2021届高考数学试卷专项练习12三角函数与解三角形含解析

三角函数与解三角形

五、解答题

46.(2021•江苏常州市•高三一模)在AABC中，ZBAC=-,点〃在边8C上，满足=

2

jr

(1)若/BAD=—,求ZC；

6

(2)若8=230,40=4,求AABC的面积.

【答案】(1)-j：(2)1272.

【解析】

(1)在△AB0中，由正弦定理求得sinZBDA=在，得到NBD4的大小，进而求得NC的大小;

2

(2)山48=680,8=28。，得到45=组5。,4。=吆5。，根据向量的线性运算，求得

33

UULT21UULT41

AD^-AB+-AC,进而得到AZ)2=—AB2+—AC2,求得8C,AB,AC的长，利用面积公式，即可求

3399

解.

【详解】

AB

(1)在△A8O中，由正弦定理得———

sinZBADsinABDA

rri>.ABsin—日

所以si•nN/BnD八人A=----------6-=7——3,

BD2

27r7T

因为N8DA£(0,»),所以NBZM=—或ZSZM=-,

33

27r7T7T

当N8OA='时，可得NB=2,可得NC=2；

77')1TT

当时，可得NB=R,因为NBAC=X(舍去),

322

IT

综上可得NC=—.

3

(2)因为AB=6BD,CD=2BD,所以AB=^BC,AC="BC，

33

由正通+丽=通+/=丽+:(而-丽=部+/,

——•22.1.14・21,24.

所以AD=(-AB+-AC)2=-AB+-AC+-AB-

33999

4917

即AO?9=-AB2+-AC2,

99

又由49=4，可得《x(^BC)2+"x(*BO)?=4?,解得BC=6Q，

则A3=2MAC=46,

所以S“Bc=g|AMx|AC=120.

47.(2021•河北邯郸市•高三一模)设△A5C的内角小B,C的对边分别为a,b,c,且满足

3

acosB-bcosA=—c

5

、tanA…»

(1)求-----的值；

tanB

(2)若点〃为边AB的中点，AB=10,CD=59求3c的值.

【答案】(1)4；(2)475.

【解析】

33

(1)由acos8-Z?cosA=yC,带入余弦定理整理可得/一/=弓。2，所以

9->>?

Q-+c~

tanA_sinAcosB_a2ac_+c2-h2

,带入/一/^二13/即可得解;

tanBcosAsinBb2+c2-a2.b2+c2-a2

-----------b

2bc

(2)作AB边上的高C」E,垂足为幺因为tanA=C£,tan5=C£,所四12二gg

AEBEtanBAE

又——=4,所以席=4AE，因为点〃为边A8的中点且A5=10,所以3D=5,A£=2,DE=3,

tanB

再根据勾股定理即可得解.

【详解】

3

(1)因为QCOS8-Z?COSA=—c,

5

所以3

〜2-c

2ca2bc5

即。2-b2=|c2

'2+C2-b2

a.

itanA_simnAcosDB_2ac

X.==55­>

tan3cosAsinBh~+c—a~.

---------------b

2bc

tanAa~+c2—b-8c25.

所以-----=f——z——=—X--二4.

tanBtr+c~—a7~52c“

（2）如图，作AB边上的高CE,垂足为反

LI“.CE_CE„,,tanABE

因为tanA----,tanB=-----，所以......-----

AEBEtanBAE

,tanA“一，

又-------=4,所以8E=4AE.

tanB

因为点〃为边AB的中点，AB=10.所以8O=5,AE=2,OE=3.

在直角三角形CDE中，8=5,所以CE=J^二手=4・

在直角三角形BCE中，BE=3、所以8C="7F=4有.

48.（2021•全国高三专题练习）如图，在AABC中，AB1AC,A3=AC=2,点E，尸是线段8C

7T

（含端点）上的动点，且点E在点尸的右下方，在运动的过程中，始终保持NE4F=一不变，设NE45=8

4

弧度.

（1）写出。的取值范围，并分别求线段AE,Ab关于。的函数关系式;

（2）求△外尸面积S的最小值.

IT

【答案】（1）0<0<-,

4

【解析】

（1）依据直角三角形直接写事。的范围，然后根据正弦定理可得AE，A/关于。的函数关系式.

