浙江省培优联盟2023-2024学年高一下学期5月期中联考数学试题

浙江培优联盟2024年5月联考高一数学试题卷浙江培优联盟研究院注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．考试内容：人教A版必修第一册至必修第二册第8章。一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，，则（）A． B． C． D．2．已知复数满足，则的虚部是（）A． B． C．2 D．3．已知角的终边经过点，则（）A． B． C． D．14．正方体的平面展开图如图所示，，，，为四条对角线，则在正方体中，这四条对角线所在直线互相垂直的有（）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对5．在中，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知函数则函数的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．47．已知函数在上有最大值，则的取值范围是（）A． B． C． D．8．《九章算术》是我国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中非常重要的一部．在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知“堑堵”的所有顶点都在球的球面上，且．若球的表面积为，则这个三棱柱的表面积是（）A． B． C． D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．如图，在正方体中，为正方形的中心，当点在线段（不包含端点）上运动时，下列直线中一定与直线异面的是（）A． B． C． D．10．已知函数，则（）A． B．在上只有1个零点C．在上单调递增 D．直线为图象的一条对称轴11．如图，设，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系．在的斜坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：设，是分别与轴，轴正方向相同的单位向量，若，则记．下列结论正确的是（）A．设，，若，则B．设，，若，则C．设，则D．设，，若与的夹角为，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知复数，，则在复平面内对应的点位于第________象限．13．已知函数，若，则________．14．如图，点是棱长为1的正方体表面上的一个动点，直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．（1）求当时，的解析式；（2）求在上的值域．16．（15分）如图，在矩形中，，，点为边的中点，点在边上．（1）若点为线段上靠近的三等分点，求的值；（2）求的取值范围．17．（15分）已知的内角，，的对边分别为，，，且．（1）求的值；（2）若，且是锐角三角形，求面积的最大值．18．（17分）如图，正方体的棱长为1，，分别为，的中点．（1）证明：平面．（2）求异面直线与所成角的大小．（3）求直线与平面所成角的正切值．19．（17分）当且时，对一切，恒成立．学生小刚在研究对数运算时，发现有这么一个等式，带着好奇，他进一步对进行深入研究．（1）若正数，满足，当时，求的值；（2）除整数对，请再举出一个整数对满足；（3）证明：当时，只有一对正整数对使得等式成立．浙江培优联盟2024年5月联考高一数学参考答案一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的12345678CCABBCBC1．解：，选C．2．解：由题意得，选C．3．解：由题意知，选A．4．解：将展开图合成一个正方体，易知与垂直，与垂直，故有2对，选B．5．解：因为，所以，又，所以，或，故选B．6．解：的零点个数转化为和函数的图象交点个数，它们的函数图象如图所示，故选C．7．解：，令，，，．因为，，要使存在最大值，只需，即，所以，选B．8．解：设，的中点分别为，，连接，取的中点．因为三棱柱的底面是直角三角形，，所以，，，，分别是，的外接圆圆心．连接，因为平面，所以平面，所以为的外接球的球心．连接，因为球的表面积为，所以球的半径为1，即，所以，所以，选C．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．91011ABCABDBD9．解：如图，由题意易知在平面上，结合答案图分析，易知选ABC．10．解：，故A正确；当时，，则在上只有1个零点，故B正确；当时，，不能保证单调递增，故C错误；当时，，故D正确．11．解：若，则，，故A错误；若，则，故B正确；，，故C错误；，即，解得，所以，故D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．二解：，所以在复平面内对应的点为，在第二象限．13．6解：令，显然可得为奇函数，则，所以，所以．14．解：因为直线与平面所成的角为，所以点的轨迹在以为顶点，底面圆的半径为，高为1的圆雉的侧面上，又因为点是正方体表面上的一个动点，所以点的轨迹如图所示，则点的轨迹长为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解：（1）∵当时，，∴当时，，，…………2分∴．…………5分（2）∵当时，单调递增，∴．……7分由奇函数性质可得，当时，．………………9分又，……………………11分∴在上的值域为．…………13分16．解：（1）∵，………………2分，…………4分∴．…………7分（2）设，…………9分∴，…………11分∴，…………13分∴．…………15分17．解：（1）∵，即，………………2分∴，即或．…………6分（写出一个给2分）（2）∵是锐角三角形，∴，，…………7分则，…………9分又，∴，当且仅当时，等号成立．………………12分∵，∴．…………15分18．（1）证明：连接交于点，∵，分别为，的中点，∴．…………2分∵平面，且平面，∴平面．…………4分（2）解：∵且，∴与所成角的大小等于．…………6分∵，∴，即与所成角的大小为．………………8分（3）解：连接，过作于点．∵平面，且平面，∴，又且，∴平面．…………10分∵平面，∴，又，且，∴平面，…………13分∴直线与平面所成角的大小等于．………………15分∵正方体的边长为1，∴，，∴．…………17分19．（1）解：∵，∴，即，∴．…………4分（2）解：．……