备战2025年高考数学压轴题训练专题08一元函数的导数及其应用(利用导函数研究不等式有解(能成立)问题)(全题型压轴题)(学生版+解析)

专题08一元函数的导数及其应用（利用导函数研究不等式有解（能成立）问题）目录TOC\o"1-1"\h\u一、已知函数在区间上存在单调区间 1二、变量分离法 2三、双变量型 3四、双变量型 4五、最值法 5一、已知函数在区间上存在单调区间1．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．2．（23-24高二下·宁夏·阶段练习）已知函数在区间上存在单调递减区间，则可能的值为（

）A．0 B．1 C．2 D．e3．（23-24高三上·陕西汉中·期末）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是．4．（23-24高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是.二、变量分离法1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围．2．（2024·浙江·模拟预测）已知函数，，若关于的不等式有解，则的最小值是.3．（23-24高二下·北京顺义·阶段练习）已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)判断函数在区间上的单调性；(3)是否存在，使得成立，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.4．（2022高三上·河南·专题练习）已知函数．(1)若函数仅有1个零点，求实数a的取值范围；(2)已知，，求实数a的取值范围．4．（23-24高一下·陕西汉中·期中）已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数.(1)已知，，利用上述性质，求函数的值域；(2)对于（1）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的值.四、双变量型1．（23-24高二下·河南安阳·阶段练习）已知函数，，m，.(1)求的单调区间；(2)当时，若，使成立，求实数a的取值范围.2．（23-24高二下·四川资阳·期中）已知，.(1)当时，求极值；(2)讨论单调性；(3)当时，若对于任意，总存在，使得，求的取值范围.3．（23-24高二下·重庆长寿·阶段练习）已知函数(1)讨论的单调区间；(2)设，若对任意的，存在，使成立，求实数的取值范围.4．（2024高三·全国·专题练习）已知两函数，，若对，，，，恒有成立，求的取值范围.五、最值法1．（2024·四川泸州·二模）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若，，求实数a的取值范围．2．（23-24高二下·天津和平·阶段练习）已知函数(1)当时，求函数的单调区间；(2)若都有求实数a的取值范围；(3)设若使得成立，求实数a的取值范围.3．（21-22高二下·陕西咸阳·阶段练习）已知函数．(1)若恒成立，求的取值范围；(2)当时，设函数，若对任意，存在，使得成立，求的取值范围．4．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数，是的导函数.(1)若，求的单调区间；(2)若存在实数使成立，求的取值范围.专题08一元函数的导数及其应用（利用导函数研究不等式有解（能成立）问题）目录TOC\o"1-1"\h\u一、已知函数在区间上存在单调区间 1二、变量分离法 3三、双变量型 6四、双变量型 10五、最值法 14一、已知函数在区间上存在单调区间1．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【优尖升-分析】利用导数与函数单调性的关系将问题转化为在上有解问题，再构造函数，利用导数求得其最小值，从而得解.【详解】因为存在单调递减区间，所以在上有解，即在上有解，令，则，令，解得(负值舍去)，当时，单调递减；当时，单调递增；所以，故，故选：A.2．（23-24高二下·宁夏·阶段练习）已知函数在区间上存在单调递减区间，则可能的值为（

）A．0 B．1 C．2 D．e【答案】CD【优尖升-分析】求得，根据题意，转化为即在有解，设，利用导数求得函数的最小值，结合选项，即可求解.【详解】由函数，可得，因为函数在区间上存在单调递减区间，即在有解，即在有解，设，可得，所以函数单调递增，所以，即，结合选项，可得选项C、D符合题意.故选：CD.3．（23-24高三上·陕西汉中·期末）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是．【答案】【优尖升-分析】利用导数转化为恒成立问题，分离参数法求解即可.【详解】定义域为，而，由已知得函数在区间内存在单调递增区间，则在上有解，化简得，令，由幂函数性质得在上单调递增，，则.故答案为：4．（23-24高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是.【答案】【优尖升-分析】利用函数单调性与导数的关系，列出不等式即可求解.【详解】函数的定义域为，求导得，依题意，不等式在上有解，等价于在上有解，而，当且仅当时取等号，则，所以实数a的取值范围是.故答案为：．二、变量分离法1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围．【答案】【优尖升-分析】分离参数得，设，利用导数求出其最小值即可.