试题分类9四边形（2020、2021年）江苏省中考各地区真题数学汇编分类

2020和2021年江苏省中考数学试题分类一一专题9四边形

一.选择题（共11小题）

I.（2021•泰州）如图，P为AB上任意一点，分别以AP、PB为边在AB同侧作正方形APCD.

正方形PBEF,设NCBE=a,则NAFP为（）

A.2aB.90°-aC.45°+aD.90°-1a

2.（2021•无锡）如图，D、E、尸分别是△ABC各边中点，则以下说法错误的是（）

A.△B3E和△£＞（?尸的面积相等

B.四边形AEQF是平行四边形

C.若AB=8C,则四边形AEZJF是菱形

D.若/A=90°,则四边形AE£＞尸是矩形

3.（2021•苏州）如图，在平行四边形ABC。中，将△ABC沿着4c所在的直线折叠得到△

AB'C,B'C交AD于点、E,连接B'D,若NB=60°,NACB=45°,AC=历，则"

D的长是（）

A.1B.V2C.V3D.—

2

4.（2021•扬州）如图，点A、B、C、D、E在同一平面内连接A3、BC、CD、DE、EA,若

ZBCD=100°,则NA+N3+NO+NE=()

C.260°D.280°

5.（2021•连云港）正五边形的内角和是（）

A.360°B.540°C.720°D.900°

6.（2021•南通）菱形的两条对角线的长分别是6和8,则这个菱形的周长是（）

A.24B.20C.10D.5

7.（2020喃通）下列条件中，能判定团A3CO是菱形的是（）

A.AC=BDB.ABLBCC.AD=BDD.ACLBD

8.（2020•盐城）如图，在菱形A8CO中,对角线AC、8。相交于点O,，为BC中点，AC

)

C.3D.5

9.（2020•扬州）如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点3,向左转45°后又沿直

线前进10米到达点C,再向左转45°后沿直线前进10米到达点。…照这样走下去，小

明第一次回到出发点4时所走的路程为（）

B

A.100米B.80米C.60米D.40米

10.（2020•连云港）如图，将矩形纸片A8C。沿BE折叠，使点A落在对角线BO上的A

处.若NO8c=24°,则NAEB等于（）

11.（2020•无锡）正十边形的每一个外角的度数为（）

A.36°B.30°C.144°D.150°

二.填空题（共15小题）

12.（2021•徐州）如图，四边形4BC£）与AEG/均为矩形，点£、尸分别在线段AB、AO上.若

BE=FD=2cm,矩形AEG尸的周长为20cm,则图中阴影部分的面积为cm1.

BC

13.（2021•常州）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形0ABe是平行四边形，其中点A

14.（2021•盐城）若一个多边形的每个外角均为40。，则这个多边形的边数为.

15.（2021•苏州）如图，四边形为菱形，ZABC=10Q,延长8c到E,在/。CE内

作射线CM,使得/ECM=15°,过点。作。尸，CM,垂足为F,若DF=相,则对角

线8。的长为.（结果保留根号）

16.（2021•扬州）如图，在团4BCD中，点E在AD上,且EC平分NBED,若NEBC=30°,

BE=10,则^ABCD的面积为.

17.（2021•扬州）如图，在△ABC中，AC=BC,矩形。EFG的顶点。、E在AB上，点尸、

G分别在BC、AC上,若CF=4,BF=3,且DE=2EF,则EF的长为

18.（2021•连云港）如图，菱形A3CQ的对角线AC、8。相交于点O,OELAD,垂足为E,

AC=8,BD=6,则OE的长为.

19.（2021•南通）正五边形每个内角的度数为.

20.（2020•镇江）如图，点尸是正方形48CD内位于对角线AC下方的一点，Z1=Z2,则

/BPC的度数为°.

21.（2020•宿迁）如图，在矩形A8C3中，AB=\,AD=V3,P为上一个动点，连接

BP,线段切与线段BQ关于BP所在的直线对称，连接PQ,当点P从点A运动到点。

时，线段PQ在平面内扫过的面积为.