（2）根据（1）的条件可得$△以「，并结合辅助角公式，简单计算以及判断即可.

【详解】

71

（i）由题意知owe4一,

4

AE”—AE72

.兀„it

sinsin0+sin(6+：

4[4

AFAC

-^AF=

71COS。•

4(27

V2V2V2

S-1V2-------=]_______

⑵⑻2

sin(9+：cos022也sin6+交cos/cos。

22

7

]22

1+cos20-V2+1

-sin20+sin(20+；)+l

22

7T

当且仅当。=可时，取“=”

49.（2021•全国高三专题练习）在AA3c中，a2,c分别为角A,B,C的对边，且bcos-A=c-走a.

2

（1）求角5；

（2）若AABC的面积为26，3c边上的高A"=l，求。，c.

【答案】（1）（2）b=2币，c=2.

0

【解析】

（1）化角为边，化简得。2+.2一。2=后。，再利用余弦定理求角8：

（2）由正弦定理算出J由面积公式算出a,由余弦定理计算〃中即可.

【详解】

解：(1)因为bcosA=，所以(•'-=c-^-a，

22bc2

2222

所以。2+c*一“2=2C-yfiac，即c+a-b=y/3ac-

由余弦定理可得cosB=厂+"i-=且，

2ac2

7T

因为3£（0,万），所以3=—.

6

AHsin-

AHsinZAHB——2=2.

（2）由正弦定理可得”s一

.71

sin—

6

因为AABC的面积为2g，所以gacsinB：=QQ=2^3,解得d—4也•

由余弦定理可得〃=a2+c2-2accosB=48+4—2x2x46x^=28,

2

则b=2"

3兀

50.（2021•湖南高二月考）如图，在平面四边形4四中，ADLCD,ZBAD=一,2AB=S/)=4.

4

（1）求cosNADB；

（2）若除夜，求CD.

【答案】（1）cosZADB=—（2）CD=342

4；

【解析】

（1）△A3。中，利用正弦定理可得sinNAOB，进而得出答案;

（2）△BCD中，利用余弦定理可得co.

【详解】

2，4

ABBD即sin/ADB一屹,解得sinNAD8=3•，故

(1)/XAB。中,

sinNADB-sinNBAD—4

V14

cosZADB=--

4

（2）sinZADB=—=cosACDB

4

△SCO中，MDBW+CD-C）即叵吧上回,

2BDCD424co

化简得（8-3V2）（CD+V2）=O,解得CO=3啦.

51.（2021•山东高三专题练习）在AA6c中，内角A,B,C的对边分别为。，b,c,且

a（sin4-sin3）+Z?sin3=csinC.

（1）求角C；

（2）若c=3,a+Z?=6,求AABC的面积.

【答案】（1）-；（2）见1.

34

【解析】

（1）由正弦定理化角为边，然后由余弦定理可得。角；

（2）利用余弦定理和已知a+Z?=6可求得a力，从而得三角形面积.

【详解】

（1）由正弦定理，得sinA=——,sinB——,sinC———,

2R2R2R

22

又a（sinA-sin3）+匕sin8=csinC,所以a?+/,_c-ab，

由余弦定理，得cosC=d■土Q二：=处，

2ab2ab

故cosC=—.

2

又Ce（O,〃），所以C=（.

（2）由余弦定理，得/+〃—刈=9.

9=a2-^-b2-ab

联立方程组,

a+b=6

ab=9

化简,

。+。=6

。=3

解得《

b=3

所以AABC的面积S=-ahsinC=­.

24

7T

52.（2021•全国高三专题练习）在圆内接四边形A3CO中，BC=4,ZB=2NO,NAC3=一，求"8

12

面积的最大值.

【答案】最大值为6百

【解析】

27r7T乃

因为四边形A5CD是圆内接四边形，求得ZB=—,ZD=-,得到NB4C=一,由正弦定理，求得

334

AC=2«，在八48中，由余弦定理和基本不等式，求得A£hC£>«24,即可求解.

