专练16（30题）（四边形综合题）2022中考数学考点必杀500题（吉林专用）（原卷版）

2022中考考点必杀500题

专练16（四边形综合题）（30道）

1.（2022•吉林长春•一模）在矩形A8CO中，BC=6CD,点E、尸分别是边A。、BC上

的动点，且=连接EF,将矩形A8C。沿EF折叠，点C落在点G处，点O落在点H

处.

（1）如图1,当£77与线段8c交于点尸时，求证：PE=PF;

（2）如图2,当点P在线段C8的延长线上时，连结AC交所于点0,连结OP.求证：OPVEF.

⑶当8c=66时，在点E由点A移动到A£＞中点的过程中，直接写出点G运动的路线长.

2.（2022•吉林长春•一模）如图，在RtAABC中，NC=90。，AC=8,8c=6.动点尸从

点A出发，沿AB以每秒4个单位长度的速度向终点B运动，当点P不与点A、8重合时，

过点户作PDLA5交折线4C-C8于点£）,取AB的中点F,设点户的运动时间为r秒.

⑴线段45=.

（2）直接写出线段PF的长，（用含f的代数式表示）

⑶当直线PZ）将A45C分成的两部分能拼成一个新的三角形（不重叠）时，求「的值.

⑷取/＞£＞的中点E,作直线EP,当直线E尸垂直于AABC一边时，求r的值.

3.（2022•吉林•东北师大附中明珠学校一模）

图①图②图③

【问题原型】如图①，在酎8c中，CD是48边的中线，CD=；A8,求证：ZACB=90°.

【结论应用】如图②，a48c中，点。是N8的中点，将mC。沿C。翻折得到0/TC。，连结

A'B.求证：A'BSCD.

【应用拓展】如图③，在EL4灰刀中，加＜90。,点E是边N8的中点，将a4OE沿OE翻折得

到2TDE,连结84并延长，交CD于点F.若AB=S,AD=3,SaABCD=12,则A'F的长.

4.（2022•吉林省第二实验学校一模）如图①，AABC中，AB=AC=5,8c=8,点£）在边

BC上（不与8、C重合），连结AO,设B£）=x.

（1）tanZ-B=.

（2）当△ABD是直角三角形时，求x的值.

⑶当是轴对称图形时，求乩⑺的面积.

⑷如图②，设点8关于直线AO的对称点是B',连结A8',当NC43'=90。时，写出x的值.

5.（2022・吉林长春•一模）数学兴趣小组在学习平行四边形的性质后，开始进一步的探索.他

们将平行四边形沿着它的一条对角线翻折，发现其中还有很多结论：如图①，在平行四边

形中，AB力BC,将AABC沿/C翻折至VABC,连接8'。.

⑴【发现与证明】发现如18'C与平行四边形重叠部分的图形始终是；

A.等腰三角形；B.等边三角形；C.直角三角形

(2)【应用与探究】求证：B'D//AC.

如图②，在平行四边形ABCD中，已知ZB=30°,将AABC沿/C翻折至V48C,连接B'D.若

48=6，ZAB'D=75。,则NACB=°,BC=.

6.(2022•吉林长春•一模)已知，四边形488是边长为4的正方形，点E在射线AO上运

动，连结8E,在射线下方作以BE为边的矩形8EFG,且W=5.

图②

⑴如图①，当点E与点。重合，则的长为.

(2)如图②，当点E在线段AO上，且叱=1时、求点尸到直线A〃的距离.

⑶当点F或点G落在正方形ABC。的边所在的直线上时，求矩形8EFG的面积.

7.(2022•吉林长春•一模)综合与实践

折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的

过程还蕴含着丰富的数学知识.

折一折：把边长为2的正方形纸片A3CD对折，使边AB与C。重合，展开后得到折痕EF.如

图①；点M为CT上一点，将正方形纸片A88沿直线折叠，使点C落在EF上的点N

处，展开后连接。N,MN,AN,如图②.

⑴图②中，NCMD=；线段NF=.

(2)图②中，试判断△AND的形状，并给出证明.

剪一剪、折一折：将图②中的小柳剪下来，将其沿直线G”折叠，使点A落在点4处,

分别得到图③、图④.

⑷图③中，若NA'GN=80。，则N/VHD=°

⑸图③中，相似三角形(包括全等三角形)共有对.

⑹如图④，点A，落在边ND上，若4N=2A，O,则力=.