【详解】因为，由，即，即，设，根据题意知存在，使得成立，即成立，由，可得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，函数取得最小值，最小值为，所以，即实数的取值范围是.故答案为：.2．（2024·浙江·模拟预测）已知函数，，若关于的不等式有解，则的最小值是.【答案】/【优尖升-分析】参变分离可得有解，令，，利用导数求出，即可求出参数的取值范围，从而得解.【详解】由得，显然，所以有解，令，则，令，则，所以当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即，所以，则，即的最小值是.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键是参变分离得到有解，再构造函数，利用导数求出.3．（23-24高二下·北京顺义·阶段练习）已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)判断函数在区间上的单调性；(3)是否存在，使得成立，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1)；(2)递增；(3)存在，.【优尖升-分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程.（2）由导数值恒正判断函数单调递增.（3）假定存在，分离参数构造函数，利用导数探讨最大值即可得解.【详解】（1）函数，求导得，则，而，所以曲线在点处的切线方程为.（2）当时，，，因此，所以函数在区间上的单调递增.（3）假定存在，使得成立，即存在，不等式成立，令，求导得，令，求导得，即函数在上递增，则，即，于是，而，因此，函数在上单调递增，，，则，所以的取值范围是.4．（2022高三上·河南·专题练习）已知函数．(1)若函数仅有1个零点，求实数a的取值范围；(2)已知，，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2)【优尖升-分析】（1）先得到不是方程的根，参变分离得到，构造，求导得到函数单调性，画出函数图象，数形结合得到答案；（2）转化为在上有解，构造，，求导得到函数单调性，得到，求出答案．【详解】（1）令，得，显然不是方程的根，故，，令，则，所以当或时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，作出函数的大致图象如下所示，观察可知，，故实数a的取值范围为．.（2）由题意，不等式在上有解，显然不是该不等式的解，所以不等式在上有解，设，，则．设，，则．所以在单调递减，，所以，所以在上单调递增，所以，所以实数的取值范围为．三、双变量型1．（23-24高一上·湖北·期末）已知函数(1)当时，解不等式；(2)已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求正实数m的取值范围．【答案】(1)(2)【优尖升-分析】（1）根据一元二次不等式的解法求得正确答案.（2）先求和在区间上的值域，然后列不等式组来求得的取值范围.【详解】（1）当时，，由，解得或，所以不等式的解集为.（2）当时，，对称轴为，且，，所以对任意的，.时，是增函数，，由得，若对任意的，总存在，使成立，所以，解得，所以正实数的取值范围是.2．（23-24高二上·浙江·期中）函数，.(1)当时，总有成立，求实数的取值范围；(2)若，对，，使得，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【优尖升-分析】（1）由题意恒成立，采用变量分离法得，求解出的最大值，从而得解；（2）根据题意可得出，在上的值域为在上的值域的子集，根据子集运算规则解得参数的取值范围.【详解】（1）解：由得，当时，此时；当时，，因为，故，所以，当且仅当时等号成立，即时等号成立，故；综合得：；（2）记，，因为对，，使得，所以，因为，当且仅当时，等号成立，所以，当时，在上单调递增，所以，故，因为，所以，即，又，故.3．（23-24高一上·辽宁·期末）已知函数，.(1)若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围；(2)若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【优尖升-分析】（1）根据函数在上单调递减，由函数在区间上存在零点，得即可解决；（2）记函数，的值域为集合，，的值域为集合，则对任意的，总存在，使得成立，又，的值域分，，求解，即可解决.【详解】（1）由题知，，因为的图象开口向上，对称轴为，所以函数在上单调递减因为函数在区间上存在零点，所以，解得，所以实数的取值范围为.（2）记函数，的值域为集合，，的值域为集合，则对任意的，总存在，使得成立，因为的图象开口向上，对称轴为，所以当，，，得，当时，的值域为，显然不满足题意；当时，的值域为，因为，所以，解得；当时，的值域为，因为，所以，解得，综上，实数的取值范围为.4．（23-24高一下·陕西汉中·期中）已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数.(1)已知，，利用上述性质，求函数的值域；(2)对于（1）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的值.【答案】(1)(2)【优尖升-分析】（1）设，则有，，再根据给定的性质即可求解；（2）求出的值域，根据题意易得的值域是的值域的子集，由此列出不等式组，求解即可得出的范围.