九年级上册全册数学教案

1、1等腰三角形的性质和判定（1）

教学目标：1、进一步掌握证明的基本步骤和书写格式。

2、能用“基本事实”和“已经证明的定理”为依据，证明等腰三

角形的性质定理和判定定理。

教学重点：了解分析的思考方法

教学难点：用“基本事实”和“已经证明的定理”为依据，证明等腰三角

形的性质定理和判定定理。

教学过程：

一、知识回顾：

在初中数学八（下）的第十一章中，我们学习了证明的相关知识，你还记得

吗？不妨回忆一下。

1、我们初中数学中，选用了哪些真命题作为基本事实：

2、在八（下）的第十一章中，我们依据上述的基本事实，证明了哪些定理？

你能一一列出来吗？

二、情景创设：

以前，我们曾经学习过等腰三角形，你还记得吗？不妨我们来回忆一下下列

几个问题：

1、什么叫做等腰三角形？（等腰三角形的定义）

2、等腰三角形有哪些性质？

3、上述性质你是怎么得到的？（不妨动手操作做一做）

4、这些性质都是真命题吗？你能否用从基本事实出发，对它们进行证明？

三、探索活动：

1、合作与讨论

证明：等腰三角形的两个底角相等。

2、思考与讨论

怎样证明：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

3、通过上面两个问题的证明，我们得到了等腰三角形的性质定理。

4、你能写出上面两个定理的符号语言吗？（请完成下表）

文学语图形符号语言

在4ABC中

等边对

,*#___________________;

等角

*

••__________________________________________O

在△ABC中，AB=AC

(1)VZBAD=ZCAD

*

•♦________，________。

三线合

(2)VBD=CD

*

•*________，________o

(3)VAD±BC

*

••________，_________o

5、思考与探索

如何证明"等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是正确的？

要求：（1）写出它的逆命题：O

（2）画出图形，写出已知、求证，并进行证明。

6、通过上面的证明，我们又得到了等腰三角形的判定定理：o

四、体会与交流

1、在本节课中，我们用基本事实又证明了哪些定理。

2、实际上，我们以前曾学习过很多图形的知识，（如：直角三角形全等，平

行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形等）。对于这些图形，我们通过动手操作

也得到了它们的性质和判定，在今后的学习中，我们将进一步证明它们的正确

性。

五、随堂练习

1、如果等腰三角形的周长为12,•边长为5,那么另两边长分别为

2、如果等腰三角形有两边长为2和5,那么周长为o

3、如果等腰三角形有一个角等于50°,那么另两个角为o

4、如果等腰三角形有一个角等于120°,那么另两个角为0

5、用三角尺画出一个等腰三角形的对称轴，你有几种画法？（请你画出图

形）

6、在△回（：中，ZA=40°,当NB等于多少度数时，^ABC是等腰三角

形？

7、如图，^ABC中，AB=AC,2条角平分线BD、CE相交于点0,求证:

0B=0C。

等腰三角形的性质和判定（2）

教学目标：在掌握了等腰三角形的性质定理和判定定理的基础匕探索等边三角形和其

它相关知识的证明方法。

教学重点：探索三角形和其他相关知识的证明方法

教学难点：用正确的定理证明

教学过程：

一、知识回顾

上节课中，我们对等腰三角形的性质定理和判定定理进行了证明，请你写

出这些定理。

等腰三角形性质定理：（1）_______________________________________

（2）o

等腰三角形判定定理：______________________________________________

二、典例分析

1、已知：如图（1）NEAC是AABC的外角，AD平分NEAC,且AD〃

BCo

求证：AB=AC

2、在上图（2）中，如果AB=AC,AD〃BC,那么AD平分NEAC吗？

如果结论成立，你能证明这个结论吗？

3、你还能得到其他的结论吗？与同学交流。

三、思考与交流

1、证明：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。（简写为

“AAS”）

2、证明：（1）等边三角形的每个内角都等于60°。

（2）3个内角都相等的三角形是等边三角形。

3、证明：（1）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

（2）到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

四、随堂练习

1、如图，在AABC中，ZB=ZC=36°，NADE=NAED=2NB,由

2、已知：如图，ZSABC是等边三角形，DE〃BC,分别交AB、AC于点

D、Eo

求证：4ADE是等边三角形。

3、求证：如果一个等腰三角形中有一个角等于60°,那么这个三角形是

等边三角形。

五、体会与交流

本节课，我们又证明了哪些定理？你掌握了吗？

1、2直角三角形全等的判定

教学目标：1、能证明直角三角形全等的“HL”判定定理；

2、从简单的数学例子中体会反证法的含义；

3、逐步学会分析的思考犯法，发展演绎推理的能力。

教学重点：能证明直角三角形全等的“HL”判定定理；

教学难点：发展演绎推理的能力

教学过程：

一、情境创设：

1、直角三角形全等的条件有哪些？

2、你认为具备这样条件的两个直角三角形一定全等吗？为什么？

二、探索活动：

证明：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写为

“HL”）

问题一：你能从基本的事实出发，证明斜边和一条直角边对应相等的两个

直角三角形全等吗？

问题二：证明这个结论你有没有困难？说说你准备如何解决这个问题？

问题三：如果用“把斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形拼合”

的方法来证明“HL”定理，那么：

（1）如何拼合？

（2）可以拼合成一个什么图形？为什么可以拼合成一个等腰三

角形？

（3）说说你的证明思路。

三、例题教学：

1、如图：如果NBAC=30°，那么BC=-AB,你能证明这个结论吗？

2

(1)(2)

2、如图，在△ABC中，已知D是BC中点，DE1AB,DF1AC,垂足分

别是E、F,DE=DF.求证：AB=AC

四、练习：

Pio1->2；

五、小结

(1)、图形的“拆(把一个等腰三角形拆成两个全等的直角三角形)”和

“拼(把两个直角三角形拼成一个等腰三角形)”两种方法体现了同一种思想一

一转化思想，即可把待证的问题转化为可证的问题；

(2)、本节课我们证明了一般三角形所不具有的直角三角形的特殊的判定

定理、特殊的直角三角形的特殊性质，你还能列举一些关于特殊与一般的例子

吗？

六、作业

P121、2。

直角三角形全等的判定（2）

教学目标：1、能证明角平分线的性质定理和逆定理、三角形三条角平分线交与

—,占.

八、、，

2、从简单的数学例子中体会反证法的含义；

3、逐步学会分析的思考方法，发展演绎推理能力。

教学重点：从简单的数学例子中体会反证法的含义

教学难点：逐步学会分析的思考方法，发展演绎推理能力

教学过程：

一、情境创设：

证明：角平分线上的点到角的两边的距离相等

1、你能用折纸的方法说明“角平分线上的点到角的两边的距离相等“吗？

引导学生通过“角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴，折

叠得到的折痕（垂线段）重合来说明

2、你还能用什么方法说明这个结论是正确的？

引导学生不断感受合情推理道贺演绎推理都是人们正确认识事物的重要

途径，并且这也是每个学生都能参与的学习活动。

二、探索活动

证明：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线

上

问题一、“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的逆命题是什么？

引导学生体会构造一个命题的逆命题，也是获得数学结论的一个途径

问题二、你人为这个命题是真命题吗？如果正确，如何证明？

注意：关注学生能否与角平分线的性质定理有区别的画出图形，并根据图

形写出已知和求证。

引导学生进一步认识图形的我位置关系与数量关系之间的内在联系：角平

分线上的点到角的两边的距离都相等；反过来，在一个角内，到角的两边的距

离相等的点都在这个角的平分线上，为问题三的思考做铺垫

问题三：如果某点到角的两边的距离不相等，那么这个点会在这个角的平

分线上吗？为什么？

（初步渗透反证法）

三、例题教学

例1、“如果一个点到角的两边的距离不相等，那么这个点不在这个角的平

分线上。”你认为这个结论正确吗？如果正确，你能证明它吗？

例2、10.如图，在△48C中，AB=AC,应是过点4的直线，BD工DE于D,CEL

DE千E.

（1）若比■在小的同侧（如图①）且4%"，说明：BALAQ.

（2）若勿在"的两侧（如图②）其他条件不变，问16与4c仍垂直吗？若是

请予证明，若不是请说明理由.

①②

图<19>

例3、如图，4ABC的角平分线AD、BE相交与点O。（1）点Oglj△ABC

各边的距离相等吗？点O在NC的平分线上吗？

即证明：三角形的三条角平分线交与一点

四、练习PH

五、小结

六、作业Po3、4

1.3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（1）

教学目标

1、会证明平行四边形的性质定理及其相关结论

2、能运用平行四边形的性质定理进行计算与证明

3、在进行探索、猜想、证明的过程中，进一步发展推理论证的能力

教学重、难点

重点：平行四边形的性质证明表达格式的逻辑性完整性精炼性

难点：分析综合思考的方法

教学过程：

一、情境创设

根据我们曾经探索得到的平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质，填写

下表:

平行四边形矩形菱形正方形

对边平行

对边相等

四边相等

对角相等

4个角是直角

对角线互相平分

对角线相等

对角线互相垂直

两条对角线平分两组

对角

从上面的几种特殊四边形的性质中，你能说说它们之间有什么联系与区别

吗？

如图AB//AB,BCIIBC,CA//CA,图中有个平行四边形。

B'

CA'

A

C；B

二、合作交流

活动1、上表中平行四边形的性质中，你能证明哪些性质？

活动2、你认为平行四边形性质中，可以先证明哪一个？为什么？

活动3、证明定理“平行四边形对角线互相平分”。

由此证明过程，同时也证明了定理“平行四边形对边相等”、“平行四边形

对角相等“，这样我们可得平行四边形的三条性质定理：

平行四边形对边相等。

平行四边形对角相等。

平行四边形对角线互相平分。

例1：已知：如图，HABCD中，E、F分别是AD、BC的中点。

求证：BE=DF

分析：可根据证明4ABE乌Z\CDF得到结论。

若将例1中的“E、F分别是AD、BC的中点”改为“AE=，AD,CF=-BC,\

33

是否还能得到同样的结论？

练习：P151、2

例2、证明“夹在两条平行线之间的平行线段相等”

分析：根据命题先画出相应图形，再由命题与所画图形写出已知、求证，

最后根据已知条件写出证明过程。

例3（广东省）如图，四边形ABCD是平行四边形，点F在BA的延长线上

连结CF交于AD点E.

求证：（DACDES/XFAE

（2）当E是AD的中点，且BC=2CD时，求证：ZF=

ZBCF

证明：(1)•••四边形ABCD为平行四边形

AAB〃CD,

•,.ZD=ZEAF

VZDEC=ZAEF,

/.△CDE^AFAE

(2)VACDE^AFAE

•••D_C__D_E

AF一AE

•.•E是AD的中点

...AF=DC

VAD=BC,BC=2CD

.*.AD=2AF

/.AE=AF

二NF=NAEF

-AD〃CB,

二ZAEF=ZBCF

ZF=ZBCF

说明平行四边形能带来平行线、等角，从而为得到比例线段、相似三角

形创造了条件，也就为利用相似解决问题带来了方便.

练习：1、已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=8cm,

BC=10cm,ZC=120°,

求BC边上的高AH的长；

求平行四边形ABCD的面积

2、如图,平行四边形ABCD中，AB=3,BC=5,AC的垂直平分线交AD于E,则4CDE

的周长是（B）

A.6B.8C.9D.10

三、分层训练

1.UBCD的周长为50cm,且AB:BC=3:2,贝I」AB=_____cm,BC=cm.；

2.已知ZJABCD中，AB=8,BC=10,ZB=45°,UABCD的面积为.

3.在AABC中，AB=AC^,〃是比'上的点，DE//AB交"于点£,DF//AC交AB

于点兄那么四边形4口应的周长是（）

A.5B.10C.15D.20

4.延长平形四边形ABCD的一边AB到E,使BE=BD,连结DE交BC于F,

若NDAB=120°,ZCFE=135°,AB=1,则AC的长为（）

(A)1(B)1.2(D)1.5

5如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交

于点0,边AB可以看成由平移得来的，AABC可以看成由

绕点0旋转得来；

----A-----------n

6、平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD相交于O,国AB=8,BC=6,

△AOB的周长为18,求aAOD的周长。

7、已知：如图，DABCD中，BD是对角线，AELBD于E,CFJ_BD于F.

求证：BE=DF.An

四、小结/V

引导学生自我归纳总结,

1、平行四边形对边相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分。

2、是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心。

3、平行线之间的距离处处相等。

五、课堂检测

1.3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（2）

教学目标

1、认识几种特殊的四边形的性质的联系与区别

2、会证明矩形的性质定理及直角三角形斜边上中线的有关性质定理

3、能运用矩形的性质定理或有关定理进行简单的计算与证明

4、在进行探索、猜想、证明的过程中，能将命题由文字语言转化为图形与

符号语言，进一步发展推理论证的能力

教学重、难点

重点：矩形的本质属性

难点：矩形性质定理的综合应用

教学过程：

一、情境创设

矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质。结合下图说说

矩形有哪些平行四边形不具有的特殊性质？

你能证明这些性质吗？

二、合作交流

问题一观察平行四边形和矩形的对角线把它们所分成的三角形，你有

何发现？（引导学生不断地学会从多个角度观察、认识图形，主动地发现和获

得新的数学结论，不断地积累数学活动的经验）

问题二证明：矩形的4个角都是直角。

矩形的对角线相等。

问题三你能证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”吗？说

说你的证明思路。

已知：如图，在aABC中，ZACB=90°.

