中考数学压轴题60例(选择题)

中考数学选择题压轴题

一、选择题

1.将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°,得正方形

ABiCiDi,BiCi交CD于点E,AB二后则四边形ABiED的内

切圆半径为()

A遥+1B.亨

考点：三角形的内切圆与内心；正方形的性质；旋转的性

质.

专题：压轴题.

分析：作NDAF与NABiG的角平分线交于点0,则0即

为该圆的圆心，过。作OF_LABi,AB=，再根据

直角三角形的性质便可求出OF的长，即该四边形

内切圆的圆心.

解答：解：作NDAF与NABiG的角平分线交于点O,过

O作OF_LABiJ

则NOAF=30。，ZABiO=45°,

故步A,

设BiF=x,则AF二-x,

故(-x)2+x2=(2x)2,

解得年或三2(舍去)，

・・・四边形ABiED的内切圆半径为

年.故选：B.

「

D]

点评：本题考查了旋转的性质三角形的内切圆，正方形的

性质，要熟练掌握正方形的性质及直角三角形的性

质，是解答此题的关键.

2.如图，四边形ABCD中，NC=50。，NB=ND=90。，E、F

分别是BC、DC上的点，当4AEF的周长最小时，NEAF的

度数为（）

A50°B60°C70°D80°

考点：轴对称-最短路线问题.

专题：压轴题.

分析：据要使4AEF的周长最小，即利用点的对称，使三

角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD

的对称点A1A〃，即可得出NAA，E+NA〃=N

HAA，=50。，进而得出ZAEF+ZAFE=2(ZAAT+

NA"),即可得出答案.

解答：解：作A关于BC和CD的对称点A〔A〃，连接

AA",交BC于E,交CD于F,则A，A"即为4AEF

的周长最小值.作DA延长线AH,

一HADA"

VZC=50°,

・•・NDAB=130°,

・•・NHAA，=50。，

JNAA'E+/A〃=NHAA'=50。，

VZEA,A=ZEAA,,NFAD=NA〃，

・•・NEAA'+NA〃AF=50。，

・•・ZEAF=130°-50°=80°,

故选：D.

点评：本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面

内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂

直平分线的性质等知识，根据已知得出E,F的

位置是解题关键.

3.如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=6,E是AB边的中

点，F是线段BC上的动点，将4EBF沿EF所在直线折叠得

到△EBE连接BD,则BD的最小值是()

C2J^2D4

考点：翻折变换（折叠问题）.

专题：压轴题.____________________________________

分析：当NBFE=NDEF,点B，在DE上时，此时BD的

值最小，根据勾股定理求出DE,根据折叠的性质

可知B，E=BE=2,DE-BE即为所求.

解答：解：如图，当NBFE=NDEF,点B在DE上时,

此时BD的值最小，

根据折叠的性质，△EBF^AEBR

・・・EB」FD,

AEB^EB,

YE是AB边的中点，ABM,

・・・AE=EB，=2,

VAB=6,

：.DE=^^=2^,

・・・DB'=2L-

VIO

2.故选：A.

占评•本题主要考查了折叠的性质、全等三角形的判定

与性质、两点之间线段最短的综合运用，确定点

在何位置时，BD的值最小，是解决问题的关

键.

4.有两个一元二次方程M:ax2+bx+c=0；N:cx2+bx+a=0,

其中a・c/）,arc.下列四个结论中，错误的是（）

A.如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也后两个

相等的实数根

B.如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也

相同

C.如果5是方程M的一个根，那得是方程N的一个根

5

D.如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是

X=1

考点：根的判别式；一元二次方程的解；根与系数的关系.

专题：压轴题.

分析：利用根的判别式判断A；利用根与系数的关系判断

B；利用一元二次方程的解的定义判断C与D.

解答：解：A、如果方程M有两个相等的实数根，那么4寸2

-4ac=0,所以方程N也石两个相等的实数根，结论

正确，不符合题意；

B、如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两

根符号也相同，那么£>0,所以a与

a

_a

C符号相同，*>0,所以方程N的两根符号也相同‘

结论正确，不符合题意；

C、如果5是方程M的一个根，那么25a+5b+c=0,

两边同时除以25,Ac+ib+a=0,所得是方程N的

2555

一个根，结论正确，不符合题意；

D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么1

ax2+bx+c=cx2+bx+a,(a-c)x2=a-c,由a^c,得x2二l

x=±l,结论错误，符合题意；

故选：D.

点评：本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关

系：△>00方程后两个不相等的实数根;△=()=方.