【详解】

因为四边形A3CD是圆内接四边形，可得N5+ND=万，

27r7i

又因为N8=2NO,所以/5=——,/。=一，

33

7127r7C71

在△/WC中，因为NACB=—，可得N84C=乃----------=一，

123124

42

ACBC.BCsmBX2c77

由正弦定理得，所以得AC=.一『=2灰,

sinBsinZBACsinZ-BACy/2

2

在AACD中，由余弦定理得AC2=AD2+CD2-2ADCDcosD，

即24=AD2+CD2-ADCD>2ADCD-ADCD=ADCD，

当且仅当AZ>=CD时，取等号，即AD-COW24,

所以=-ADCDsinD=—ADCD<6y/3<

L^nv-Lf2j

即AACD面积的最大值为6百.

53.(2021•山东枣庄市•高三二模)若/(x)=sin(3X+0)(3>O,O<0<1^的部分图象如图所示,

人。)=”悟卜。•

(1)求/(元)的解析式;

⑵在锐角AABC中’若A>8,/笥靖=|，求cos"并证明sinA>上已.

5

【答案】(1)/(x)=sin(2x+g］；(2)cos上0=当叵，证明见解析.

I6；210

【解析】

(1)由/(O)=g结合。的取值范围可求得9的值，再结合需)=0可求得。的值，进而可得出函数

/(x)的解析式;

(2)求出A—8的取值范围，由已知条件求出sin(A-B)的值，利用同角三角函数的基本关系及二倍角的

降嘉公式可求得cos±0的值，然后利用两角和的正弦公式可证明得出sinA>2叵.

25

【详解】

I1JTJT

(1)ill/(0)=-,得sin°=一,又。＜°＜一,故9=—

2226

5Kn■I5万乃LLI5兀TC-,

由了0,得sinco-----1—=0,所以69。----1---=2Z"+"，keZ,

12I126126

即ty=2H———,keZ,

由勿＞0,结合函数图象可知一•」＞',所以0＜。＜一.

26yl25

又keZ,所以k=1,从而0=12；2=2,因此，/（x）=sin（2x+?

⑵山/(甘培卜in»|,

jr7T4

vO<S<A<-,所以，0<A—8<会故cos(A-B)=g

甘一…『产尹"等

所以，sin上0/1=回

2210

ITA+BA-B71A-B

又A+8>—,故4=-----+------>—+------

22242

又丫=411%在0,g上单调递增，Ae0,7y1j,

2

A-B7iA.—B

所以sinA>sin—+=sin—cos-------

(4242

JT

54.（2021•河北唐山市•高三二模）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,C=§，AB

边上的高为6.

（1）若s△/AUB＞C=26，求△ABC的周长；

21

（2）求*+：的最大值.

ab

【答案】（1）2V10+4：（2）卑.

【解析】

（1）由三角形面积公式可得c=4,a匕=8,结合余弦定理，可得（a+加2=40,即可得AABC的周长;

27

.2sinA|+sinA

（2）由（1）和正弦定理可得，212sinB+sinAJ，转化为三角函数以后利

--1--

ab

27r

用辅助角公式化筒运算，由0<A<——，根据三角函数的性质求解最大值.

3

【详解】

解：（1）依题意S&JBC=；aAinC=；c•百=2百，可得。=4,

7T

因为。=一，所以而=8.由余弦定理得/+62-45=02,

3

因此(a+6)2=。2+3"=40,即a+〃=2jid.

故△ABC的周长为2Jid+4.

（2）由（1）及正弦定理可得,

2sinf--A|+sinA厂

212b+a2b+a2sin£?+sinA

—I——----------(3)_4sin(A+6),(其中。为锐角,

abab2cV3—忑_7F

且tan6=）

2

由题意可知O<A<2工，因此，当人+。=工时，2+_1取得最大值YH.

32ab3

55.（2021•辽宁高三二模）已知在锐角AABC中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,△MC的面

积为S,若45=从+。2-/,。=#.

（1）求A；

（2）若,求△ABC的面积S的大小.

（在①2cos28+cos28=0,②。cosA+acosB=百+1，这两个条件中任选一个，补充在横线上）

【答案】（1）A=f；（2）条件选择见解析；S=的3.

42

【解析】

（1）利用三角形面积公式由45="+。2-〃，得到4'6csinA=〃+c2-a2,再利用余弦定理求解；

2

JT

（2）若选①，由2cos2B+cos25=0，易得8=§,再结合（1）利用正弦定理求得a,再利用三角形面

积公式求解；若选②，由bcosA+acosB=>^+l，利用余弦定理得易得。=6+1，再利用三角形面积

公式求解.