1

求证：边AB上的中线等于5AB.

证明：在NACB内作NBCD=NB,CD交AB

VZACB=90°

ACD与BCD互余，NA与NB互余

,/ZBCD=ZB

/.ZACD=ZA

，DA=DC=DB,即CD是边AB上的中线，且CD=]AB

问题四你对上面的结论还有更多的思考和猜想吗？（引导学生不断学

会思考和猜想：由结论进一步能得到什么结论？这个结论的逆命题是否正确。

不断发展学生数学思考的能力）

例1、已知：如图，矩形ABCD的两条对角线

且AC=2AB.

求证：AAOB是等边三角形

分析：利用矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分，结合“AC=2AB”

即可证得。

本题若将"AC=2AB”改为“NBOC=120°”，你能获得有关这个矩形的哪

些结论？

练习：P16页1、2

例2、如图在矩形ABCD中，BE平分NABC,交CD于点E,点F在边

BC上，

①如果FEJLAE,求证FE=AE。

②如果FE=AE你能证明FELAE吗？

DE

C

练习：

思考△.如图①所示，RSABC中,ZC=90°,AC=12,BC=5,点M在边AB上,

且AM=6.

（1）动点D在边AC上运动，且与点A、C均不重合，设CD=x.

①设4ABC与AADM的面积之比为y,求y与x之间的函数关系式（写出自

变量x的取值范围）；

②当x取何值时，AADM是等腰三角形？写出你的理由.

（2）如图②，以图①中的BC、CA为一组邻边的矩形ACBE中，动点D在矩

形边上运动一周，能使4ADM是以NAMD为顶角的等腰三角形共有多少个？

（直接写出结果，不要求说明理由）

例3、（吉林省）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3百，BC=6,沿EF

折叠后，点C落在AB边上的点P处，点D落在点Q处，AD与PQ相交于点H,

ZBPE=30°.

（1）求BE、QF的长.（2）求四边形PEFH的面积.

【分析】折叠型试题是近年中考试题的热点，

有想像力，抓住折叠的角与边不发生变化，必要时需要考生剪一个四边形实际

折叠一下帮助理解.

四、分层训练

1、已知，在矩形ABCD中，AE±BD,E是垂足,

ZDAE：ZEAB=2：1,求NCAE的度数。

AC=10cm,边BC=8cm,

3、如图1,周长刃。"的矩形ABCD被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD的面

积为().

(A)98(B)196(C)280(D)284

4、如图2,根据实际需要，要在矩形实验田里修…条公路(小路任何地方水

平宽度都相等)，则剩余实验田的面积为.

5、如图3,在矩形ABCD中，M是BC的中点，且MALMD.若矩形ABCD的周长

为48cm,则矩形ABCD的面积为_______cm2.

6、已知，如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点0,E,F分别是0A,0B

的中点.

(1)求证：△ADEgZ^BCF；(2)若AD=4cm,AB=8cm,求OF的长.

7、如图，在矩形ABCD中，已知AB=8cm,BC=10cm,折叠矩形的一边AD,使点

D落在BC边的中点F处，折痕为AE,求CE的长.

8、阅读下列过程：

如图①，小肖过AB,CD的中点画直线EF,把矩形ABCD分割成甲、乙两部

分.

如图②，小徐过A,C两点画直线AC,把矩形ABCD分割成丙、丁两部分.