程后两个相等的实数根；方程没看实数根.也

考查了根与系数的关系，一元二次方程的解的定义

5.如图，坐标原点0为矩形ABCD的对称中心、，顶点A的

坐标为(1,t),AB〃x轴，矩形ABCD与矩形ABCD是位似

图形，点。为位似中心，点A1B，分别是点A,B的对应点,

.已知关于x,y的二元一次方丁+^n+i(m,n是实数)

AR(3x+y=4

无解，在以m,n为坐标(记为(m,n)的所有的点中，若有且

只有一个点落在矩形ATBCD，的边上，则k-t的值等于()

考点位似变换；二元一次方程组的解；坐标与图形性质.

专题压轴题.

分析:首先求出点A，的坐标为(k,kt),再根据关于x,y的二

元一次方6月布+1(111,n是实数)无解，可得mn=3,且

13x+y=4

n^l；然后根据以m,n为坐标(记为(m,n)的所有的点

中，有且只有一个点落在矩形ABCD，的边上，可得反

比例函数题勺图象只经过点人或C；最后分两种情况

rr

讨论：⑴若反比例函数题勺图象经过点"时；⑵若反

TT

比例函数题勺图象经过点C时；求出k-t的值等于多少即

IT

可

'AR

解：解二•矩形ABCD与矩形ABCD是位似图形/L=k

AB

顶点A的坐标为(1,t),

・••点A，的坐标为(k,kt),

;关于x,y的二元一次方图曹3n+i(m,n是实数)无解

mn=3,且n，l,

即卫(mr3),

IT

•・•以m,n为坐标(记为(m,n)的所有的点中，有且只有

一个点落在矩形AB，CD的边上，

・••反比例函数题勺图象只经过点A，或C1由

TT

{mnx+y=3n+l可得

mnx-3x+4=3n+l,

⑴若反比例函数心的图象经过点",

TT

Vmn=3,3x-

3x+4=3kt+l,解

得kt=l.

⑵若反比例函数卫的图象经过点C,

TT

mn=3,3x-

3x+4=-3kt+l,解

得kt=-1,

Vk>0,t>0,

**•kt--1不符合题意,

kt=1.故

选：B.

点评：(1)此题主要考查了位似变换问题，要熟练掌握，解答此

题的关键是要明确：①两个图形必须是相似形；②对应

点的连线都经过同一点；③对应边平行.

(2)此题还考查了二元一次方程组的求解方法,

与图形的性质，要熟练掌握.

6.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a/))图象的一部分，对称轴为

且经过点(2,0),有下列说法：①abc<0；②a+b=0；③

4a+2b+c<0④若(0,yi),(1,y2)是抛物线上的两点，则yi=y2.±

述说法正确的是()

A①②④B③④C①③④D①②

考点:二次函数图象与系数的关系.

专题:压轴题.

分析:①根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y轴交

点位置求得a、b、c的符号；

②根据对称轴求出b=-a；

③把x=2代入函数关系式，结合图象判断函数值与0的

大小关系；

④求出点(0,yi)关于直线及勺对称点的坐标，根据对

称轴即可判断yi和y2的大小.

啥解：①,・,二次函数的图象开口向下，

.*.a<0,

・・,二次函数的图象交y轴的正半轴于一点，

.*.c>0,

・・,对称轴是直线g

••-2a4'

••b--a>0,

/•abc<0.

故①正确；

・・a十D二u,

故②正确；

③把x=2代入y=ax2+bx+c得：y=4a+2b+c,

•・•抛物线经过点(2,0),

・••当x=2时，y=0,即

4a+2b+c=0.故③错误；

④・・・(。，yD关于直线阴勺对称点的坐标是(1,yi),

yi=y2.故

④正确；

综上所述，正确的结论是①②④.

_____故选：A________________________________________

点评：本题考查了二次函数的图象和系数的关系的应用，注

意：当a＞。时，二次函数的图象开口向上，当a＜。时,

二次函数的图象开口向下.

7.如图，在AABC中，AB=CB,以AB为直径的。。交AC

于点D.过点C作CF〃AB,在CF上取一点E,使DE=CD,

连接AE.对于下列结论：①AD=DC；②△CBAs^CDE；③

«；@AE为。O的切线，一定正确的结论全部包含其中的

选项是()

A①②B①②③C①④D①②④

考点:切线的判定；相似三角形的判定与性质.

专题:压轴题.

分析:根据圆周角定理得NADB=90。，贝IJBDXAC,于是根

据等腰三角形的性质可判断AD=DC,则可对①进行判

断；利用等腰三角形的性质和平行线的性质可证明/

1=N2=N3=N4,则根据相似三角形的判定方法得到

△CBA-ACDE,于是可对②进行判断；由于不能确

定/I等于45°,则不能确定与相等，则可对③进行

判断；利用DA=DODE可判断NAEC=90。，即CE±

AE,根据平行线的性质得到ABXAE,然后根据切线

的判定定理得AE为。。的切线，于是可对④进行判

断.