8.(2022•吉林・长春市第八十七中学一模)如图，在Rt045C中,团8=90。，4B=4,BC=2,

点尸在ZC上以每秒逐个单位长度的速度向终点C运动.点。沿8/方向以每秒1个单位

长度的速度运动，当点P不与点工重合时，连接尸。，以P。，80为邻边作当点

P停止运动时，点。也随之停止运动，设点P的运动时间为f(s),例与曲8c重叠部

分的图形面积为S.

M

Q

BC

⑴点P到边”的距离=，点尸到边8c的距离=；（用含f的代数式表示）

（2）当点M落在线段8c上时，求f的值；

⑶求S与f之间的函数关系式；

⑷连接"。，当〃。与胡8c的一边平行或垂直时，直接写出，的值.

9.（2022•吉林・长春市第八十七中学一模）［教材呈现］下面是华师大九年级上最数学教材第

76页的部分内容.

如图，E是矩形”8的边C8上的一点,于点F,AB=3,AD=2,CE=1,证明削尸。瓯PCE,

并计算点工到直线。E的距离（结果保留根号）.

结合图①，完成解答过程.

图①图②图③

［拓展］

（1）在图①的基础上，延长线段//交边C。于点G,如图②，则FG的长为；

（2）如图③，E、尸是矩形Z8CD的边CD上的点，连接E片将矩形/8CD沿所翻

折，使点。的对称点。'与点5重合，点力的对称点为点⑷.若止4,AD=3,则E户的长

为•

10.（2022•吉林・长春市净月实验中学一模）（1）如图1,已知回。18和自均为等边三角

形，。在NC上，E在C8上，易得线段/。和的数量关系是.

（2）将图1中的回COE绕点C旋转到图2的位置，直线AD和直线BE交于点F.

①判断线段/。和8E的数量关系，并证明你的结论；

②图2中班处的度数是_.

（3）如图3,若团。8和EICDE均为等腰直角三角形，UW8C=aDEC=90。，AB=BC,DE=

EC,直线和直线BE交于点F,分别写出EWF8的度数，线段川入8E间的数量关系.

11.（2017,江苏南通•中考模拟）将两张完全相同的矩形纸片按如图方式放置,

8。为重合的对角线.重叠部分为四边形。“8G,

⑴试判断四边形。"8G为何种特殊的四边形，并说明理由；

（2）若/8=8,/。=4,求四边形。，8G的面积.

12.（2022•吉林大学附属中学一模）【感知】小亮遇到了这样一道题：己知如图①在AABC中，

A3=AC,£>在AB上，E在AC的延长上，DE交BC于点、F,且DF=EF,求证:必=C£.

小亮仔细分析了题中的已知条件后，如图②过。点作Z）G〃AC交BC于G,进而解决了该

问题.（不需要证明）

【探究】如图③，在四边形ABC。中，AB//DC,E为8C边的中点，ZBAE=ZEAF,AF

与0c的延长线交于点F,试探究线段A3与ARb之间的数量关系，并证明你的结论.

【应用】如图④，在正方形A8CZ）中，E为AB边的中点，G、尸分别为A£>,8C边上的

点，若AG=1,BF=^2,0GEF=90°,则G尸的长为.

D.D,

13.（2018・吉林长春・中考模拟）如图,是△/BC的中线，过点C作直线CF〃/D

【问题】如图①，过点。作直线。G〃Z8交直线C尸于点E,连结ZE,求证：AB=DE.

【探究】如图②，在线段力。上任取一点P,过点尸作直线PG〃48交直线CF于点E,连

结ZE、BP,探究四边形N8PE是哪类特殊四边形并加以证明.

【应用】在探究的条件下，设尸E交/C于点若点尸是/。的中点，且例的面积为

1,直接写出四边形N8PE的面积.

图①图②

14.（2022•吉林吉林•一模）如图1,点C在线段48上，（点C不与48重合），分别以4C、

8C为边在48同侧作等边三角形ZCD和等边三角形BCE,连接ZE、BD交于点、P.

【观察猜想】

®AE与BD的数量关系是；

（2）SAPD的度数为.

【数学思考】

如图2,当点C在线段48外时，（1）中的结论①、②是否仍然成立？若成立，请给予证

明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明；

【拓展应用】

如图3,点E为四边形Z8CO内一点，且满足a4EC=ia8EC=90。，AE=DE,BE=CE,对

角线/C、BD交于点、P,AC^IO,则四边形Z8CD的面积为.