22.（2020•常州）如图，点C在线段48上，且AC=2BC,分别以AC、8c为边在线段AB

的同侧作正方形ACCE、BCFG,连接EC、EG,则tanNCEG=.

23.（2020•常州）数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几

何中最好的东西，互相以长补短.在菱形ABCO中，AB=2,ZDAB=\20°.如图，建

立平面直角坐标系xOy,使得边A8在x轴正半轴上，点。在y轴正半轴上，则点C的

24.（2020•扬州）如图，在回ABCD中,NB=60°,AB=]0,8C=8,点E为边A8上的一

个动点，连接M并延长至点凡使得。F=，＞E,以EC、EF为邻边构造回EFGC,连接

EG,则EG的最小值为.

D

BC

25.（2020•连云港）如图，将5个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中，若顶点M、N

的坐标分别为（3,9）、（12,9）,则顶点A的坐标为.

%

26.（2020•无锡）如图，在菱形A8CQ中，NB=50°,点E在CD上，若AE=AC,则/

27.（2021•南通）如图，正方形ABCO中，点E在边4。上（不与端点A,£）重合），点4

关于直线BE的对称点为点尸，连接CF,设NA8E=a.

（1）求/BCF的大小（用含a的式子表示）；

（2）过点C作CG_LAF,垂足为G,连接。G.判断OG与C尸的位置关系，并说明理

由；

（3）将AABE绕点B顺时针旋转90°得到△C8H,点E的对应点为点H,连接BF,HF.当

△BFH为等腰三角形时，求sina的值.

28.（2021•徐州）如图1,正方形A8CD的边长为4,点尸在边AO上（尸不与A、£＞重合），

连接尸8、PC.将线段PB绕点P顺时针旋转90°得到尸E,将线段PC绕点P逆时针旋

转90°得到PF,连接EREA.FD.

（1）求证：

①APDF的面积5=1PD2；

②EA=FD；

（2）如图2,EA,口＞的延长线交于点M,取EF的中点N,连接MN,求MN的取值范

围.

图1图2

29.（2021•无锡）已知四边形ABC。是边长为1的正方形，点E是射线BC上的动点，以

AE为直角边在直线BC的上方作等腰直角三角形AEF,ZA£F=90°,设BE=nt.

备用图

（1）如图，若点E在线段BC上运动，EF交CD于点P,AF交C£＞于点。，连接CR

①当”射，求线段CF的长；

②在△PQE中，设边QE上的高为人请用含m的代数式表示力，并求〃的最大值；

（2）设过BC的中点且垂直于BC的直线被等腰直角三角形4EF截得的线段长为y,请

直接写出），与加的关系式.

30.（2021•盐城）如图，D、E、产分别是△ABC各边的中点，连接。E、EF、AE.

（1）求证：四边形AOEF为平行四边形；

（2）加上条件后，能使得四边形AOEF为菱形，请从①NBAC=90°；②AE平

分/3AC；③A8=AC这三个条件中选择1个条件填空（写序号），并加以证明.

31.（2021•宿迁）已知正方形A3C£＞与正方形AEFG,正方形AEFG绕点A旋转一周.

cp

（1）如图①，连接8G、CF,求力的值；

（2）当正方形4EFG旋转至图②位置时，连接C3BE,分别取C尸、BE的中点M、N,

连接MN、试探究：MN与BE的关系，并说明理由；

（3）连接BE、BF,分别取BE、BF的中点N、Q,连接QN,AE=6,请直接写出线段

QN扫过的面积.

32.（2021•宿迁）在①AE=CF：②OE=OF；③BE〃。厂这三个条件中任选一个补充在下面

横线上，并完成证明过程.

己知，如图，四边形ABC。是平行四边形，对角线AC、8。相交于点。，点E、尸在AC

上，（填写序号）.

33.（2021•扬州）如图，在△ABC中，N8AC的角平分线交BC于点D,DE//AB,DF//AC.

(1)试判断四边形4尸DE的形状，并说明理由；

(2)若NBAC=90°,且A£>=2或，求四边形AFCE的面积.

34.(2021•连云港)如图，点C是BE的中点，四边形A8C。是平行四边形.

