高中数学选修2-2课时作业：§1.2 几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式

人教版高中数学选修2-2PAGEPAGE1§1.2导数的计算第1课时几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式一、选择题1．下列各式中正确的个数是()①(x7)′＝7x6；②(x－1)′＝x－2；③eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))′＝－eq\f(1,2)x－eq\f(3,2)；④(eq\r(5,x2))′＝eq\f(2,5)x－eq\f(3,5)；⑤(cosx)′＝－sinx；⑥(cos2)′＝－sin2.A．3B．4C．5D．6考点常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数题点常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数[答案]B[解析]∵②(x－1)′＝－x－2；⑥(cos2)′＝0.∴②⑥不正确，故选B.2．已知函数f(x)＝xa，若f′(－1)＝－4，则a的值等于()A．4 B．－4C．5 D．－5考点常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数题点常数、幂函数的导数[答案]A[解析]∵f′(x)＝axa－1，f′(－1)＝a(－1)a－1＝－4，∴a＝4.3．质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s＝eq\r(5,t)，则质点在t＝4时的速度为()A.eq\f(1,2\r(5,23)) B.eq\f(1,10\r(5,23))C.eq\f(2,5)eq\r(5,23) D.eq\f(1,10)eq\r(5,23)考点常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数题点常数、幂函数的导数[答案]B[解析]∵s′＝eq\f(1,5)t－eq\f(4,5).∴当t＝4时，s′＝eq\f(1,5)·eq\f(1,\r(5,44))＝eq\f(1,10\r(5,23)).4．正弦曲线y＝sinx上切线的斜率等于eq\f(1,2)的点为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(\r(3),2)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，－\f(\r(3),2)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(\r(3),2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,3)，\f(\r(3),2)))(k∈Z)D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,3)，\f(\r(3),2)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,3)，－\f(\r(3),2)))(k∈Z)考点导数公式的综合应用题点导数公式的综合应用[答案]D[解析]设斜率等于eq\f(1,2)的切线与曲线的切点为P(x0，y0)，∵＝cosx0＝eq\f(1,2)，∴x0＝2kπ＋eq\f(π,3)或2kπ－eq\f(π,3)，∴y0＝eq\f(\r(3),2)或－eq\f(\r(3),2).5．直线y＝eq\f(1,2)x＋b是曲线y＝lnx(x>0)的一条切线，则实数b的值为()A．2 B．ln2＋1C．ln2－1 D．ln2考点导数公式的综合应用题点导数公式的综合应用[答案]C[解析]∵y＝lnx的导数y′＝eq\f(1,x)，∴令eq\f(1,x)＝eq\f(1,2)，得x＝2，∴切点坐标为(2，ln2)．代入直线y＝eq\f(1,2)x＋b，得b＝ln2－1.6．下列曲线的所有切线中，存在无数对互相垂直的切线的曲线是()A．f(x)＝ex B．f(x)＝x3C．f(x)＝lnx D．f(x)＝sinx考点导数公式的综合应用题点导数公式的综合应用[答案]D[解析]若直线垂直且斜率存在，则其斜率之积为－1.因为A项中，(ex)′＝ex>0，B项中，(x3)′＝3x2≥0，C项中，x>0，即(lnx)′＝eq\f(1,x)>0，所以不会使切线斜率之积为－1，故选D.7．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn的值为()A.eq\f(1,n) B.eq\f(1,n＋1)C.eq\f(n,n＋1) D．1考点导数公式的综合应用题点导数公式的综合应用[答案]B[解析]对y＝xn＋1(n∈N*)求导得y′＝(n＋1)·xn.令x＝1，得在点(1,1)处的切线的斜率k＝n＋1，∴在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(xn－1)．令y＝0，得xn＝eq\f(n,n＋1)，∴x1·x2·…·xn＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)×…×eq\f(n－1,n)×eq\f(n,n＋1)＝eq\f(1,n＋1)，故选B.二、填空题8．若曲线y＝在点(a，)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝.考点几个常用函数的导数题点几个常用函数导数的应用[答案]64[解析]∵y＝，∴y′＝－eq\f(1,2)，∴曲线在点(a，)处的切线斜率k＝－eq\f(1,2)，∴切线方程为y－＝－eq\f(1,2)(x－a)．令x＝0，得y＝eq\f(3,2)；令y＝0，得x＝3a，∴该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝eq\f(1,2)·3a·eq\f(3,2)＝eq\f(9,4)＝18，∴a＝64.9．设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝eq\f(1,x)(x>0)在点P处的切线垂直，则点P的坐标为．考点导数公式的综合应用题点导数公式的综合应用[答案](1,1)[解析]y＝ex的导数为y′＝ex，曲线y＝ex在点(0,1)处的切线的斜率为k1＝e0＝1.设P(m，n)，y＝eq\f(1,x)(x>0)的导数为y′＝－eq\f(1,x2)(x>0)，曲线y＝eq\f(1,x)(x>0)在点P处的切线的斜率为k2＝－eq\f(1,m2)(m>0)．因为两切线垂直，所以k1k2＝－1，所以m＝1，n＝1，则点P的坐标为(1,1)．10．若曲线y＝eq\r(x)在点P(a，eq\r(a))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是．考点导数公式的综合应用题点导数公式的综合应用[答案]4[解析]∵y′＝eq\f(1,2\r(x))，∴切线方程为y－eq\r(a)＝eq\f(1,2\r(a))(x－a)，令x＝0，得y＝eq\f(\r(a),2)，令y＝0，得x＝－a，由题意知eq\f(1,2)·eq\f(\r(a),2)·a＝2，∴a＝4.11．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2017(x)＝.考点正弦、余弦函数的导数题点正弦、余弦函数的运算法则[答案]cosx[解析]由已知f1(x)＝cosx，f2(x)＝－sinx，f3(x)＝－cosx，f4(x)＝sinx，f5(x)＝cosx，…依次类推可得，f2017(x)＝f1(x)＝cosx.12．设正弦曲线y＝sinx上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角α的取值范围是．考点导数公式的综合应用题点导数公式的综合应用[答案]eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))[解析]∵(sinx)′＝cosx，∴kl＝cosx，∴－1≤kl≤1，∴α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)).三、解答题13．点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．考点导数公式的综合应用题点导数公式的综合应用解如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近．则曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y′＝(ex)′＝ex，所以＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．利用点到直线的距离公式得最小距离为eq\f(\r(2),2).四、探究与拓展14．函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，aeq\o\al(2,k))处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*，若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是．考点导数公式的综合应用题点导数公式的综合应用[答案]21[解析]∵y′＝2x，∴y＝x2(x>0)的图象在点(ak，aeq\o\al(2,k))处的切线方程为y－aeq\o\al(2,k)＝2ak(x－ak)．又该切线与x轴的交点坐标为(ak＋1,0)，∴ak＋1＝eq\f(1,2)ak，即数列{ak}是首项为a1＝16，公比为q＝eq\f(1,2)的等比数列，∴a3＝4，a5＝1，∴a1＋a3＋a5＝21.15．考点导数公式的综合应用题点导数公式的综合应用证明设P(x0，y0)为双曲线xy＝a2上任一点．∵y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,x)))′＝－eq