15.（2021•吉林四平•一模）勾股定理是数学史上非常重要的一个定理.早在2000多年以前，

人们就开始对它进行研究，至今已有几百种证明方法.在欧几里得编的《原本》中证明勾股

定理的方法如下，请同学们仔细阅读并解答相关问题：

如图，分别以RW8C的三边为边长，向外作正方形/8。从BCFG、ACHI.

⑴连接8/、CE,求证：^ABI^AEC-,

⑵过点8作4c的垂线，交/C于点交/”于点N.

①试说明四边形力与正方形ABDE的面积相等；

②请直接写出图中与正方形BCFG的面积相等的四边形.

⑶由第（2）题可得:正方形/8DE的面积+正方形8CFG的面积=的面积;即在心口/8C

中，AB2+BC2=.

16.（2021•吉林长春•一模）【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材64页的部分内

H

(1)【问题解决】

请结合图1给出解题过程.

⑵【问题探究】

如图2,在团/8C中,。是边8c上的一点，过点。作。加8,交/C于点尸，过点。作。£S4C,

CF3

交AB于点、E,延长C4至〃，使连结。〃交N8于G.若一二=彳，0/1HG的面

AF2

积为2,则血＞8的面积为.

(3)如图3,在EW8C中，。是边8C上的一点，连结4。，点E为4C上一点，连结8E交

于点凡若尸为“。的中点，下酎£/的面积为机，贝！1回尸。8的面积为.(用含

〃，的代数式表示)

17.(2021•吉林长春•二模)【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材102-103页的

部分内容.

性质：直角三角形的斜边中线等于斜边的一半给出上述性质证明中的部分演绎推理的过程如

下：已知：如图1,在团48c中，0JC8=9O。，CD为斜边48上的中线.求证：CO=/8证

明：如图2,延长。至点E,使。£=8,连接/E,BE.

D

图1图2

【问题解决】请结合图3将证明过程补充完整.

【应用探究】

(1)如图4,在EL48c中，4)是高，CE是中线，点厂是CE的中点，。/迥CE,点尸为垂足，

勖1EC=78。，则回8CE为度.

(2)如图5,在线段4C上有一点B,AB=4,4C=11,分别以43和8C为边作正方形N8EQ

和正方形8c尸G,点E落在边8G上，连接。尸，点”为。尸的中点，连接G”,则GH的长

18.(2021•吉林,三模)如图，a48c是等腰直角三角形，酎。8=90°,AC=BC=6,。在线段

8c上,E是线段4)的一点.现以CE为直角边,C为直角顶点，在CE的下方作等腰直角0£CF,

连接3兄

图1图2图3

(1)如图1,求证：^AEC^BFC.

(2)当/、E、尸三点共线时，如图2,若AF=2由,求8斤的长;

(3)如图3,若血10=15°,连接。凡当E运动到使得的。£=30。时，求回CD厂的面积.

19.(2021•吉林四平•一模)如图

(D如图1,等腰AABC和等腰中，ZBAC=ZDAE=90°,B,E,。三点在同一直线上，

求证：ZBZX?=90°；

⑵如图2,等腰A43C中，AB=AC,ABAC=90°,。是A43C外一点，且NBDC=90。，

求证：ZADB=45°；

⑶如图3,等边A43C中，。是△43c外一点，且N3£>C=60。，

①加Q8的度数；

@DA,DB,OC之间的关系.

20.(2021・吉林省实验中学模拟预测)如图，在正方形AfiC。中，点E是边8c上任意一点

(点E不与点B、C重合)，连接OE,点C关于OE的对称点为G，连接AC并延长交£)£

⑴【猜想】如图①，的大小为度.

(2)【探究】如图②，过点A作AM〃DF交MD的延长线于点,连接BM.求证：

tsABMwMftW,.

(3)【拓展】如图③，连接AC,若正方形ABC。的边长为2,则AACG面积的最大值为.

21.(2021•吉林省第二实验学校二模)如图，A43C中，ZACB=90°,ZA=30°,AB=2,

点尸从点A出发，以每秒g个单位长度的速度沿A8向点B运动，到点3停止.同时点。从

点A出发，沿AC-CB的线路向点8运动，在边AC上的速度为每秒且个单位长度，在边BC

3

上的速度为每秒2个单位长度，到B停止，以PQ为边向右或右下方构造等边APQR,设P的

运动时间为「秒，解答下列问题：

(1)填空：BC=,AC=.