啥解：:AB为直径，

ZADB=90°,

ABDXAC,

而AB=CB,

・・・AD=DC,所以①正确；

VAB=CB,

AZ1=Z2,

而CD=ED,

・・・N3=N4,

VCF/7AB,

・・・N1=N3,

・・.N1=N2=N3=N4,

.,.ACBA^ACDE,所以②正确；

・・・AABC不能确定为直角三角形，

・・・N1不能确定等于45°,

・・・与不能确定相等，所以③错误；

・;DA=DC=DE,

・••点E在以AC为直径的圆上，

・•・ZAEC=90°,

.\CEXAE,

而CF〃AB,

・・・ABJLAE,

・・・AE为。。的切线，所以④正

确.故选：D.

点评•本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这

条半径的直线是圆的切线.也考查了等腰三角形的性

质、平行线的性质和相似三角形的判定.

8.如图，点P是NAOB内任意一点，0P=5cm,点M和点N

分别是射线0A和射线0B上的动点，APNIN周长的最小值

是5cm,则NAOB的度数是（）

B

A25°B30°

考点轴对称-最短路线问题.

专题压轴题.

分析:分别作点P关于OA、0B的对称点C、D,连接CD

分别交OA、0B于点M、N,连接OC、ODSPM.PN

MN,由对称的性质得出PM=CM,OP=OC,ZCOA=

ZPOA；PN=DN,OP=OD,ZDOB=ZPOB,得出/

AOB^ZCOD,证出AOCD是等边三角形，得出/

COD=60。，即可得出结果.

解：解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D,连接

CD,

分别交OA、OB于点M、N,连接OC、OD、PM、PN'

MN,如图所示：

点P关于OA的对称点为D,关于OB的对称点为C

・・・PM=DM,OP=OD,ZDOA=ZPOA；

•・,点P关于OB的对称点为C,

・・・PN=CN,OP=OC,ZCOB=ZPOB,

・・・OC=OP=OD,ZAOB^ZCOD,

2

丁APMN周长的最小值是5cm,

・•・PM+PN+MN=5,

・•・DM+CN+MN=5,

即CD=5=OP,

•\OOOD=CD,

即4OCD是等边三角形，

・・・NCOD=60。，

・•・ZAOB=30°；

故选：B.

°AC：

»•A

评：本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形

的判定与性质；熟练掌握轴对称的性质，证明三角形是

等边三角形是解决问题的关键.

9.如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的

小正方形CEFG,动点P从点A出发，沿A—D—E-F-G—B

的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点

B）,则AABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是（）

考点：动点问题的函数图象.

专题：压轴题.

分析：根据点P在AD、DE、EF、FG、GB上时，4ABP的

面枳S与时间t的关系确定函数图象.

解答：解：当点P在AD上时，AABP的底AB不变，高增

大，所以4ABP的面枳S随着时间t的增大而增大；

当点P在DE上时，AABP的底AB不变，高不变，

所以4ABP的面积S不变；

当点P在EF上时，4ABP的底AB不变，高减小，

所以AABP的面枳S随着时间t的减小；

当点P在FG上时，ZkABP的底AB不变，高不变，

所以4ABP的面枳S不变；

当点P在GB上时，AABP的底AB不变，高减小，

所以4ABP的面枳S随着时间t的减小；

故选：B.

点评：本题考查的是动点问题的函数图象，正确分析点P在

不同的线段上aABP的面枳S与时间t的关系是解题

的关键.

10.如图，RtAABC中NC=90°,NBAC=30°,AB=8,以0

为边长的正方形DEFG的一边CD在直线AB±,且点D与

点A重合，现将正方形DEFG沿A-B的方向以每秒1个单

位的速度匀速运动，当点D与点B重合时停止，则在这个运

动过程中，正方形DEFG与AABC的重合部分的面积S与运

动时间t之间的函数关系图象大致是()

考点:动点问题的函数图象.

专题:压轴题.

分析:首先根据R3ABC中NC=90。，NBAC=30。，AB=8,

分别求出AC、BC,以及AB边上的高各是多少；然后

根据图示,分三种情况:⑴当。主2“狎⑵当2斥”时

⑶当6<t<8时；分别求出正方形DEFG-^AABCG勺重

合部分的面枳S的表达式，进而判断出正方形DEFG与

△ABC的重合部分的面枳S与运动时间t之间的函数关

系图象大致是哪个即可.

