山西省怀仁市重点中学2025届数学高一上期末预测试题含解析

山西省怀仁市重点中学2025届数学高一上期末预测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．函数（，且）的图象必过定点A. B.C. D.2．若，，，，则（）A. B.C. D.3．已知角的终边经过点，则（）.A. B.C. D.4．设是两个单位向量，且，那么它们的夹角等于（）A. B.C. D.5．已知函数，则的值为A. B.C. D.6．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.7．设函数,则下列结论错误的是A.函数的值域为 B.函数是奇函数C.是偶函数 D.在定义域上是单调函数8．若且，则下列不等式中一定成立的是A. B.C. D.9．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半这条直线被后人称之为三角形的欧拉线若的顶点，，且的欧拉线的方程为，则顶点C的坐标为A. B.C. D.10．设函数，则下列结论不正确的是（）A.函数的值域是；B.点是函数的图像的一个对称中心；C.直线是函数的图像的一条对称轴；D.将函数的图像向右平移个单位长度后，所得图像对应的函数是偶函数二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．如果函数满足在集合上的值域仍是集合，则把函数称为H函数．例如：就是H函数．下列函数：①；②；③；④中，______是H函数（只需填写编号）（注：“”表示不超过x的最大整数）12．直线l与平面α所成角为60°，l∩α＝A，则m与l所成角的取值范围是_______.13．计算的值为__________14．函数，其中,,的图象如图所示，求的解析式____15．已知，则___________.（用含a的代数式表示）16．若关于的方程的一个根在区间上，另一个根在区间上，则实数的取值范围是__________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数，（Ⅰ）求的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值18．已知且，函数.（1）求的定义域；（2）判断的奇偶性，并用定义证明；（3）求使的取值范围.19．已知函数（0＜ω＜6）的图象的一个对称中心为（1）求f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）的单调递增区间；（3）求f（x）在区间上的最大值和最小值20．设函数，（1）求函数的值域；（2）设函数，若对，，，求正实数a的取值范围21．改革开放四十周年纪念币从2018年12月5日起可以开始预约通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价单位：元与上市时间单位：天的数据如下：上市时间x天81032市场价y元826082根据上表数据，从下列函数：；；中选取一个恰当的函数刻画改革开放四十周年纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由利用你选取的函数，求改革开放四十周年纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】因为函数，且有(且)，令，则，，所以函数的图象经过点.故选：C.【点睛】本题主要考查对数函数(且)恒过定点，属于基础题目.2、C【解析】由于，所以先由已知条件求出，的值，从而可求出答案【详解】，因为，，所以，，因为，，所以，，则故选：C【点睛】此题考查同角三角函数的关系的应用，考查两角差的余弦公式的应用，考查计算能力，属于基础题.3、A【解析】根据三角函数的概念，，可得结果.【详解】因为角终边经过点所以故选：A【点睛】本题主要考查角终边过一点正切值的计算，属基础题.4、C【解析】由条件两边平方可得，代入夹角公式即可得到结果.【详解】由，可得：，又是两个单位向量，∴∴∴它们的夹角等于故选C【点睛】本题考查单位向量的概念，向量数量积的运算及其计算公式，向量夹角余弦的计算公式，以及已知三角函数求角，清楚向量夹角的范围5、C【解析】由，故选C6、B【解析】根据二次函数的单调性可得出关于的不等式，即可得解.【详解】因为函数在区间上单调递增，则，解得.故选：B.7、D【解析】根据分段函数的解析式研究函数的单调性，奇偶性，值域，可得结果.【详解】当时，为增函数，所以，当时，为增函数，所以，所以的值域为，所以选项是正确的；又，，所以在定义域上不是单调函数，故选项是错误的；因为当时，，所以，当时，，所以，所以在定义域内恒成立，所以为奇函数，故选项是正确的；因为恒成立，所以函数为偶函数，故选项是正确的.故选：D【点睛】本题考查了分段函数的单调性性，奇偶性和值域，属于基础题.8、D【解析】利用不等式的性质逐个检验即可得到答案.【详解】A,a＞b且c∈R，当c小于等于0时不等式不成立，故错误；Ba，b，c∈R，且a＞b，可得a﹣b＞0，当c=0时不等式不成立，故错误；,C,举反例，a=2,b=-1满足a>b,但不满足，故错误；D,将不等式化简即可得到a>b,成立，故选D.【点睛】本题主要考查不等式的性质以及排除法的应用，属于简单题.用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法.若结果为定值，则可采用此法.特殊法是“小题小做”的重要策略.