(1)求证：四边形ACED是平行四边形；

(2)如果AB=AE,求证：四边形ACEQ是矩形.

35.(2021•连云港)在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动.

(1)ZVIBC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一点，且4E=1,小亮以8E为

边作等边三角形BEF,如图1.求CF的长；

(2)ZVIBC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一个动点，小亮以8E为边作等

边三角形BEF,如图2.在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长；

(3)△ABC是边长为3的等功三角形，M是高CO上的一个动点，小亮以为边作等

边三角形8MM如图3.在点M从点C到点。的运动过程中，求点N所经过的路径长；

图4

（4）正方形A8C。的边长为3,E是边C8上的一个动点，在点E从点C到点8的运动

过程中，小亮以8为顶点作正方形BFGH,其中点F、G都在直线AE上，如图4.当点

E到达点8时，点F、G、H与点B重合.则点H所经过的路径长为,

点G所经过的路径长为.

2020和2021年江苏省中考数学试题分类一一专题9四边形

参考答案与试题解析

选择题(共U小题)

1.【解答】解：•.•四边形PBEF为正方形，

:.NPBE=9Q°,

'：NCBE=a,

AZPBC=90°-a,

•.•四边形APC。、P3EF是正方形，

：.AP=CP,/人尸产=/。尸8=90°,PF=PB,

在△APF和△CP8中，

AP=CP

AAPF=^CPB,

PF=PB

.•.△AP尸丝△CPB(SAS),

AZAFP=ZPBC=90°-a.

故选：B.

2.【解答】解：A.连接EF,

,:D、E、尸分别是△ABC各边中点，

：.EF//BC,BD=CD,

设E尸和8c间的距离为/?,

11

:・SABDE=^BD",S於DCE=aD，h,

SABDE=S〉DCE，

故本选项不符合题意；

艮・・・£＞、E、尸分别是△ABC各边中点，

J.DE//AC,DF//AB.

J.DE//AF,DF//AE,

・・・四边形AED尸是平行四边形，

故本选项不符合题意；

C・・・。、E、尸分别是△ABC各边中点，

：.EF=^BC,DF=^AB,

若AB=BC,则FE=DF,

：.四边形AEDF不一定是菱形，

故本选项符合题意；

D；四边形/是平行四边形，

...若/A=90°,则四边形尸是矩形,

故本选项不符合题意；

故选：C.

3•【解答】解：•••四边形ABC。是平行四边形，

：.AD//BC,AB//CD,ZA£)C=60°,

：.ZCAE=ZACB=45°,

•.•将AABC沿AC翻折至△AB'C,

J.ZACB'=/4CB=45°,ZAB'C=/8=60°,

/.Z/1EC=180°-ZC4E-ZACB'=90°,

：.AE=CE=^AC=V3,

VZAEC=90°,ZAB'C=60°,ZADC=60°,

：.NB'A£>=30°,Z£)CE=30°,

：.B'E=DE=L

：.B'D=yjB'E2+DE2=V2.

故选：B.

'：ZBCD=\QQ°,

：.ZCBD+ZCDB=\SO°-100°=80°,

AZA+ZABC+ZE+ZCDE=360Q-NCBD-NCDB=360°-80°=280°,

故选：D.

5.【解答】解：正五边形的内角和是：（5-2）X1800=3X180°=540°,

故选：B.

6•【解答】解：如图所示，

根据题意得4。=n6=3,8。=品8=4,

•••四边形48co是菱形，

：.AB=BC=CD=DA,ACLBD,

...△AO8是直角三角形，

>JAO2+BO2=5,

二此菱形的周长为：5X4=20.

7.【解答】解：•.•四边形ABCO是平行四边形，

...当ACLBO时，四边形A8CO是菱形；

故选：D.

8.【解答】解：•.•四边形A8CO为菱形，

：.ACVBD,。8=0。=件）=4,OC=O4=yC=3,

在RtABOC中，BC=\IOB2+OC2=V32+42=5,

•.•H为8c中点，

：.OH=5BC=|.

故选：B.