啥解：如图1,CH是AB边上的高，与AB相交于点H'

VZC=90°,ZBAC=30°,AB=8,

・・・AC=ABxcos30*8x*4,BC=ABxsin30*8x产，

・・・CH=ACx,AH二，

(1)当03区2时，

S-.If(ftan30°)=噂t?,

26

F_____EC

二

GA(D')HB

图1

⑵当2时，

s蒜.(t*tan30°)一£(t-2>/3)*[(t-2«)，tan30°]

=景2-亚停-4国+12]

=2t-2M

(3)当6〈正8时，

S—Ax[(t-2y)・tan300+2V^]x[6-(t-2«+^x[(8-

t)*tan60°+2^]x(t-6)

x[曰t+2y-2[x[-t+2«,x[-V3t+ioVs]x(t-6)

二-歌+2t+4&t2+晒t-30T

二-结t2+(2+8«)t-26M

3

综上，可得

g：0<t<2对

0

S三2t-2^3>273<t=<6

+(2+8«)t-267316<t<8

・・・正方形DEFG与AABC的重合部分的面积S与运动时

间t之间的函数关系图象大致是A图象.

故选：A.

占评•(1)此题主要考查了动点问题的函数图象，解答此类问题

的关键是通过看图获取信息，并能解决生活中的实际问

题，用图象解决问题时，要理清图象的含义即学会识图

(2)此题还考查了直角三角形的性质和应用，以及三角

形、梯形的面积的求法，要熟练掌握.

11.如图所示，MN是。O的直径，作AB_LMN,垂足为点D,

连接AM,AN,点C为篇上一点，且竟二编连接CM,交AB

于点E,交AN于点F,现给出以下结论：

①AD=BD；②NMAN=90°；③篇与T;④NACM+NANM=/

MOB；⑤AEWMF.

2

其中正确结论的个数是（

C4D5

考点圆周角定理；垂径定理.

专题压轴题.

分析•根据ABJ_MN,垂径定理得出①③正确，利用MN是

直径得出②正确二二，得出④正确，结合②④得出

⑤正确即可.，

略;解：:MN是。O的直径，ABXMN,

・・・AD=BD,二,NMAN=90。（①②③正确）

,二，

•_

••1

・•・NACM+NANM=NMOB（④正确）

NMAE=NAME,

.*.AE=ME,NEAF二NAFM,

・・・AE=EF,

・・・AE=£MF(⑤正确).

正确的结论共5

个.故选：D.

点评•此题考查圆周角定理，垂径定理，以及直角三角形斜边

上的中线等于斜边的一半等知识.

12.在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为(-3,0),

(3.0),点P在反比例函数2的图象上，若APAB为直角三角

形，则满足条件的点P的个数为()

A2个B4个C5个D6个

考点反比例函数图象上点的坐标特征；圆周角定理.

专题压轴题.

分析:分类讨论：现NPAB=90。时，则P点的横坐标为-3,

根据反比例函数图象上点的坐标特征易得P点有1个

②当NAPB=90。，设2),根据两点间的距离公式

X

和勾股定理可得(x+3)2+(z)2+(x-3)2+0)2=36,此时P点

XX

有4个，③当/PBA=90。时，P点的横坐标为3,此时

P点有1个.

皤:解：①当NPAB=90。时，P点的横坐标为-3,把x=-

3代入2得春所以此时P点有1个；

②当NAPB=90。，设P(x2),PA2=(X+3)2+(2)2,PB2=(X

YX

-3)2+C)2,AB2=(3+3)2=36,

X

因为PA2+PB2=AB2,

所以2)2+(X-3)2+0)2=36,

XX

整理得X4—9X2+4=0,所以竺焙或小普，

所以此时P点有4个，

③当NPBA=90。时,P点的横坐标为3,把x=3代入

y=2得看所以此时P点有1个；

综上所述，满足条件的P点有6

个.故选：D.

评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例

函数gk为常数，k/))的图象是双曲线，图象上的点

(x,y)的横纵坐标的积是定值k,即xy=k.

13.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a，0)的图象与x轴交于A,B

两点，与y轴交于点C,且OA=OC.则下列结论：

①abc<0；②b2-4ac>0;③ac-b+l=O；@OA*OB=-

4a

其中正

A4B3C2DI

考点:二次函数图象与系数的关系.

专题:压轴题；数形结合.