(2)当。在AC上，R落在BC边上时，求f的值.

(3)连结8R.

①当。在边AC上，8R与AABC的一边垂直时，求APQ?的边长.

②当。在边8C上且R不与点B重合时，判断BR的方向是否变化，若不变化，说明理由.

22.(2021•吉林省第二实验学校二模)教材呈现：如图是华师版九年级上册第64页的课后

习题.

如图，在中，点。是边AB的四等分点，DE//AC,DFHBC,AC=8,8c=12.求

四边形DECF的周长.

(1)请完成该题目(补充说明：题目中的点。是边48靠近点A的四等分点).

(2)小明和小静在复习该题目时分别对这个题目进行了改编，请分别解答小明和小静提出

的问题.

AA

①小明提出的问题是:如图①，在AABC中，点。是边AB靠近点A的四等分点，DE〃AC,

DFHBC.当四边形。ECF为菱形时，求AC与BC的数量关系？

②小静提出的问题是:如图②，在^ABC中，点。是边A8靠近点A的四等分点，DE〃AC,

DF//BC,BC=8,NA=60。.则四边形OEC尸面积的最大值是.

23.（2021•吉林・长春市解放大路学校模拟预测）教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教

材第77页的部分内容.

如图，在AABC中，点。、E分别是43与NC的中点.根据画出的图形，可以猜想：DEI/BC,

请结合图①，写出完整的证明过程.

结论应用：

（1）如图②，在中，ZC=45°,BC=6,S^ABC=\1.D、E、尸分别为48、AC.

/E的中点，则。E=；

（2）如图③，在（1）的条件下，延长尸。、C8相交于点G,则以0cB=.

24.（2021•吉林长春•二模）如图，在A/BC中，AB=25,AC=20,8c=15,CN^AB,点P从

点工出发，以每秒5个单位的速度沿向终点8匀速运动.当点P不与点2、B、N重合

时，过点。作尸@c交/c于点。，以尸。、PN为邻边作平行四边形PQV/N,设平行四边

形尸与△N8C重叠部分面积为S（平方单位）•点尸的运动时间为f（秒）.

（1）当点尸在线段/N上时，tan团的值是；

（2）用含/的代数式表示线段尸N的长度；

（3）当S=?时，求/的值；

（4）当点A/恰好落在△/BC的角平分线上时，直接写出f的值.

25.（2021•吉林长春•二模）【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材第103页的部分

内容.

如图，在放A/BC中，EL4CB=90o,8是斜边Z8上的中线.

CD=-AB

求证：2.

证明：延长CD至点E,使£>E=8,连结/E、BE.

请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程.

图①

【结论应用】（1）如图，在四边形ABC。中，ZABC=ZADC=90°,ZZMC=45°,ZBAC=30°,

E是AC的中点，连结BE、BD.则NOBE的度数为

D

(2)在A4?C中，已知AB=13,8c=12,CA=5,。为边A3的中点，且与ZACB

的平分线交于点E,则。E的长为.

26.(2021•吉林长春•二模)如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=6,A8=10,D为

边的中点.动点P从点工出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线ZGC8向终点8运

动.当点尸不与点C重合时，连结PD,以CP、PD为边作YCPDE.设点P的运动时间为

f秒.

(1)C、。两点之间的距离为

(2)当点E落在边8c上时，求YCPDE的周长.

(3)当点尸在边8c上运动时，若四边形CEDE是轴对称图形，求，的值.

(4)设YCPZm的对角线的交点为。，点。关于对角线PE的对称点为连结O。，当

077,8时，直接写出f的值.

27.(2021・吉林长春,二模)【问题原型】如图①，四边形ZBDEdGFC都是正方形，AB>AC,

连结CE、BG.求证：BG=CE.

【发现结论】如图②，设图①中的直线CE与直线8G交于点求证：EHA.BG.

【结论应用】将图①中的正方形NGFC绕着点N顺时针旋转角度e(0°<«<360。)，在整个

旋转过程中，当点E、C、G三点在同一条直线上时，若Afi=3,AC=2,借助图①，直接

写出8G的长.

图①图②

28.（2021•吉林长春•一模）如图，在酎8c中，4B=AC,8网C于点。，A