9.【解答】解：•••小明每次都是沿直线前进10米后向左转45度,

,他走过的图形是正多边形,

...边数〃=360°+45°=8,

...他第一次回到出发点A时，一共走了8X10=80(m).

故选：B.

10.【解答】解：•••四边形ABCZ)是矩形，

.,./A=/A8C=90°,

由折叠的性质得：ZBA'E=ZA=90°,ZA'BE=ZABE,

：.ZA'BE=ZABE=(90°-NDBC)(90°-24°)=33°,

：.ZA'£B=90°-ZA'BE=90°-33°=57°.

故选：C.

11•【解答】解：正十边形的每一个外角都相等，

因此每一个外角为:360°4-10=36°,

故选：A.

二.填空题(共15小题)

12•【解答】解：•；矩形AEGF的周长为20c»i,

：.AF+AE=\0cm,

'：AB=AE+BE,AD=AF+DF,BE=FD=2cm,

.•.阴影部分的面积=A8XA£>-AEXAF=(AE+2)(A"2)-AEXAF^24Cem2),

故答案为：24.

13•【解答】解：•.•四边形0ABe是平行四边形，BC=3,

：.OA=BC=3,

•.•点A在x轴上，

.♦.点A的坐标为(3,0),

故答案为：(3,0).

14.【解答】解：360°+40°=9,

故答案为：9.

15.【解答］解：如图，连接AC交8。于点H,

D

由菱形的性质得NBOC=35°,NDCE=70°,

又：NMCE=15°,

：.ZDCF=55°,

'：DF±CM,

：.ZCDF=35°,

又；四边形ABC。是菱形，

.♦.BO平分NAOC,

：.ZHDC=35Q,

在△C£)H和△€■£>产中，

(/CHD=/CFD

jZ.HDC=/.FDC>

{DC=DC

:.△CDglXCDF(A45),

：.DF=DH=瓜

:.DB=2相,

故答案为26

16.【解答】解：过点E作EFLBC,垂足为F,

VZEBC=30°,BE=10,

1

；・EF=^BE=5,

・・・四边形ABCD是平行四边形,

:・AD〃BC,

：.ZDEC=/BCE,

又EC平分/BED,即ZBEC=/DEC,

：.NBCE=NBEC,

：.BE=BC=\Of

：.四边形ABCD的面积=8CXE尸=10X5=50,

故答案为：50.

17.【解答】解：U：DE=2EF,设则。£=2%,

・・•四边形。上尸G是矩形，

：.GF//ABf

/.△CGF^ACAB,

GFCF442x4

即一=一,

AB~CB~4+3-7'AB7

：7x

.AB=亍

7r3

：.AD+BE=AB-DE=苛-2%=尹,

VAC=BC,

・・・NA=N8,

在△AQG和△BEb中，

=/B

\^ADG=乙BEF，

(OG=EF

：.(AAS),

3

：.AD=BE=^xf

itRtABEF+，B序+EF2=BF2,

即弓》)2+x2=32,

解得：产等或-半(舍)，

.万户12

••Er=-g-,

,12

故t1答案为：—.

18.【解答】解：・・•四边形438是菱形,

:・AC2BD,AO=CO,DO=BO,

VAC=8,BD=6,

・・・AO=4,QO=3,

：.AD=7A02+D()2=V424-32=5,

又;OE±AD9

.AODOADOE

••=，

22

.4X350E

22

解得0E=导，

一,12

故答案为：

19.【解答】解：方法一：(5-2)-180°=540°,

5400+5=108°；

方法二：360°4-5=72°,

180°-72°=108°,

所以，正五边形每个内角的度数为108。.

故答案为：108°.

20.【解答】解：,・,四边形A8CD是正方形，

/.ZACB=ZBAC=45°,

・・・N2+NBCP=45°,

VZ1=Z2,

：.Z]+ZBCP=45°,

VZBPC=180°-Z1-ZBCP,

AZBPC=135°,

故答案为：135.

21.【解答】解：I•当点P从点A运动到点。时，PQ=PA,

；•点。运动轨迹是圆弧，如图，阴影部分的面积即为线段P。在平面内扫过的面积,

A

D(P)

Q

・・•矩形ABC。中，AB=1,AD=瓜

・・・/ABC=/84C=NC=NQ=90°.