分析:由抛物线开口方向得a<0,由抛物线的对称轴位置可得

b>0,由抛物线与y轴的交点位置可得c>0,则可对①

进行判断；根据抛物线与x轴的交点个数得到b2-4ac

>0,加上a<0,则可对②进行判断；利用OA=OC可

得到A(-c,0),再把A(-c,0)代入y=ax2+bx+c得ac2

-bc+c=0,两边除以c则可对③进行判断；设A(xi,0)

B(X2.0),则OA=-xi,OB=X2,根据抛物线与x轴的

交点问题得到XI和X2是方程ax2+bx+c=0(a/))的两根，

利用根与系数的关系得到二于是二

aa

则可对④进行判断.

啥解：•・,抛物线开口向下，

.*.a<0,

•・,抛物线的对称轴在y轴的右侧，

・・・b〉0,

•・,抛物线与y轴的交点在x轴上方，

Ac>0,

abc<0,所以①正确;

•・•抛物线与x轴有2个交点，

A=b2-4ac>0,

而a<0,

・・・¥<o,所以②错误；

VC(0,c),OA=OC,

・・・A(-c,0),

把A(-c,0)代入y=ax2+bx+c得ac2-bc+c=0,

•**ac-b+l=0,所以③正确；

设A(xi,0),B(X2,0),

•・•二次函数y=ax2+bx+c(a/))的图象与x轴交于A,B两

/占w\J

.*.X1和X2是方程ax2+bx+c=0(ar0)的两根，

.•.X1・X2=£,

a

・・・OA・OB=-c，所以④正

a

确.故选：B.

评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数

y=ax2+bx+c（a^0）,二次项系数a决定抛物线的开口方向

和大小：当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛

物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定

对称轴的位置：当a与b同号时（即ab>0）,对称轴在y

轴左；当a与b异号时（即ab<0）,对称轴在y车蛤.（简

称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛

物线与y轴交于（0,c）；抛物线与x轴交点个数由△决

定：A=b2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；A=b2

-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；A=b2-4ac<0

时，抛物线与x轴没有交点.

14.如图，在矩形中截取两个相同的正方形作为立方体的上下

底面，剩余的矩形作为立方体的侧面，刚好能组成立方体.设

矩形的长和宽分另为y和x,贝ijy与x的函数图象大致是（）

考点函数的图象.

专题压轴题.

分析:立方体的上下底面为正方形，立方体的身为X,则得出

y_1X=4X,再得出图象即可.

角辂：解：正方形的边长衿y-ix=2x,

・・・y与X的函数关系式为多，

故选：B.

评：本题考查了一次函数的图象和综合运用，解题的关键是

从多等于该立方体的上底面周长，从而得到关系

式.

15.如图，△ABC,4EFG均是边长为2的等边三角形，点D

是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M.当4EFG

绕点D旋转时，线段BM长的最小值是（）

A

A2-EBF+1CD市-1

考点旋转的性质；四点共圆；线段的性质：两点之间线段

最短；等边三角形的性质；勾股定理；相似三角形的

判定与性质.

专题压轴题.

分析:取AC的中点0,连接AD、DG、BO、0M,如图，

易证△DAGs^DCF,则有NDAG=NDCF,从而可得

A、D、C、M四点共圆，根据两点之间线段最短可得

B0<BM+0M,即BM>B0-0M,当M在线段B0与

该圆的交点处时，线段BM最小，只需求出BO、OM

的值，就可解决问题.

啥解：AC的中点O,连接AD、DG、BO、OM,如图

:△ABC,4EFG均是边长为2的等边三角形，点D

是边BC、EF的中点，

・・・ADJ_BC,GD±EF,DA=DG,DC=DF,

・・・NADG=90°-NCDG二NFDC，第二骼

ADAG^ADCF,

:.ZDAG=ZDCF.

・・・A、D、C、M四点共圆.

根据两点之间线段最短可得：B0SBM+0M,即

BM>BO-0M,，

当M在线段BO与该圆的交点处时，线段BM最小

此时，BO===爰C=l,

贝IJBM=BO-OM=-

1.故选：D.

点评•本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性

质、相似三角形的判定与性质、四点共圆的判定、勾

股定理、两点之间线段最短等知识，求出动点M的运

动轨迹是解决本题的关键.

16.如图，R3ABC中，NACB=90。，AC=3,BC=4,将边

AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿

CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点处，两条折痕与

斜边AB分别交于点E、F,则线段BF的长为（）

D9

考点：翻折变换（折叠问题）.

专题：压轴题.

分析：首先根据折叠可得CD=AC=3,B，C=BC=4,

NACE=NDCE,NBCF=NBCF,CE_LAB,

然后求得AECF是等腰直角三角形，进而求

得/ED=AE1,从而

55

求得春在R3BDF中，由勾股定

5

理即可求得B下的长.