【详解】（1）依题意，，设，，则.令，.由已知性质得，当时，单调递减；当时，单调递增.又∵，，，∴.∴的值域为.（2）为减函数，故，.由题意得，当时，的值域是的值域的子集，∴解得.【点睛】本题考查了函数的单调区间和值域的求法，函数的任意和存在性问题的解法以及化简运算能力，属于中档题.四、双变量型1．（23-24高二下·河南安阳·阶段练习）已知函数，，m，.(1)求的单调区间；(2)当时，若，使成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为(2)【优尖升-分析】（1）取出，分别解不等式即可得出函数的单调区间；（2）当时，先求出，将问题转化为使成立，设，利用导数求出其最小值即可得出答案.【详解】（1）由，则由，解得，，解得所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增.所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为（2）当时，函数在上单调递增，在上单调递减所以函数在上单调递增.在上单调递减，又，，所以，使成立，即即使成立即在上有解设，则所以当时，，单调递减.当时，，单调递增.所以要使得在上有解，则2．（23-24高二下·四川资阳·期中）已知，.(1)当时，求极值；(2)讨论单调性；(3)当时，若对于任意，总存在，使得，求的取值范围.【答案】(1)极大值为，无极小值(2)答案见解析(3)【优尖升-分析】（1）先求导数，再结合导数判断单调性，求出极值；（2）先求导数，对分类讨论，确定导数符号，得出单调性；（3）利用导数分别求解的最大值，然后可得答案.【详解】（1）由题可知，函数定义域为，由当，解得，当，解得，所以函数在处取得极大值，无极小值.（2），①所以当时，有恒成立，在单调递增，②当时，由解得：，在上单调递增；由解得：，在上单调递减；综上，时，在单调递增；时，在上单调递增，在上单调递减.（3）当时，，根据题意，不等式等价于，，对于，，，所以在上单增，所以，则有，设，，则，在定义域内为减函数，又，所以，即的取值范围是.3．（23-24高二下·重庆长寿·阶段练习）已知函数(1)讨论的单调区间；(2)设，若对任意的，存在，使成立，求实数的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)【优尖升-分析】（1）由，按，进行分类讨论求解；（2）由已知，转化为，由已知得，由此能求出实数a的取值范围．【详解】（1），①当时，由于，故，，所以的单调递增区间为；②当时，由，得，在区间上，在区间上，所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）由题目知，只需要即可又因为，所以只需要即可即等价于恒成立，由变量分离可知，，令，下面求的最小值，令，所以得，所以在为减函数，为增函数，所以，所以.4．（2024高三·全国·专题练习）已知两函数，，若对，，，，恒有成立，求的取值范围.【答案】【优尖升-分析】转化对，，，，恒有成立为，利用二次函数的性质和导数分别求解两个函数的最小值，代入解不等式即可【详解】若对，，，，恒有成立，只需在，上，即可.，，，在，，，，故与，是单调递增区间.在，，故，是单调递减区间.因此的极小值为又，所以所以，解得的范围为.五、最值法1．（2024·四川泸州·二模）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若，，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2)【优尖升-分析】（1）对求导，利用导数的几何意义即可得解；（2）先利用导数分析的单调性，再构造，将问题转化为，利用的单调性，分析得，从而得解.【详解】（1）因为，则，所以，，所以曲线在点处的切线方程；（2）因为，且，所以当时，，单调递减，当或时，，单调递增；不妨令，当，即时，在单调递增，在单调递减，且，所以，此时符合题意；当，即时，在和单调递增，在单调递减，显然在处取得极小值，此时极小值为，而，所以，要使，则必有，解得，故，综上:的取值范围是.【点睛】结论点睛：（1）有解；有解．（2）有解；有解．（3）有解；有解．（4），，．2．（23-24高二下·天津和平·阶段练习）已知函数(1)当时，求函数的单调区间；(2)若都有求实数a的取值范围；(3)设若使得成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增.(2)(3)【优尖升-分析】（1）代入，求导即可得出函数的单调区间；（2），都有等价于时，恒成立，然后分类讨论求即可.（3）令，即存在，使得，然后分类讨论求即可求解.【详解】（1）当时，，令，解得当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.（2），都有，即时，恒成立,,令,①当，即时,，，所以在单增，所以，满足题意.②当，即时，此时，，i）当时，即时，，，所以在单增，所以，满足题意.ii）当时，即时，此时，所以，不满足题意.综上所述：当时，满足时，恒成立..【优尖升-分析】（1）根据给定条件，分离参数构造函数，利用导数求出函数的最小值即得.（2）求出函数，利用导数探讨单调性确定在上的最大值，再讨论求解即得.【详解】（1）函数的定义域为，，令，依题意，在上恒成立，求导得，当时，，当时，，则函数在上单调递减，在上单调递增，，因此，所以的取值范围为.（2）当时，，求导得，若对任意，存在，使得成立，即成立，由，得