：・/ADB=NDBC=/ODB=NOBQ=30°,

AZABQ=nO°,

由矩形的性质和轴对称性可知，ABOQ^/\DOC,S^ABD=S^BQD^

:・S阴影部分=5四边形ABQ。-S扇形48。=25故8£>-S扇形A8Q，

=S矩形ABCQ-S扇形ABQ=1XV3-"黑Z=百一生

故答案为：V3—

22.【解答】解：连接CG,

在正方形ACQE、BCFG中,

NECA=NGCB=45°,

ZECG=90°,

VAC=2BC,

・••设AC=2mBC=a,

CE=2\[2a,CG=y/2a,

・

••*tan/zm_Ce/sG=CG1

23•【解答】解：•・•四边形A3C。是菱形，且A3=2,

：.CD=AD=AB=2,

・.・NZM8=120°,

AZOAD=60a,

RtZSAO。中，ZADO=30°,

OA=9/)=1x2=1,OD=V22-I2=V3,

：.C(2,V3),

故答案为：(2,V3).

24.【解答】解：作C”_LA8于点”，

♦.•在121ABec中，ZB=60°,BC=8,

:.CH=4痘,

•；四边形ECGF是平行四边形，

：.EF//CG,

.♦.△EOQS/XGOC,

.EODOED

"GO~OC~GC'

,:DF=箝E,

.DE4

••=一,

EF5

•_E_D__4_

••=—,

GC5

EO4

''GO~5，

当EO取得最小值时，EG即可取得最小值，

当EOJ_C。时，EO取得最小值，

：.CH=EO,

.".EO=4V3,

：.GO=5y/3,

；.EG的最小值是9旧，

故答案为：9V3.

AD

25•【解答】解：如图,

%

~0x

;顶点M、N的坐标分别为(3,9)、(12,9),

轴，MN=9,BN〃y轴，

.•.正方形的边长为3,

：.BN=6,

.,.点B(12,3),

'JAB//MN,

；.A8〃x轴，

；.点A(15,3)

故答案为(15,3).

26.【解答】解：..•四边形ABCZ)是菱形，

.♦.C4平分/BCD,AB//CD,

；./BAE+/A£；C=180°,ZB+ZBC£)=180°,

.•.ZBC£>=180°-ZB=180°-50°=130°,

，/ACE=；/BCO=65°,

'：AE=AC,

：.ZAEC^ZACE^65°,

.,.ZBAE=180°-ZA£C=115°；

故答案为：115.

三.解答题（共9小题）

27.【解答】解：（1）如图1,连接8F,

D

B

・・,点A关于直线BE的对称点为点F,

：.AB=BF,BELAF,

：.NABE=NEBF=CL,

：.ZCBF=90°-2a,

・・•四边形ABC。是正方形，

:.AB=BC,

:・BF=BC,

;./BC代竺竺等2=45。+a；

（2）DG//CF,

理由如下：如图2,连接4C,

图2

丁四边形ABC。是正方形，

AZACD=45°,ZADC=90°,

VCG1AF,

：.ZCGA=ZADC=90°,

・,•点A,点。，点G,点。四点共圆,

AZAGD=ZACD=45°,

9

：AB=BF9ZABF=2a9

180。—2a

：.ZAFB==90

2

AZAFC=135°,

：.ZCFG=45°=ZDGAf

：.DG//CF；

(3)・：BE>AB,

:・BH>BF,

:.BHWBF；

如图3,当BH=FH时,过点“作"N_LB尸于N,

・・•将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△C8”，

:•△ABEQ4BCH,NEBH=900=ZABC,

：.AE=CH,BE=BH,NABE=/CBH=a=NFBE,AB=BC,

：.NHBF=90°-a,

*：BH=FH,HNLBF,

:.BN=NF=3BF=%B,NBNH=90°=/BAE,

：./BHN=a,

：./ABE=/BHN,

:AABE^^NHB(ASA),

：.BN=AE=^AB,

：.BE=UE2+a82=岳AE,

..AE/5

・・smaRF

当3/=/77时,

・・・/FBH=ZFHB=90°-a,

：.NBFH=2a=NABF,

：.AB//FH,

即点尸与点C重合，则点E与点。重合，

・・•点E在边AO上(不与端点A,。重合)，

・・・8尸=尸"不成立，

综上所述：sina的值为

28.【解答】(1)证明：如图1,作FGL4O,交A。的延长线于点G,作EHLA。，交D4

的延长线于点H.