解答：解：根据折叠的性质可知CD=AC=3,

B，C=BC=4,NACE二NDCE,NBCF=NBCF

CE±AB,

.*.BrD=4-3=l,NDCE+NBCF=NACE+N

BCF,

ZACB=90°,

・•・NECF=45。，

•••△ECF是等腰直角三角形，

・・・EF=CE,NEFO45。，

・・・ZBFC=ZBTC=135°,

・•・ZBTD=90°,

,/SAABC=1AC-BC=1AB-CE,

•••AC・BC=AB・CE,

;根据勾股定理求得AB=5,

・・・

CER5,，

EF=12ED=AE=N

/.DF=EF-ED=3

5

ABT=

—4•

故选：B.

点评：此题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判

定和性质，勾股定理的应用等，根据折叠的

性质求得相等的相等相等的角是本题的关

键.

17.已知二次函数y=ax?+bx+c+2的图象如图所示，顶点为(-

1,0),下列结论：©abc<0；®b2-4ac=0；©a>2；@4a-

2b+c>0.其中正确结论的个数是()

C3D4

考点:二次函数图象与系数的关系.

专题压轴题.

分析.①首先根据抛物线开口向上，可得a>0；然后根据对

称轴在y轴左边，可得b〉0；最后根据抛物线与y轴

的交点在x轴的上方，可得c>0,据此判断出abc>0

即可.

②根据二次函数丫=ax?+bx+c+2的图象与x轴只有一个

交点，可得△=(),即b2-4a(c+2)=0,b2-4ac=8a>0

据此解答即可.'

③首先根据对称轴安二-1,可得b=2a,然后根据

b2-4ac=8a,确定出a的取值范围即可.

④根据对称轴是-1,而且x=0时，y>2,可得x二

-2时,y>2,据此判断即可.

而珞：解：・・•抛物线开口向上,

.*.a>0,

•・•对称轴在y轴左边，

・・・b〉0,

•・•抛物线与y轴的交点在x轴的上方,

•*.c+2>2,

.*.c>0,

abc>0,

・•・结论①不正确；

二•二次函数y=ax2+bx+c+2的图象与x轴只有一个交

八占、、J

・•・△二(),

艮|]b2-4a(c+2)=0,

b2-4ac=8a>0,

・,・结论②不正确；

*对称轴-1，

・b=2a,

*b2-4ac=8a,

.4a2-4ac=8a,

・a二c+2,

,c>0,

.a>2,

.结论③正确；

:对称轴是X=-1,而且x=0时，y>2,

•**x=-2时,y>2,

4a-2b+c+2>2,

4a-2b+c>0.

・・・结论④正

确.综上，可

得

正确结论的个数是2个：③

④.故选：B.

点评：此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟

练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a

决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向

上开口；当a<0时，抛物线向下开口，•②一次项系数

b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b

同号时（即ab>0）,对称轴在y轴左；当a与b异号

时（即ab<0）,对称轴在y轴右.（简称：左同右异）③

常数项c决定抛物线与y轴交点.抛物线与y轴交于

(0.c).

18.如图，AB为半圆所在。O的直径，弦CD为定长且小于

。。的半径（C点与A点不重合），CFLCD交AB于点F,DE

LCD交AB于点E,G为半圆弧上的中点.当点C在京上运

动时，设立的长为x,CF+DE=y.则下列图象中，能表示y与

x的函数关系的图象大致是（）

DG

C

FEB

考点动点问题的函数图象.

专题压轴题.

分析:根据弦CD为定长可以知道无论点C怎么运动弦CD的

弦心距为定值，据此可以得到函数的图象.

啥解：作OHLCD于点H,

・・・H为CD的中点，

•・・CF_LCD交AB于F,DEJ_CD交AB于E,

・・・OH为直角梯形的中位线，

;弦CD为定长，

・・・CF+DE=y为定值，

故选：B.

DG

a

AFaEB

评：本题考查了动点问题的函数图象，解题的关键是化动为

静.

19.如图，AABC中，AB=AC,D是BC的中点，AC的垂直

平分线分别交AC、AD、AB于点E、0、F,则图中全等三角

形的对数是（）

A1对B2对C3对D4对

考点:全等三角形的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角

形的性质.

专题:压轴题.

分析:根据已知条件“AB=AC,D为BC中点;得出ZkABD

^AACD,然后冉由AC的垂直平分线分别交AC、AD、

AB于点E、O、F,推出△AOEZ/kEOC,从而根据“SSS”

或“SAS”找到更多的全等三角形，要由易到难，不重不

漏.