【详解】

(1)因为4s=尸+02一02,

所以4'6csinA=〃+，2一"，即4’5〃csinA

2---------------=--------------

2bc2bc

所以sinA=cosA.故tanA=1,

因为0<A<1，

所以A

4

(2)若选①，因为2cos23+cos25=0,

1

所以cos~9B=—,

4

所以cos3=±，.

2

7T

因为0<3<一,

2

所以8=半

aha—瓜

由正弦定理----=-----，得.兀.兀，

sinAsinBsin—sin—

43

所以a=2.

所以S=LaAsinC='・2-V^・sinn----=3+G

22V43j2

若选②，因为Z?cosA+QCOS5=V3+1,

I/+H—a2a2+(：2_^2

由余弦定理得b--------------+a--------------=J3+1,

2hc2ac

解得c=G+1.

S=g》csinA=g•遥•(G+])・sin：=^^'.

56.（2021•江苏盐城市•高三二模）在①gga；②Q=3COS-③asinC=l这三个条件中任选一个,

补充在下面问题中.若问题中的三角形存在，求该三角形面积的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.

问题：是否存在△A8C,它的内角的对边分别为a,4c,且4118-011（4—。）=6411（7，

c=3?

【答案】答案不唯一，具体见解析.

【解析】

根据三角形内角和为乃及题干条件，结合两角和与差的正弦公式，可求得角4

JT2471

选择①，利用正弦定理可得sinB,根据角6的范围，可求得B=§,或5=y.当B时，求得角C,

2万

即可求得面积，当8=—时，根据正弦定理，求得。，即可求得面积；

3

7T

选择②，根据余弦定理，可求得。=一，即可求得a,b,进而可求得面积；

2

3

选择③，根据正弦定理，可得。5由。=。4114=一，与题干条件矛盾，故不存在.

2

【详解】

解：在△ABC中，B=k（A+C）,

所以sin8=sin[K—（A+C）]=sin（A+C）.

因为sin3-sin（A-C）=V§sinC,

所以sin（A+C）—sin（A-C）=«sinC，

即sinAcosC+cosAsinC-（sinAcosC-cosAsinC）=GsinC,

所以2cosAsinC=V3sinC.

在中，Ce（0,乃），所以sinCHO,

所以cosA=X3.

2

TT

因为Ae（0,不），所以A=".

6

选择①：因为6=百。,由正弦定理得sinB=>/3sinA=>/3sin—=，

因为Be（0,万）,

所以3=工，或8=」，此时△A3C存在.

33

当6=生时，C=%,所以b=ccosA='3，

322

所以AABC的面积为S0BC=gbcsinA=gx¥x3xg=¥.

当8=女时，。=工，所以6="叫=3&,

36sinC

所以△A5C的面积为Sv”=，bcsinA='x3/x3xL=%^.

MBC2224

选择②：因为a=3cosB，

所以a=3x&+9,得/+62=9=。2,

6a

7T

所以。=一，此时△ABC存在.

2

7T

因为A==，

6

所以h=3cos—=^[1.tz=3xsin-=—

6262

所以AABC的面积为SMBC=-ab=—.

MBC28

3

选择③：由a=-----,得。sinC=csinA='，

sinAsinC2

这与asinC=l矛盾，所以AABC不存在.

57.(2021•湖南衡阳市•高三一模)△ABC中，角A,B,。的对边分别为a,b,c,且a,b,c成

等差数列.

71

(1)若A=一,求5；

3

(2)求3的取值范围.

JTTT

【答案】(1)8=—：(2)0<B<-.

33

【解析】

TT27r

(1)由等差数列得26=a+c，由正弦定理化边为角，利用A=9彳？。=彳—8,代入可求得8角：

(2)由余弦定理表示出cosB,代入b=--，用基本不等式得cosB的范围，从而得B角范围.