①由旋转得，PF=CP,NCP尸=90°,

•..四边形ABCO是正方形，

AZP£>C=90°,

VZFPG+Z£)PC=90°,NPCD+NDPC=9Q°,

:・/FPG=/PCD,

9：ZG=ZPDC=W°,

:.△FPG"APCD(A4S),

:・FG=PD,

：./\PDF的面积S=枭D・FG=

②由①得，△FPGg/\PCO,

:.PD=FG,PG=CD=4,

同理，△EPHQXPBA,

:.EH=AP,PH=BA=4,

*：AH=4-AP=PD,

：.AH=FG；

U：AP=4-PD=DG,

:.EH=DG・、

VZ/7=ZG=90°,

：./\EAH^/\DFG(SAS),

：.EA=FD.

(2)如图2,在图1的基础上，作尸于点3则NfZE=N/7J7=90°,

・・・四边形"L尸G是矩形，

:.LH=FG=AH,也=G”=4+4=8；

：EH=%AH=PD,

：.EH+AH=PA-^PD=AD=4；

设PO=m,EL=n,(/n>0,〃20),则LH=AH=/w,

•\n=4-2/n；

,:EF1=E£2+FL2=n2+82=M2+64,

：.EF=7n2+6%

...EF随〃的增大而增大；

由"=4-2"可知，〃随MI的增大而减小，

当“2=2时，〃屐小=0,此时，EF®/b=V64=8；

若a=0,贝IJ〃最大=4,此时，EF及大=-42+82=4西,

:点P不与点A、O重合，

：.n<4,EF<4V5,

：.EF的取值范围是8WEF<4店,

.".4<|£F<2V5；

VZADM=ZGDF=ZHEA,ZDAM=ZHAE,

：.ZADM+ZDAM^ZHEA+ZHAE=90°,

AZEMF=90°；

是EF的中点，

1

:・MN=汐,

：.MN的取值范围是4WMN<2底

29.【解答】解：（1）①过尸作尸G_LBC于G,连接CF,如图:

ECG

・・•四边形A3C。是正方形，NAE尸=90°,

：.ZBAE=90°-NAEB=NFEG,N8=/G=90°,

・・,等腰直角三角形AER

：.AE=EFf

在△ABE1和尸中，

=NG

\z-AEB=/-EFG^

VAE=EF

：./XABE^AEGF(A4S),

；・FG=BE=W，EG=AB=BC,

：.EG-EC=BC-EC,即CG=BE=

,__________万

在RtACGF中，CF=yJCG2+FG2=~

②△4BE绕A逆时针旋转90°,得△ADE,过P作PH_LE。于"，如图:

:△ABE绕A逆时针旋转90°,得△AOE,

.'.△ABE丝△ADE,ZB=ZADE=90°,NBAE=NDAE,NAEB=NE,AE=AE,

BE=DE,

.•./A£>C+/AZ)E=180°,

：.C>D,E共线，

；N8AE+NE4£>=90°,

；.NDAE+NEAD=90°,

'：ZEAF=45Q,

：./E4F=/E4尸=45,

在△E4Q和△£40中，

(AE=AE'

\^EAQ=/.E'AQ'

