜想的解答过程中，你能归纳出证明一个与正整数n有关的命题的一般步骤吗?师生活动师生共同归纳，证明与一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行：结论结论：对一切正整数n，命题都成立．两者缺一不可!归纳递推归纳奠基（1）验证：当n＝1时，命题成立；(2)证明：假设当n＝k时命题成立，那么当n＝k＋1时命题也成立；这种证明方法叫做数学归纳法．师生活动师生共同理解数学归纳法原理：对于一个与正整数有关的命题，如果①当n取第一个值n0(例如n0＝1，2等)时结论正确；②假设当n＝k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n＝k＋1时结论也正确，那么，命题对于从n0开始的所有正整数n都成立．追问1数学归纳法的适用范围是什么?追问2如果n取的第一个数是5，那么结论又是什么?追问3第二步证明过程中的条件和结论分别是什么?追问4两个步骤中是否可以省略一个?为什么?设计意图：教师引导学生归纳数学归纳法的一般步骤及其数学归纳法原理的形式化表达．然后设置问题串，抓住学生思维的起点，逐层剖析，让学生真正理解数学归纳法的第一步是证明奠基性，第二步是证明递推性，这样既突破了难点，又突出了重点．四、数学应用，评析强化例题用数学归纳法证明12＋22＋32＋…＋n2＝eq\f(n(n＋1)(2n＋1),6)(n∈N*)师生活动教师引导学生规范表达，运用数学归纳法证明与正整数n有关的命题．证明：(1)当n＝1时，12＝eq\f(1×2×3,6)，等式成立．(2)假设n＝k时等式成立，即12＋22＋32＋…＋k2＝eq\f(k(k＋1)(2k＋1),6)，那么，当n＝k＋1时，有12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2＝eq\f(k(k＋1)(2k＋1),6)＋(k＋1)2＝eq\f((k＋1)(2k2＋k＋6k＋6),6)＝eq\f((k＋1)(2k2＋7k＋6),6)＝eq\f((k＋1)(k＋2)(2k＋3),6)＝eq\f((k＋1)[(k＋1)＋1][2(k＋1)＋1],6)所以当n＝k＋1时，等式成立．根据(1)(2)可知，对任何n∈N*，等式都成立．巩固练习观察下列命题及运用数学归纳法的证明过程，谈谈你的理解：(1)设n∈N*，求证：2＋4＋6＋…＋2n＝n2＋n＋1．证明假设当n＝k时等式成立，即2＋4＋6＋…＋2k＝k2＋k＋1，那么，当n＝k＋1时，有2＋4＋6＋…＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋1＋2(k＋1)＝(k＋1)2＋(k＋1)＋1，即当n＝k＋1时，等式成立．因此，当n∈N*时，等式2＋4＋6＋…＋2n＝n2＋n＋1成立．(2)证明：当n∈N*时，1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2．证明①当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立．②假设当n＝k时等式成立，即1＋3＋5＋…＋(2k－1)＝k2，那么，当n＝k＋1时，有1＋3＋5＋…＋(2k－1)＋[2(k＋1)－1]＝eq\f((1＋2k＋1)(k＋1),2)＝(k＋1)2，即当n＝k＋1时，等式成立．因此，对于当n∈N*时，1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2．设计意图：通过例题展示对数学归纳法的理解应用及规范书写，既强调了学生的主体地位，又突出了教学的针对性．通过巩固练习辨析，强化理解两个主要步骤缺一不可：(1)证明奠基性，(2)证明递推性．帮助学生进一步深刻理解数学归纳法的本质．五、课堂巩固，总结提升本节课我们发现、归纳、运用了一种新的方法－数学归纳法，通过以下问题谈谈你的收获与体会．（1）数学归纳法能够解决哪一类问题?（2）数学归纳法证明命题的步骤有哪些?（3）我们是怎么发现和归纳出这种方法的?设计意图通过以问题形式进行总结，既梳理数学归纳法的内容，又提炼了数学归纳法的发生发展过程及其蕴含的思想方法．附：数学归纳法的发展历程数学归纳法从萌芽到应用，有着悠久的历史，凝聚了众多中外数学家的精力和智慧。一般认为归纳推理可以追溯到公元前6世纪毕达哥拉斯时代，完整的归纳推理，即数学归纳法的早期例证是公元前3世纪欧几里得在《几何原本》中对素数无限的证明。19世纪意大利数学家皮亚诺建立的序数理论，为数学归纳法提供了理论基础。在中国，李善兰和伟烈亚力合译的《代数学》中，对数学归