畸解：:AB=AC,D为BC中点，

•'•CD=BD,NBDONCDO90。，

在4ABD和4ACD中，

'AB=AC

-AD=AD,

BD=CD

.'.△ABD^AACD；

VEF垂直平分AC,

・・・OA=OC,AE=CE,

在AAOE^ACOE中，

OA=OC

■OE=OE,

AEXE

AAOE^ACOE；

ISABOD和△COD中，

'BD=CD

■ZBD0=ZCD0,

OD=OD

.,.△BOD^ACOD；

在AAOC和AAOB中，

'AC=AB

■OA=OA,

OC=OB

AAOC^AAOB；

故选：D.

评：本题考查的是全等二角形的判定方法；这是一道考试常

见题，易错点是漏掉△ABOZZXAC。，此类题□」以先

根据直观判断得出可能全等的所有三角形，然后从已知

条件入手，分析推理，对结论一个个进行论证.

20.二次函数y=ax2+bx+c（a，0）的图象如图所示，下列结论：

①2a+b>0；②abc<0；®b2-4ac>0；④a+b+c<0；⑤4a-

2b+c<0,其中正确的个数是（）

B3C4D5

考点：二次函数图象与系数的关系.

专题：压轴题.

分析：由抛物线开口向下得到a<0,由对称轴在x=l的右侧

得到白>1,于是利用不等式的性质得到2a+b>0；

由a<0,对称轴在y轴的右侧，a与b异号，得至ijb

〉Q抛物线与y轴的交点在x轴的下方得到c<0,于

是abc>0；抛物线与x轴后两个交点，所以△=b2-4ac

>0；由x=l时，y>0,可得a+b+c>0；由x=-2时

y<0,可得4a-2b+c<0.

军答：解：①;抛物线开口向下，

.*.a<0,

・・・对称轴

±za>1,

.*.2a+b>0,故①正确；

(2)Va<0,-±>0,

・・・b〉0,

;抛物线与y轴的交点在x轴的下方,

Ac<0,

.*.abc>0,故②错误;

③;抛物线与x轴有两个交点,

A=b2-4ac>0,故③正确；

④・・・x=l时,y>0,

***a+b+c>0,故④错误；

⑤・.・x=-2时,y<0,

/.4a-2b+c<0,故⑤正

确.故选：B.

数y=ax2+bx+c(aR0)的图象，当a>0,开口向上，a<0

开口向下；对称轴为直线芯a与b同号，对称轴在

y轴的左侧，a与b异号，对称轴在y轴的右侧；当

c<0,抛物线与y轴的交点在x轴的下方；当4=b2一

4ac>0,抛物线与x轴有两个交点.

21.如图，口ABCD的对角线AC、BD交于点QAE平分/

BAD交BC于点E,且NADO60。，AB二尹C,连接OE.下

列结论：①NCAD=30。；②S°ABCD=AB・AC；③OB=AB；④

OE底BC,成立的个数有（）

A1个B2个C3个D4个

考点:平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三

角形的判定与性质；含30度角的直角三角形.

专题压轴题.

分析:由四边形ABCD是平行四边形，得到NABC=N

ADC=60。，NBAD=120。，根据AE平分/BAD,得到

NBAE=NEAD=60。推出4ABE是等边三角形，由于

AB底BC,得到第C,得到SBC是直角三角

形，于是得到NCAD=30。，故①正确；由于AC，

AB,得到，

S°ABCD=AB・AC,故②正确，根据第C,OB=1BD

且BD〉BC,得到ABWOB,故③错误；根据三角形的

中位线定理得到爰B,于是得到｛BC,故④正

确.

啥解：:四边形ABCD是平行四边形，

・・・NABC=NADC=60。，ZBAD=120°,

VAE平分/BAD,

・•・NBAE=NEAD=60。

•••△ABE是等边三角形，

・・・AE=AB=BE,

VAB=1BC,

AAE=lBC,

・•・NBAC=90。，

/.ZCAD=30°,故①正确;

VACXAB,

，S°ABCD=AB・AC,故②正确，

VAB=1BC,OB=3BD,

VBD>BC,

・・・ABWOB,故③错误；

VCE=BE,COOA,

・•・OE=1AB,

2，

AOE^BC,故④正

确.故选：c.

评：本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性

质，直角三角形的性质，平行四边形的面枳公式，熟练

掌握性质定理和判定定理是解题的关键.

22.如图，正方形ABCD的边长为6,点E、F分别在AB,

AD上，若CE=3小且NECF=45。，贝ljCF的长为（

A2vioB375C-lvioD学/^

考点全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质

专题压轴题.