UQ=AQ

:.△EAQ^XEAQ(SAS),

:."=NAEQ,EQ=EQ,

NAEB=NAEQ,EQ=DQ+DE=DQ+BE,

.\ZQEP=900-ZAEQ=90°-ZAEB=ZCEP,即EF是/QEC的平分线，

又/C=90°,PH±EQ,

：.PH=PC,

:NBAE=NCEP,NB=NC=90°,

/\ABE^/\ECP,

CPCECP1-m

：.—=—,即M—=------，

BEABm1

/.CP=m(1-m),

:・PH=h=-m2+机=-2d-i,

**-m=义时，h最大值是二；

z4

9：ZBAE=90°-NAEB=NHEG,NB=NHGE=90°

：.LABEsAEGH,

HGEG口HG厂m

，一=—,即一="-,

BEABm1

91

HG—-/i,

■:MGUCO,G为8c中点，

MN为△AOQ的中位线，

1

：.MN=^DQ,

由(1)知：EQ=DQ+BE,

设DQ=x,则EQ=x+m,CQ=1-x,

Rt/XEQC中，Ed+CQ^EQ?,

(1-m)2+(1-JC)2=(x+m)2,

1—m

解得，

r=l+m*

l-m

:,MN=2(14-m)

：・y=NH=MG-HG-MN

2,1、

d।--r

ITl+R2Tl)—2(l+m)

11—m2

2/n-2(l+m)+〃广,

②当〃2〉,时，如图:

・.・MG〃A8,

1

HGGEHGm~2

：.—=—,即一=--

ABBE1m

2m—1

：.HG=

2m

同①可得仞"协2=城瑞,

:・HN=MG-HG-MN

_12m—11—m

-1--2nr-2(14-m)

_1+-2

2m2+2m，

,_1+m2

，，y=2m2+2m

综上所述'尸1一排一肃瑞+病或尸磊

30.【解答】解：(1)证明：已知。、E、F为AB、BC、AC的中点,

为AABC的中位线，根据三角形中位线定理，

1

J.DE//AC,且DE=^AC=AF.

即DE//AF,DE=AF,

四边形ADEF为平行四边形.

(2)证明：选②AE平分NBAC,

：AE平分NBAC,

:.NDAE=NFAE,

又•••AOE广为平行四边形,

J.EF//DA,

.".ZDAE^ZAEF,

：.ZFAE=ZAEF,

：.AF=EF,

平行四边形AOEF为菱形.

选③A8=AC,

11

,：EF//ABSLEF=^AB,DE//ACS.DE=^AC,

又；AB=AC,

：.EF=DE,

平行四边形AOEF为菱形.

31.【解答】解：（1）如图①，连接4凡AC,

图①

•••四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形,

：.AC=V2AB,AF=y[2AG,/C4B=/GAF=45°,/8AD=90°,

ACAF

：.ZCAF=/BAG,—=—,

ABAG

.♦.△CA尸S/XBAG,

CF

BG

(2)BE=2MN,MNLBE,

理由如下：如图②，连接ME,过点C作CH//EF,交直线ME于H,连接BH,设CF

与AD交点为P，C尸与AG交点为R,

图②

'JCH//EF,

：./FCH=/CFE,

二点M是CF的中点,

:.CM=MF,

又•：4CMH=/FME,

••.△CM"△尸ME(ASA),

:・CH=EF,ME=HM,

：.AE=CHf

,:CH//EF,AG//EF,

：.CH//AG,

:・/HCF=/CRA,

•：AOMBC,

：./BCF=/APR,

：.ZBCH=ZBCF+ZHCF=NAPA+NARC,

,.・N£>4G+NAPR+NARC=180°,NBAE+NDAG=180°,

:./BAE=/BCH,

又•：BC=AB,CH=AE,

：./\BCH^^BAE(SAS),

：.BH=BE,/CBH=NABE,

:・NHBE=NCBA=90°,

・・・MH=ME,点N是BE中点，

:・BH=2MN,MN〃BH,

:・BE=2MN,MN工BE；

(3)如图③，取A3中点O,连接ON,OQ,A尸，

图③

VAE=6,

・・・A尸=6&

♦.•点N是BE的中点，点。是B尸的中点，点。是A8的中点,

二0Q='尸=3&，0N=%E=3,

...点。在以点。为圆心，3立为半径的圆上运动，点N在以点。为圆心，3为半径的圆

上运动，

二线段。V扫过的面积=TtX(3V2)2-71X32=911.

32.【解答］解：选②，如图，连接8尸，DE,

：四边形AB