回答下列问题：

（1）填空：S用_____S乙，S丙_____ST（填“〉”或“〈”或“二”）；

（2）根据小肖、小春的分割庶理，你还能探索出其他的分割方法吗？请

在图③中任意给出…种；

（3）由本题的操作过程，你发现了什么规律？

②③

9、（2006年烟台市）如图4,先将一矩形ABCD置于直角坐标系中，使点A与

坐标系的原点重合，边AB、AD分别落在x轴、y轴上（如图①所示），再将

此矩形在坐标平面内按逆时针方向绕原点旋转30°（如图②所示），若AB=4,

BC=3,则图①和图②中，点B的坐标为_点C的坐标为_

五、小结

从位置、形状、大小等不同的角度，观察和比较平行四边形、矩形的对角

线把它们分成的三角形的异同，发现并应用直角三角形的判定证明矩形的特殊

性质；反过来，我们又利用矩形的性质证明“直角三角形中斜边上的中线等于

斜边的一半”。

六、课堂检测

1.3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（3）

教学目标

1、会归纳菱形的特性并进行证明

2、能运用菱形的性质定理进行简单的计算与证明

3、在进行探索、猜想、证明的过程中，进一步发展推理论证的能力，进一

步体会证明的必要性

教学重、难点

重点：菱形的性质定理证明

难点：性质定理的运用生活数学与理论数学的相互转化

教学过程：

一、情境创设

1.将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，打开，你发现

这是一个什么样的图形？（同桌互相帮助。）

2.探索。

请你作该菱形的对角线，探索菱形有哪些特征，并填空。

（从边、对角线入手。）

（1）边：都相等；（2）对角线：互相垂直。

（学生通过自己的操作、观察、猜想，完全可以得出菱形的特征，这对学生

来说是富有意义的活动，学生对此也很感兴趣。）

问题：你怎样发现的?又是怎样验证的？

（可以指名学生到讲台上讲解-吓他的结果。）

3.概括。

菱形特征1：菱形的四条边都相等。

菱形特征2：菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对

角O

引导学生剖析矩形与菱形的区别。

矩形的对边平行且相等，四个角都是直角，对角线相等且互相平分；菱形

的四条边都相等，对边平行，对角相等，对角线互相垂直平分，每条对角线平

分它的一组对角。

4.请你折一折，观察并填空。（引导学生归纳。）

（1）菱形是不是中心对称图形?对称中心是。

（2）是不是轴对称图形?对称轴有几条?。

二、合作交流

问题一观察平行四边形和菱形的对角线把它们所分成的三角形，你有

何发现？（引导学生不断地学会从多个角度观察、认识图形，主动地发现和获

得新的数学结论，不断地积累数学活动的经验）

问题二证明：菱形的4条边都相等。

菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

分析：第一条定理可先用“两组对边分别相等”证明平行四边形，再利用

一组邻边相等得证；第二条定理可利用“三线合一”证得。

问题三已知菱形的两条对角线长分别为6和8,由此你能获得有关这

个菱形的哪些结论？（可得到边长为5；面积为24）你认为菱形的面积与菱形

的两条对角线的长有关吗？如果有关，怎样根据菱形的对角线的计算它的面

积？

由此可得：菱形的面积等于它的两条对角线长的积的面积。

例1、如图3个全等的菱形构成的活动衣帽架，顶点A、E、F、C、G、

H是上、下两排挂钩，根据需要可以改变挂钩之间的距离（比如AC两点可以

自由上下活动），若菱形的边长为13厘米，要使两排挂钩之间的距离为24厘

米，并在点B、M处固定，则B、M之间的距离是多少？

分析：可将问题归结到菱形ABCD中研究，求出BD的长即可。可根据菱

形的对角线互相垂直平分利用勾股定理求出BDo

练习P181、2

例2已知：如图，四边形ABCD是菱形，G是AB上任一点,

DF交AC于点Eo

求证：ZAGD=ZCBE

分析：结合“全等三角形对应角相和“两直线平行,内错角相等”即

可得证。

练习：

1、如图，微形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点,

如果EF=2,那么ABCD的周长是（D）

A.4B.8

C.12D.16

2、如图，已知菱形的两条对角线长为a,

b,你能将菱形沿对角线分割后拼接成矩形吗？画图说明

（拼出一种图形即可）；在此过程中,你能发现菱形的面

积与a,b的关系吗？

拼法（1）拼法（2）

或s菱形=s矩形⑵

结论：菱形的面积等于两对角线乘积的一一半.

3、己知：如图，菱形ABCD中，ZB=60°,AB=4,则以AC为边长的

正方形ACEF的周长为.

四、分层训练

1.已知菱形的周长为16cm,则菱形的边长为_____cm.

2.已知四边形ABCD是菱形，。是两条对角线而交点，

AC=8cm,DB=6cm,菱形的边长是

3.已知菱形的边长是5cm,一条对角线长为8cm,

则另一条对角线长为_____cm.

4.翻ABCD的周长为40cm,两条对角线AC：BD=4：

3,那么对角线AC=___cm,BD=__cm.

5.如图，四边形ABCD是菱形，ZABC=120°,

AB=12cm,则NABD的度数为__，NDAB的度

数为;对角线BD=,AC=；瓢ABCD的面积为.

6.菱形的两条对角线把菱形分成全等的直角三角形的个数是（）.

（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个

7.如图，在菱形ABCD中，CE±AB,E为垂足，BC=2,BE=1,求菱形的周长和

面积.

