第十三章轴对称章节复习（教学设计）2022-2023学年八年级数学上册（人教版）

第十三章轴对称教学设计一、教学目标：1.总结本章所学的轴对称、轴对称变换、等腰三角形的性质和判定等知识；2.培养学生用轴对称的观点认识线段的垂直平分线、角的平分线、等腰三角形等几何图形；3.归纳总结本章学习过程中用到的数学思想方法，培养分析问题的能力.二、教学重、难点：重点：将所学知识有机地组织起来，形成科学合理的知识结构，并能综合运用.难点：通过归纳总结解题思想和方法，形成分析问题解决问题的能力.三、教学过程：知识网络知识梳理一、轴对称相关定义和性质如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.这时，我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称.像这样，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.图形轴对称的性质:如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.如下图中，l垂直平分AA′，l垂直平分BB′.二、垂直平分线的定义、性质、判定垂直平分线的定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.l⊥AB，垂足为O，且AO=BO，则l是线段AB的垂直平分线.线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.几何符号语言：∵PC⊥AB，PC平分AB∴PA=PB线段的垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.几何符号语言：∵PA=PB∴点P在AB的垂直平分线上三、用坐标表示轴对称在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标_____，纵坐标___________；关于y轴对称的点横坐标___________，纵坐标_____.点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(___，___)点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(___，___)四、等腰三角形的性质及判定性质1:等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”)等腰三角形判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”).五、等边三角形的性质及判定等边三角形的性质：1.等边三角形的三边相等.2.等边三角形的三个内角都相等，并每一个角都等于60°.3.等边三角形的三条高线，三条中线，三条角平分线，分别互相重合.4.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.等边三角形的判定方法：1.三边相等的三角形是等边三角形.2.三个角都相等的三角形是等边三角形.3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.六、含30°角的直角三角形的性质含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.七、最短路径问题在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择.考点梳理考点解析考点1：轴对称及轴对称图形例1.在下列各电视台的台标图案中(不考虑颜色)，是轴对称图形的是()答案：B例2.将一张正方形纸片按如图①，图②所示的方向对折，然后沿图③中的虚线剪裁得到图④，将图④的纸片展开铺平，再得到的图案是()答案：B例3.如图，把一张长方形纸片ABCD（AD//BC）沿EF折叠后，点D，C分别落在点D'，C'的位置上，ED'交BC于点G，若解：∵AD//∴∠DEF又∠DEF∴∠1=180°-2∠DEF∵AD//∴∠2=180°-∠1=180°-60°=120°．【迁移应用】【11】“羊”字象征着美好和吉祥，下图都与“羊”字有关，其中是轴对称图形的个数是()A.1B.2C.3D.4答案：B【12】如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A'处,折痕为CD，则∠A'DB的度数为______.答案：10°【13】将长方形ABCD沿AE折叠，得如图所示的图形，已知∠CED'=72°，则A．36° B．54° C．62° D．72°答案：B考点2：关于坐标轴对称的点的坐标例4.已知点A(2a－b，5＋a)，B(2b－1，－a＋b)．(1)若点A、B关于x轴对称，求a、b的值；(2)若A、B关于y轴对称，求(4a＋b)2016的值．解：(1)∵点A、B关于x轴对称，∴2a－b＝2b－1，5＋a－a＋b＝0，解得a＝－8，b＝－5；(2)∵A、B关于y轴对称，∴2a－b＋2b－1＝0，5＋a＝－a＋b，解得a＝－1，b＝3，∴(4a＋b)2016＝1.例5.如图，在直角坐标系中，A(0，5)，B(2,0)，C(3，3).(1)在直角坐标系中作出△ABC关于x轴对称的△A'B'C',并相应写出△A'B'C'三个顶点的坐标;(2)将△A'B'C'沿x轴方向向右平移3个单位后得到△A"B"C",并相应写出△A"B"C"三个顶点的坐标.解:(1)如图，△A'B'C'为所求，A'(O,5),B'(2,0)，C'(3，3);(2)如图，△A"B"C"为所求,A"(3,5)，B"(1,0)，C"(0,3).【迁移应用】【21】已知点P(3,1)关于y轴的对称点Q的坐标是(a+b,1b)，则ab的值为_____.答案：25【22】如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环反复的轴对称变换，若原来点A坐标是(a,b)，则经过第2022次变换后所得的A点坐标是__________.答案：(a,b)【23】平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（0,4），B（2,4），C（3，－1）.（1）试在平面直角坐标系中，标出A、B、C三点；（2）若△ABC与△A'B'C'关于x轴对称，画出△A'B'C'，并写出A'、B'、C'的坐标.解：如图所示：考点3：线段垂直平分线的性质和判定例6.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.证明：(1)∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECF.∵E是CD的中点，∴DE＝EC.又∵∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△FCE，∴FC＝AD.(2)∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF.∵BE⊥AE，∴BE是线段AF的垂直平分线，∴AB＝BF＝BC＋CF.∵AD＝CF，∴AB＝BC＋AD.例7.如图，D为△ABC外一点，DG为BC的垂直平分线，分别过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E(1)求证：AD为∠CAB(2)探究AB，AC，AE之间的数量关系并给出证明证明：连接CD，BD，如图所示：∵DG为BC的垂直平分线，∴CD=∴∠DEB=∠DFC=90°，在Rt△DEB和Rt△DFC中，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），∴（2）解：AB+AC=2AE，理由如下：∵Rt△AFD∴AB-AE=AF【迁移应用】【31】如图，△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB，若AC＝12，EC＝5，且△ACE的周长为30，则BE的长为（

）A．5 B．10 C．12 D．13答案：C【32】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠C＝7∠BAE，则∠C的度数为（）A．41° B．42° C．43° D．44°答案：B【33】如图，∠BAC的角平分线AD与线段BC的垂直平分线DG交于点D，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足交AB的延长线于点E，交AC于点F，若AE=10cm，BC=12cmA．32 B．34 C．22 D．16答案：A考点4：等腰三角形的性质和判定例8.如图，点D在AC上，点E在AB上，且AB=AC，BC=BD，AD=DE=BE,求∠A的度数.