常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等9、A【解析】设出点C的坐标，由重心坐标公式求得重心，代入欧拉线得一方程，求出AB的垂直平分线，和欧拉线方程联立求得三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得另一方程，两方程联立求得点C的坐标【详解】设C（m，n），由重心坐标公式得，三角形ABC的重心为（，），代入欧拉线方程得：2＝0，整理得：m﹣n+4＝0①AB的中点为（1，2），直线AB的斜率k2，AB的中垂线方程为y﹣2（x﹣1），即x﹣2y+3＝0联立，解得∴△ABC的外心为（﹣1，1）则（m+1）2+（n﹣1）2＝32+12＝10，整理得：m2+n2+2m﹣2n＝8②联立①②得：m＝﹣4，n＝0或m＝0，n＝4当m＝0，n＝4时B，C重合，舍去∴顶点C的坐标是（﹣4，0）故选A【点睛】本题考查直线方程的求法，训练了直线方程的点斜式，考查了方程组的解法10、B【解析】根据余弦函数的性质一一判断即可；【详解】解：因为，，所以，即函数的值域是，故A正确；因为，所以函数关于对称，故B错误；因为，所以函数关于直线对称，故C正确；将函数的图像向右平移个单位长度得到为偶函数，故D正确；故选：B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、③④【解析】根据新定义进行判断.【详解】根据定义可以判断①②在集合上的值域不是集合，显然不是H函数.③④是H函数.③是H函数，证明如下：显然，不妨设，可得，即，恒有成立，满足，总存在满足是H函数.④是H函数，证明如下：显然，不妨设，可得，即，恒有成立，满足，总存在满足H函数.故答案为：③④12、【解析】根据直线l与平面α所成角是直线l与平面α内所有直线成的角中最小的一个，直线l与平面α所成角的范围，即可求出结果【详解】由于直线l与平面α所成角为60°，直线l与平面α所成角是直线l与平面α内所有直线成的角中最小的一个，而异面直线所成角的范围是（0，]，直线m在平面α内，且与直线l异面，故m与l所成角的取值范围是.故答案为【点睛】本题考查直线和平面所成的角的定义和范围，判断直线与平面所成角是直线与平面α内所有直线成的角中最小的一个，是解题的关键13、【解析】.14、【解析】首先根据函数的最高点与最低点求出A，b，然后由图像求出函数周期从而计算出，再由函数过点求出.【详解】，，，解得，则，因为函数过点，所以，，解得因为，所以，.故答案为：【点睛】本题考查由图像确定正弦型函数的解析式，第一步通过图像的最值确定A，b的值，第二步通过周期确定的值，第三步通过最值点或者非平衡位置的点以及15、【解析】利用换底公式化简，根据对数的运算法则求解即可【详解】因为，所以故答案为：.16、【解析】设，时，方程只有一个根，不合题意，时，方程的根，就是函数的零点，方程的一个根在区间上，另一个根在区间上，且只需，即，解得，故答案为.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ)最小正周期是，单调递增区间是.(Ⅱ)最大值为，最小值为【解析】详解】试题分析：(Ⅰ)将函数解析式化为，可得最小正周期为；将代入正弦函数的增区间可得函数的单调递增区间是．(Ⅱ)由可得，故，从而可得函数在区间上的最大值为，最小值为试题解析：（Ⅰ），所以函数的最小正周期是，由，得，所以的单调递增区间是.（Ⅱ）当时，，所以，所以，所以在区间上的最大值为，最小值为点睛：解决三角函数综合题（1）将f(x)化为的形式；（2）构造；（3）逆用和（差）角公式得到（其中φ为辅助角）；（4）利用，将看做一个整体，并结合函数的有关知识研究三角函数的性质18、（1）；（2）函数是偶函数，详见解析；（3）当时，；当时，或.【解析】（1）根据对数的真数为正数列式可解得结果；（2）函数是偶函数，根据偶函数的定义证明即可；（3）不等式化为后，分类讨论底数，根据对数函数的单调性可解得结果.【小问1详解】要使函数数有意义，则必有，解得，所以函数的定义域是；【小问2详解】函数是偶函数，证明如下：∵，，又∴函数是偶函数；【小问3详解】使，即当时，有，，当时，有，解得或.综上所述：当时，；当时，或.19、（1）；（2）[]，k∈Z；（3）最大值为10，最小值为【解析】（1）先降幂化简原式，再利用对称中心求得ω，进而得周期；（2）利用正弦函数的单调区间列出不等式即可得解；（3）利用（2）的结论，确定所给区间的单调性，再得最值【详解】解：（1）=4sin（sincos-cossin）-1=2sin2-1-2sincos=-cosωx-sinωx=-2sin（ωx），∵是对称中心，∴-，得ω=2-12k，k∈Z，∵0＜ω＜6，∴k=0，ω=2，∴，其最小正周期为π；（2）由，得，∴f（x）的单调递增区间为：[]，k∈Z，（3）由（2）可知，f（x）在[]递减，在[]递增，可知当x=时得最大值为0；当x=时得最小值故f（x）在区间[]上的最大值为0，最小值为【点睛】此题考查了三角函数式的恒等变换，周期性，单调性，最值等，属于中档题20、（1）；（2）.【解析】(1)由题可得，利用基本不等式可求函数的值域；(2)由题可求函数在上的值域，由题可知函数在上的值域包含于函数在上的值域，由此可求正实数a的取值范围【小问1详解】∵，又，，∴，当且仅当，即时取等号，所以，即函数的值域为【小问2详解】∵，设，因为，所以，函数在上单调递增，∴，即，设时，函数的值域为A．由题意知，∵函数，函数图象的对称轴为，当，即时，函数在上递增，则，即，∴，当时，即时，函数在上的最大值为，中的较