小结

菱形的对角线把菱形分成等腰三角形和直角三角形，所以解决菱形问题,

常常可以转化为等腰三角形或直角三角形问题。

六、作业

1.3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定(4)

教学目标

1、会归纳正方形的特性并进行证明

2、能运用正方形的性质定理进行简单的计算与证明

3、在进行探索、猜想、证明的过程中，进一步体会证明的必要性以及计算

与证明在解决问题中的作用

4、在比较、归纳、总结的过程中，进一步体会特殊与一般之间的辩证关系

教学重、难点

重点：经历观察、实验、猜想、证明等活动，发展合情推理能力和初步的

演绎推理能力

难点：有条理地、清晰地阐述自己的观点

教学过程：

一、情境创设

这是一个流传在世界各地的故事,三姐妹的父亲是一位慈祥的阿拉伯老人。

一天，老人不幸去世，临终，老人留给三个女儿一件珍贵的传家宝-----块五

色斑斓的正方形地毯，深爱父亲的女儿们都想得这块地毯，以作纪念。大姐想

出了一个好办法：“把它裁成三个小正方形地毯，为了不使地毯剪得过于零碎，

最好只剪成4块，其中两块是正方形，另外两块可以拼成一个正方形。”聪明的

你能想出一个巧妙的剪法，符合大姐的设想吗？

二、合作交流

探索正方形的性质(1)边的性质：;(2)角的

性质：;

(3)对角线的性质：；

(4)对称性：。

例1、已知：如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于

点0;正方形的顶点A与点0重合，AB，交BC于点E,

(2)若正方形A'B'C'D，绕点0旋转某个角度后，0E=0F吗？

分析：（1）方法一OB=OC,E是BC的中点

/.0E1BC,Z0EC=90°________________

VZEAT=ZECF=90°/

：.Z0FC=90°

VOC=OD/

.••F是CD的中点-----'/

方法二VZEA,F=90°,AC±BD/.ZE0C+ZC^^D0F+Z/TOF=90o

.*.ZEOC=ZDOF又OC=OD,N0CE=N0DF=45°

AAOCE^AODF（ASA）

.,.DF=CE=-BC=-CD,即F是CD的中点。

22

（2）证明方法同前方法二。

由（1）、（2）可以得到什么结论？（无论正方形AB，CD，绕点O旋转并

与正方形ABCD分别交BC、CD于点E、F,总有OE=OF,BE=CF,EC=FD,

两个正方形的重叠部分的面积始终等于正方形ABCD面积的四分之一等等）

练习

如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A、、A?、…、An

分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为（C）

2

A.1cmBn.—«cm2

44

例2、已知，在正方形ABCD中，E是BC的中点，点F在CD1ZFAE=Z

BAE.

求证：AF=BC+FC.

BC

E

例3、求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角

三角形。

例4、已知正方形ABCD。

（1）如图1,E是AD上一•点，过BE上一点O作BE的垂线，交AB于点G,

交CD于点H,求证：BE=GH；

（2）如图2,过正方形ABCD内任意一点作两条互相垂直的直线，分别交AD、

BC于点E、F,交AB、CD于点G、H,EF与GH相等吗？请写出你的结论；

（3）当点O在正方形ABCD的边上或外部时，过点O作两条互相垂直的直线,

被正方形相对的两边（或它们的延长线）截得的两条线段还相等吗？其中一种

情形如图3所示，过正方形ABCD外一点。作互相垂直的两条直线m、n,m

与AD、BC的延长线分别交于点E、F,n与AB、DC的延长线分别交于点G、

H,试就该图对你的结论加以证明。

练习：

1、（2006年潍坊市）如图7,边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转300

到正方形AB'C，D，，图中阴影部分的面积为（)

c.YD.1-近

~T4

2、已知：如图，正方形ABCD的周长为4a,四边形EFGH四个顶点E、F、

G、H分别在AB、BC、CD,DA上滑动，在滑动过程中，始终有EH〃BD

〃FG,且EH=FG,那么四边形EFGH的周长是否可求？若能求出，它的

周长是多少？若不能求出，请说明理由.

三、分层训练

1、如图，正方形ABCD中，AB=1,点P是对角线AC上的一点，分别以

AP、PC为对角线作正方形，则两个小正方形的周长的和是。

2、如图,正方形ABCD中,NDAF=25°,AF交对角线BD于E,交CD于E则N

BEC=度.