解:设∠A=x,∵AD=DE=BE∴∠DEA=∠A=x，∠EBD=∠EDB∵∠DEA=∠EBD+∠EDB∴∠EBD=∠EDB=0.5x∴∠BDC=∠A+∠ABD=x+0.5x=1.5x∵BC=BD，AB=AC∴∠BDC=∠BCD=∠ABC=1.5x在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°即x+1.5x+1.5x=180°解得x=45°，即∠A=45°例9.如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，延长BA至F使AF=AB，连接EF；延长CA至G使AG=AC，连接解：BD=CE．理由：∵AF=AB，AG=AC∴BF=CG，∵AB=AC，∴∠B=∠C∴BE-DE例10.如图，点E在△ABC的AC边的延长线上，点D在AB边上，DE交BC于点F,DF=EF，BD=CE.求证:△ABC是等腰三角形.证明:如图，过点D作DG//AE交BC于点G.∴∠GDF=∠CEF，在△GDF和△CEF中，∴△GDF≌△CEF(ASA)∴GD=CE又∵BD=CE∴BD=DG∴∠DBG=∠DGB∵DG//AC∴∠DGB=∠ACB∴∠ABC=∠ACB∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形【迁移应用】【41】等腰三角形的一个角等于20°,则另外两个内角分别为()A.20°、140°B.20°、140°或80°、80°C.80°、80°D.20°、80°答案：B【42】如图(4)，是一钢架，∠AOB=10°,为使钢架更加坚固，需在内部添加一些钢管EF、FM、MH……添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管_____根.答案：8【43】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且D是BC的中点，DE⊥AB,DF⊥AC，垂足分别是E、F.求证:△ABC是等腰三角形.证明:AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC∴DE=DF∵D是BC的中点∴BD=CD在Rt△BDE和Rt△CDF中∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)∴∠B=∠C∴AB=AC即△ABC是等腰三角形.【44】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，交AB于点M(1)若∠FCM=18°，则∠BGC(2)若点G是BD的中点，判断CF与DE的数量关系，并说明理由．（1）解：∵∠ACB=90°，AC=BC，CG平分∠ACB，∴∠CAF=∠CBA=45°，∠BCG=∠ACG=45°，∴∠BCG=∠CAF=45°，∵∠FCM∴∠ACF=∠ACM∠FCM=45°18°=27°，∴∠CBG=∠ACF=27°，∴∠BGC=180°∠BCG∠CBG=180°45°27°=108°，2）解：CF=2DE，理由：连接AG，∵∠CBG=∠ACF，AC=BC，∠BCG=∠CAF，∴△BCG≌△CAF(ASA)，∴BG=CF，∵CG平分∠ACB，AC=BC，∴CM⊥AB，∵AD⊥AB，∴AD∥CG，∴∠D=∠EGC，∵∠AED=∠CEG，∠D=∠EGC，AE=CE，∴△ADE≌△CGE(AAS)，∴DE=GE，即DG=2DE，又∵点G是BD的中点，∴DG=BG，∴CF=2DE．考点5：等边三角形的性质和判定例11.△ABC为正三角形，点M是BC边上任意一点，点N是CA边上任意一点，且BM＝CN，BN与AM相交于Q点，∠BQM等于多少度？解：∵△ABC为正三角形，∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC.又∵BM＝CN，∴△AMB≌△BNC(SAS)，∴∠BAM＝∠CBN，∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°.例12.等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论．解：△APQ为等边三角形．证明如下：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC.∵BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ，∴△ABP≌△ACQ(SAS)，∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°∴△APQ是等边三角形．例13.图①、图②中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形(1)如图①，线段AN与线段BM是否相等？请说明理由；(2)如图②，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论．解：(1)AN＝BM.理由：∵△ACM与△CBN都是等边三角形，∴AC＝MC，CN＝CB，∠ACM＝∠BCN＝60°.∴∠ACN＝∠MCB.∴△ACN≌△MCB(SAS)．∴AN＝BM.(2)△CEF是等边三角形．证明：∵∠ACE＝∠FCM=60°，∴∠ECF=60°.∵△ACN≌△MCB，∴∠CAE＝∠CMB.∵AC＝MC，∴△ACE≌△MCF(ASA)，∴CE＝CF.∴△CEF是等边三角形．