分析首先延长FD到G,使DG=BE,利用正方形的性质得

NB二NCDF=NCDG=90。，CB=CD；利用SAS定理

得ABCE之Z\DCG,利用全等三角形的性质易得

△GCF^AECF,利用勾股定理可得AE=3,设AF=x

利用GF=EF,解得x,利用勾股定理可得CF.

解答解：如图，延长FD到G,使DG=BE；

连接CG、EF；

•・•四边形ABCD为正方形，

在ZkBCE与4DCG中，

[CB=CD

■ZCBE=ZCDG,

BE=DG

丁•△BCE之△DCG(SAS),

・・・CG=CE,NDCG=NBCE,

・•・ZGCF=45°,

在AGCF与ZkECF中，

[GC=EC

'ZGCF=ZECF,

CF=CF

•••△GCF空△ECF(SAS),

・・・GF=EF,

CE=3,CB=6,

BE=qL2_62=3,

・・・AE=3,

设AF二x,贝IJDF=6-x,GF=3+(6-x)=9-x,

EF==.

(9-x)2=9+x2,

x=4,

即AF=4,

・・・GF=5,

・・・DF=2,

:.CF===2,

故选：A.

L

AEB

点评本题主要考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理

等，构建全等三角形，利用方程思想是解答此题的关

键.

23.如图是抛物线yi=ax2+bx+c(a，0)图象的一部分，抛物线的

顶点坐标A(l,3),与x轴的一个交点B(4,0),直线

y2=mx+n(m，0)与抛物线交于A,B两点，下列结论：

①2a+b=0；②abc>0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数

根；④抛物线与x轴的另一个交点是(-1,。)；⑤当l〈x<4

时，有yi<yi,

其中正确的是()

A①②③B①③④C①③⑤D②④⑤

考点:二次函数图象与系数的关系，•抛物线与X轴的交点•

专题:压轴题；数形结合.

分析：根据抛物线对称轴方程对①进行判断；由抛物线开口

方向得到a<0,由对称轴位置可得b>0,由抛物线

与y轴的交点位置可得c〉0,于是可对②进行判断’

根据顶点坐标对③进行判断；根据抛物线的对称性对

④进行判断；根据函数图象得当1<x<4时，一次函

数图象在抛物线下方，则可对⑤进行判断.

啥解：•・,抛物线的顶点坐标A(l,3),

・•・抛物线的对称轴为直线/1,

2a+b=0,所以①正确；

•・,抛物线开口向下，

/.a<0,

/.b=-2a>0,

;抛物线与y轴的交点在x轴上方，

AO0,

abc<0,所以②错误；

•・,抛物线的顶点坐标A(l,3),

・・.x=l时，二次函数有最大值，

・・・方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，所以③正

确；

•・•抛物线与x轴的一个交点为(4,0)

而抛物线的对称轴为直线x=l,

・••抛物线与x轴的另一个交点为(-2,0),所以④错

误；

;抛物线yi=ax2+bx+c与直线y2=mx+n(n/0)交于

A(l,3),B点(4,0)

・,•当l<x<4时，y2<yi,所以⑤正确.

故选：C.

点评1本题考查了二次项系数与系数的关系：对于二次函数

y=ax2+bx+c（a^0）,二次项系数a决定抛物线的开口方

向和大小：当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时

抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同

决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab>0）,对称

轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0）,对称轴在

y轴右.（简称：左向右异）；常数项c决定抛物线与y

轴交点：抛物线与y轴交于（0,c）,•抛物线与x轴交

点个数由△决定：4=b2-4ac〉0时，抛物线与x轴有

2个交点；A=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交

点；A=b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点.

24.在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx与y=bx+a的图

考点二次函数的图象；一次函数的图象.

专题压轴题.

分析：首先根据图形中给出的一次函数图象确定a、b的符号，

的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论解析，即可解

决问题.

解答：解：A、对于直线产bx+a来说，由图象可以判断，a

>0,b>0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，对称轴x二

-A<0,应在y轴的左侧，故不合题意，图形错误.

za

B、对于直线丫4*+2来说，由图象可以判断，a<0,b

<0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图象应开口向下，

故不合题意，图形错

误.C、对于直线y二bx+a

来说，由图象可以判断，a<0,b

>0；而对于抛物线y=ax2+bx来说图象开口向下，对

称轴4立于y轴的右侧，故符合题意，

Na

D、对于直线丫点*+@来说，由图象可以判断，a〉0,b

>0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图象开口向下，a

<0,故不合题意，图形错误.

_____故选：C.________________________________________

占评•此主要考查了一次函数、二次函数图象的性质及其应用

问题