3、如图：正方形ABCD中，AC=IO,P是AB上任意一点，PE_LAC于E,PF

■LBD于F,则PE+PF=—。可以用一句话概括：正方形边上的任意一点到两

对角线的距离之和等于

BCE

4、如图,正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，AE平分NDAC,则下列结论:

（1）ZE=22.50.（2）ZAFC=112.50.（3）ZACE=1350（4）AC=CE（5）AD:

CE=1：后.其中正确的有（）（A）5个（B）4个（C）3个（D）

2个

5、如图，在正方形ABCD的边BC上任取一点M,过点C作CNLDM交AB

于N,设正方形对角线交点为O,试确定OM与ON之间的关系，

并说明理由.D---------------7

NR

6、（2006•济南市）现有若干张边长不相等但都大于4cm的正方形

纸片，从中任选一张，如图从距离正方形的四个顶点2cm处沿45°角画线，

将正方形纸片分成5部分，则中间阴影部分的面积是迄cm2；若在上述

正方形纸片中再任选一张重复上述过程，并计算阴影部分的面积，你能发现

什么规律？.得到的阴影部分的面积

是8cm2,即阴影部分的面积不变.

四、小结

（1）正方形与矩形，菱形，平行四边形的关系如糊。

(2)正方形的性质：

①正方形对边平行。

②正方形四边相等。

③正方形四个角都是直角。

④正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形。

⑤正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对

(3)本节课我们把探索和解决问题的思路、方法、结论，从特殊情形逐步推广

到一般的情形，从而得到一般的结论，这也是我们获得数学结论的一种重要的

思想方法。

五、课堂检测

1.3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（5）

教学目标

1、会证明平行四边形的判定定理，结合具体命题了解反证法

2、能运用平行四边形的判定定理及反证法进行简单的计算与证明

3、能运用平行四边形的性质与判定定理进行比较简单的综合推理与证明

4、初步体会证明过程中的反证法的思想及其说理的过程

教学重、难点

重点：平行四边形判定定理的证明，反证法

难点：用反证法证明

教学过程：

一、情境创设

回忆我们曾探索得到的一个四边形是平行四边形的条件，填写下表：

条件结论

四边形ABCD,对角

四边形ABCD是平

线AC、BD相交于点

行四边形

O

二、合作交流

问题一你能证明我们曾探索得到的平行四边形的判定方法是正确的

吗？

证明：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

分析：先根据命题画出图形，再写出已知、求证，最后用研究平行四边形

常见的辅助线“连结对角线”证三角形全等，得到两组内错角相等，由平行线

证出平行四边形。

问题二证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

问题三你认为“一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边

形”这个结论正确吗？为什么？

问题四你认为“在四边形ABCD中，如果OA=OC,OBrOD,那么

四边形ABCD不是平行四边形”这个结论正确吗？为什么？

分析：假设四边形ABCD是平行四边形，那么OA=OC,OB=OD,这与

条件OBHOD矛盾，所以四边形ABCD不是平行四边形。

假设条件成立，结论不成立，然后由这个“假设”出发推导出与条件矛盾

的结果，从而证明结论一定成立，这种证明方法叫做反证法。

例1已知：如图，在OABCD中，对修

相交于点O，AE1BD,CF1BD,垂足分别为E、F。

求证：四边形AECF是平行四边形。

分析：由垂直可证一组对边平行，再利用全等证这组对边相等；或由平行

四边形对角线互相平分知OA=OC,再证OE=OF即可；或由垂直证一组对边平

行，再利用面积相等法证这组对边相等。

练习：P20页拓展与延伸及练习1、2

例2、（哈尔滨市）如图，已知E为平行四边形-VABCD

中DC边的延长线上的一点，且CE=DC,连结AE,分别交BC、

BD于点F、G,连结AC交BD于0,连结0F.

求证：AB=20F.

证明：连结BE

•.•四边形ABCD为平行四边形

/.AB〃CD,AO=OC,AB=CD

VCE=CD,

/.AB=CE,

四边形ABEC为平行四边形，

；.BF=FC,

/.OF=-CE即AB=20F.

2

说明能用平行四边形的知识解决的问题，不必用三角形的知识解决，这样

更简便

练习

1.如图，平行四边形ABCD中，EF为边AD、BC上的点，且AE=CF,连结

AF、EC、BE、DF交于M、N,试说明：MFNE是平行四边形

2.如图：已知在4ABC中，AB=AC,D为BC上任意一点，DE〃AC交AB于E,

DF〃AB交AC于F,求证：DE+DF=AC

3.平行四边形ABCD'\-',E、C、尺〃分别是四条边上的点，且AE=CF,BG=DH.