【迁移应用】【51】如图，等边三角形ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B′处，DB′，EB′分别交AC于点F，G，若∠ADF=80°，则∠EGC的度数为______.答案：80°【52】如图，等边△ABC中，D、E、F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF．求证：△DEF是等边三角形．证明：∵△ABC为等边三角形，且AD=BE=CF∴AF=BD=CE，∠A=∠B=∠C=60°，∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），∴DF=ED=EF，∴△DEF是等边三角形．【53】如图，△ABC是等边三角形，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，OM∥AB，ON∥AC.求证:BM=MN=CN.证明:∵△ABC是等边三角形∴∠ABC=60°又∵OB平分∠ABC∴∠1=∠2=30°又∵OM//AB∴∠1=∠3∴∠2=∠3=30°∴BM=OM,∠OMN=60°同理CN=ON,∠ONM=60°∴∠OMN=∠ONM=∠MON=60°∴OM=ON=MN∴BM=MN=CN考点6：含30°角的直角三角形的性质例14.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F．求证:BF=2CF.证明:连接AF.∵EF是AC的垂直平分线∴AF=CF∴∠C=∠FAC∵AB=AC，∠BAC=120°∴∠B=∠C=∠FAC=30°∴∠BAF=120°30°=90°∴BF=2AF∴BF=2CF例15.如图，等边△ABC的边长为8，D为AB边上一动点，过点D作DE⊥BC于点E，过点E作EF⊥AC于点F.(1)若AD=2，求AF的长;(2)当AD取何值时，DE=EF?解:(1)△ABC为等边三角形∴AB=AC=BC=8，∠B=∠C=60°∵AD=2∴BD=ABAD=6在Rt△BDE中，∠BDE=90°∠B=30°∴BE=12BD∴CE=BCBE=5在Rt△CFE中，∠CEF=90°∠C=30°∴CF=12CE=∴AF=ACFC=11解:(2)在△BDE和△CEF中，∴△BDE≌△CEF(AAS)∴BE=CF∵∠CEF=30°∴BE=CF=12∴BE=13BC=83∴BD=2BE∴AD=ABBD=8163=∴当AD=83时，DE=例16.已知，如图，△ABC为等边三角形，点E在AC边上，点D在BC边上，并且AE＝CD，AD和BE相交于点M，BN⊥AD于N．(1)求证：BE＝AD；(2)求∠BMN的度数；(3)若MN＝3cm，ME＝1cm，则AD＝cm．(1)证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°．在△ABE和△CAD中，∴△ABE≌△CAD（SAS），∴BE＝AD；（2）解：由（1）得：△ABE≌△CAD，∴∠ABE＝∠CAD．∵∠BAD+∠CAD＝60°，∴∠BAD+∠ABE＝60°．∴∠BMN＝∠ABE+∠BAD＝60°；（3）解：∵△ABE≌△CAD，∴BE＝AD，∵BN⊥AD，∴∠BNM＝90°，∴∠MBN＝90°﹣∠BMN＝30°，∵MN＝3cm，ME＝1cm，∴BM＝2MN＝6（cm），∴AD＝BE＝BM+ME＝6+1＝7（cm）．【迁移应用】【61】如图(3)，∠BAC=30°，AM是∠BAC的平分线，过点M作ME∥BA交AC于点E，作MD⊥BA，垂足为D，ME=10cm，则MD=_____cm.【62】将一副三角尺按如图(4)所示方式叠放在一起,若AB=16cm，则阴影部分的面积是_____cm2.答案：5；32【63】如图，点D在线段BC上，连接AD，BD=CD，CA⊥AD，∠1=30°，AB=4，求AC的长．解：过B作BM⊥AD，交AD的延长线于点M，如图，∵BM⊥AD，CA⊥AD，∴∠DAC=∠DMB=90°，∵BD=DC，∠BDM=∠CDA，∴△BDM≌△CDA，∴AC=BM，∵在Rt△ABM中，∠1=30°，AB=4，∴BM=12AB=2∴AC=2，【64】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC=60°，∠BAC的平分线AM长为15cm，求BC的长.解:在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°∴∠B=30°∵AM平分∠BAC∴∠CAM=∠BAM=30°∴∠B=∠BAM∴AM=BM=15cm在Rt△ACM中，∠C=90°，∠CAM=30°∴CM=12AM=7.5∴BC=CM+BM=7.5+15=22.5(cm)考点7：最短路径问题例17.如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5,点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（）A．7.5B．5C．4D．不能确定解析：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点C关于直线AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可转化为求CF+EF的最小值，故连接CE即可，线段CE的长即为BF+EF的最小值.例18.如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是（）A．（0，3）B．（0，2）C．（0，1）D．（0，0）解析：作B点关于y轴对称点B′，连接AB′，交y轴于点C′，此时