2

【详解】

(1)a,b,c成等差数列，2Z?=a+c2sinB=sinA+sinC，

当4=2时，2sin8=sin色+sinC,即2sin8=sin—Fsinf-----16>1=cos+—sinB>

333(3)222

—sinB--cosB

222

一£)=1而2万7171717171-n

sin[850<B<m,------<B-------<—，B-------=­，:・B=

2366266

(Q+C)2

a2+c2

（2）由余弦定理及2Z?=Q+C,3C4、11,当a=c时取等号.

cosB=-—--〔-亍--J-+—一少一

2ac8ac)42

7T

结介余弦函数的单调性可知：0<84一.

3

58.(2021•辽宁铁岭市•高三一模)在①sin?A-(sinJS-sinCj=sinBsinC,②』sin=asin8,

葛一）这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.

③asin6=Z?sinA

△ABC的内角A、B、C的对边分别为。、b、c,若缶+匕=2c，求A和C.

TT57r

【答案】选择见解析，A=上，C=—.

312

【解析】

选择条件①，利用正弦定理结合余弦定理求出cosA的值，结合角A的取值范围可求得A的值，由正弦定

理结合条件&a+b=2c可得出05皿4+$山3=25山。，由三角形的内角和定理以及三角恒等变换思想

（万、1

求出sinC--由角C的取值范围可求得结果；

、6）2

A

选择条件②，利用诱导公式、正弦定理以及三角恒等变换思想求出sin—的值，结合角A的取值范围可求得

2

角A的值，由正弦定理结合条件、&+b=2c可得出、/乞sinA+sinB=2sinC,由三角形的内角和定理

以及三角恒等变换思想求出Sin（c-看）=g,由角C的取值范围可求得结果;

选择条件③，由正弦定理以及两角差的正弦公式可求得tanA的值，结合角A的取值范围可求得角A的值,

由正弦定理结合条件及a+b=2c可得出应sinA+sinB=2sinC,由三角形的内角和定理以及三角恒等

变换思想求出sin(c-乡］=1,由角c的取值范围可求得结果.

【详解】

(1)选择条件①，由sin2A-(sin8-sinC)~=sin8sinC及正弦定理知/一(人一c)?-be,

生1

一

一

改一

整理得，6+,2-4=历，由余弦定理可得cosA一2-

又因为Ae(O,%),所以A=q,

又由V5a+》=2c，得V5sinA+sin3=2sinC，

由3=二一。，得血sin工+sin--Cj=2sinC,

33

即逆+^^cosC+LinC=2sinC，即3sinC-&cosC="，即2Gsin[C—%■j=&，整理得,

222

sinfc--'也

I6J2

因为Ce(0，¥),所以从而C_£=工，解得C=2；

V3/o\o2J6412

选择条件②，因为A+3+C=〃，所以生£=工一4,

222

由bsin'+°=asinB得bcos—=6rsinB,

22

A.AA

由正弦定理知，sin3cos—=sinAsinB-2sin—cos—sinB,

222

万)，4e(0,»),可得

AA1A-rrJT

所以，sinB>0,cos—>0,可得sin7=1,所以，一=一,故从=一.

222263

以下过程同(1)解答；

选择条件③，山asin8=bsin1与一A),

及正弦定理知，sinAsinB=sin8sin(g—A),乃)，则sinB>0,

从而sinA=sin(2^—避■cosA+'sinA,则sinA=GcosA，解得tanA=G，

I3J22

又因为Ae(O,〃)，所以A=?,以下过程同(1)解答.

59.(2021•山东烟台市•高三一模)将函数/(x)=sinx+gcosx图象上所有点向右平移弓个单位长度,

然后横坐标缩短为原来的;(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象.

(1)求函数g(x)的解析式及单调递增区间；

(2)在AABC中，内角4,民0的对边分别为。泊,0,若sin(£—31cos(乡!,

c=g^j^,b=2\f3,

求AABC的面积.

【答案】⑴g(x)=2sin(2x+V),单调递增区间为：—%暇+br(左eZ)；(2)乒叵或

2近.

【解析】

/兀\-rr

(1)由题可得g(x)=2sin2x+”,令一一+2版■<2x+—W—+2版■即可解得单调递增区间;

I262

(2)由题可得c=2,B=作TT或8=1一T，由余弦定理可求得。，即可求出面积.