求证：跖和G〃互相平分.

4.已知：如图，在平行四边形ABCD中，连结BD

⑴求作：NA的平分线AE交BC于E,交BD于F；

（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）

（2）求证：①AB=BE；②丝=处

BFDF

三、分层训练:

1.已知8a要使四边形4?勿为平行四边形，需要增加条件―

（只需填一个你认为正确的条件即可）.

2.已知：DABCD的周长是30cm,对角线AC,BD相交于点0,ZA0B的周长

比/B0C的周长为5cm,则这个平行四边形的各边长为.

3.如图，在。ABCD中，EF〃BC,GH〃AB,EF、GH的交点P在BD上，则图

中有对四边形面积相等；它们是

4.OABCD中，过0点的直线EF分别交AD、CB于E、

F,AB=2.4cm,BC=4cm,0E=l.1cm,则四边形CDEF的周长

为cm.

5.》BCD中，AC、BD的长满足方程x2-6尤+8=0,则CB的长的取值范围

为.

6、(2006•广东省)如图，在mBCD中，ZDAB=60°,点E、F分别在CD、

AB的延长线上，且AE=AD,CF=CB.

(1)求证：四边形AFCE是平行四边形.

(2)若去掉已知条件的“NDAB=60°,上述的结论还成立吗?若成立，请写出

证明过程；

若不成立，请说明理由.

四、小结

1.从边与边的关系:

两组对边分别平行

一组对边平行且相等一组对边平行且相等的田边形是平行川边形。

两组对边分别相等

2.从角与角的关系:两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

3.从对角线的相互关系：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

五、课堂检测

1.3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（6）

教学目标

1、会证明矩形的判定定理

2、能运用矩形的判定定理进行计算与证明

3、能运用矩形的性质定理与判定定理进行比较简单的综合推理与证明

教学重、难点

重点：矩形判定定理的证明

难点：矩形判定定理的应用

教学过程：

一、情境创设

具备什么条件的平行四边形是矩形？具备什么条件的四边形是矩形？同

学之间进行交流。

二、探索活动

问题一如图，在OABCD中，AC=BD,由此你可得到什么？

AD

BC

问题二如图，要证OABCD是矩形，需证什么？为什么？

根据矩形的定义，只要证OABCD的一个角是直角；或证NABO+N

CB0=90°；或证NABC=NDCB.

问题三说说证明“对角线相等的平行四边形是矩形”的思路。

由问题二可得出多种证明思路。

三、例题教学

例1、P22例5

练习:P231、2

例2、已知：如图，OABCD的四个内角平分线相交于点E、F、G、

Ho

求证：EG=FH

分析:由OABCD,得对边AB〃CD,可证NABC+NBCD=180°

再由两角的平分线可得NGBC+NGCB=90°，从而得NHGF=90°,

同理可证得NHEF=90°,NAHB=90°,再由对顶角相等得/EHG=90°,从而可得

四边形EFGH是矩形，再由矩形的对角线相等得出结论。

例3已知：平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O,AAOB

是等边三角形，AB

=4cm,求这个平行四边形的面积（如图4—38）。

分析解题思路：

（1）先判定平行四边形ABCD为矩形。

（2）求出RtAABC的直角边BC的长。

（3）计算S=ABXBC

小结：

（1）具有平行四边形的所有性质。

（2）特有性质：四个角都是直角，对角线线段。

（3）矩形的判定方法1、2都是有两个条件：

①是平行四边形，②有一个角是直角或对角线相等。

判定方法3的两个条件是：①是四边形，②有三个直角。

练习：

1.如图，B0是RtaABC斜边上的中线，延长B0至点D,使BO=DO,喝AD,CD,

则四边形ABCD是矩形吗？请说明理由.

2.已知：如图，BC是等腰ABED底边ED上的高，四边形ABEC是平行四边形.求

证：四边形ABCD是矩形.

例4、(2006年青岛市)如图，在ABCD中，E、F分别为边AB、CD的

中点，BD是对角线，AG〃DB交CB的延长线于G.

(1)求证：△ADEgZ\CBF；

(2)若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的

结论.

【解析】(1)•••四边形ABCD是平行四边形

.,.Z1=ZC,AD=CB,AB=CD.幺个

••,点E、F分别是AB、CD的中点，/C

：.AE=AB,CF=/CD.A\\

，AE=CF.

.,.△ADE^ACBF.

(2)当四边形BEDF是菱形时，四边形AGBD是矩形.

•.•四边形ABCD是平行四边形，

，AD〃BC.

VAG//BD,