62

【详解】

(1)/(x)=sinx+6cosx=2sin[x+?),

/(x)图象向右平移弓个单位长度得到y=2sin^x+|j的图象，

横坐标缩短为原来的g(纵坐标不变)得到y=2sin[x+看)图象，

所以g(x)=2sin(2x+?),

TTTT7TTTTT

令---\-2k7i<2x-\——<——,解得----vk7r<x<——vk7i，

26236

jrjr

所以g（尤）的单调递增区间为：—§+丘,至+攵乃（女eZ）

（2）由（1）知，c=g（?）=2,

因为sin-5）cos（看+3）=cos2（看+8）=；,所以cos[看+3）=±g

又因为3£（0,"），所以8+丁=（二，一二],

6166）

当cos（工+/?]=1时，B+—=—,B=—,

16J2636

此时由余弦定理可知，4+少—2X2XQCOS—=12,解得Q=J^+JTT，

6

所以LBC=g*2x（6+VTTjxsin%=，

当cos（工+B]=_L时，B+—=—,B=—,

16J2632

此时由勾股定理可得，a=712^4=2V2，

所以“AK=gx2x2夜=2夜・

60.(2021•广东汕头市•高三一模)在AABC中，角A8,C的对边分别为a,dc,已知:

b=>/5,c=yfl,ZB=45°.

(1)求边8c的长和三角形ABC的面积；

4

(2)在边3c上取一点。，使得cos?AOB求tanNZMC的值.

32

【答案】（1）8C=3；；（2）—.

S"MC2=—H

【解析】

（1）法r△A6C中，由余弦定理求8C的长，应用三角形面积公式求ABC的面积；法二：过A作出高

交BC于F，在所得直角三角形中应用勾股定理求BK歹。，即可求BC,由三角形面积公式求ABC的面

积；

（2）由正弦定理、三角形的性质、同角三角函数的关系，法一：求sinC、cosC>sinZADB.cosZADB,

由sinNZMC=sin（NAT>3—NC）结合两角差正弦公式求值即可；法二：求tanC、tanNADB，再由

tanND4C=tan（1-（NADC+NC））结合两角和正切公式求值即可；法三：由（1）法二所作的高，直角

△说中求sinNAZW,进而求sinNAOC，再根据正弦定理及同角三角函数关系求值即可.

【详解】

（1）法一：在AABC中，由。=括,。=后,/3=45°,

日

由余弦定理，b2a2+c2-2tzccosB，得5=2+/-2xJ,解得a=3或a=-l（舍），

2

所以BC=a=3,SARC=—<2csinB=—-3->/2--.

2222

法二：（1）过点A作出高交BC于b，即“AB/为等腰直角三角形，

QAB=O,AF=BF=1，同理△A尸。为直角三角形,

AF=l,AC=y/5,

13

:.FC=2,故5c=5E+EC=3,S△ADBVC=-2\，BC\-\AF，|=-2.

b即1_=XL,得sinC=且，又b=gc=应,

（2）在△ABC中，由正弦定理

sinBsinCsin45°sinC5

所以NC为锐角,

法一：由上，cosC=Vl-sin2C=^.由cos?AO6|（NAD8为锐角），得

sinZADB=yj\-cos2ZADB3

5

sinNDAC=sin(ZAD3-NC)=sinNA£)8.cos/C-cosNAOB.sinZC

555525

由图可知：ND4C为锐角，则cosNOAC=Jl—sin?NDAC=,所以

25

sinZDAC2

tanZDAC=

cosZ.DAC11

143

法.：由上，tanC=—，illcos?ADB—(NAD5为锐角)，得tan/AO8=—»

254

・；/ADB+NADC=7T

3

/.tanZADC=——，故

4

tan(ZADC)+tan(ZC)

tanZDAC=tan(〃-(ZADC+ZC))=-tan(ZADC+ZC)=-

l-tan(ZADC).tan(ZC)

4

法三：△ATO为直角三角形，且|A尸|二l,cos/A£>5=不，

3

所以sinNADB=ylI-cos2ZADB

5

AF5423

AD=---------^-,DF=ADcosZADB=-,CD=—,sinZADC=-

sinNADB3335

CDAC275

在AA£>C中，由正弦定理得,，故sin"AC

sinNDACsinZADC

sinZDAC2

由图可知ND4C为锐角，McosZDAC=Vl-sin2ZDAC=.所以tanZDAC=

25cosZDAC11