苏科版八年级数学上册压轴题攻略专题11解题技巧专题：勾股定理与面积问题、方程思想压轴题七种模型全攻略(原卷版+解析)

专题11解题技巧专题：勾股定理与面积问题、方程思想压轴题七种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【类型一三角形中，利用面积求斜边上的高】 1【考点二结合乘法公式巧求面积或长度】 8【考点三巧妙割补求面积】 10【考点四“勾股树”及其拓展类型求面积】 14【考点五几何图形中的方程思想—折叠问题（利用等边建立方程）】 20【考点六几何图形中的方程思想—公边问题（利用公边建立方程）】 25【考点七实际问题中的方程思想】 28【典型例题】【类型一三角形中，利用面积求斜边上的高】例题：（2023春·新疆阿克苏·八年级校联考阶段练习）若一个直角三角形的两条直角边长分别是和，则斜边上的高为多少（

）

A． B． C． D．【变式训练】1．（2023春·内蒙古鄂尔多斯·八年级统考期末）如图，在的方格中，小正方形的边长是，点、、都在格点上，则边上的高为（

）

A． B． C． D．2．（2023春·辽宁朝阳·八年级校考期中）如果一个等腰三角形的腰长为13，底边长为24，那么它底边上的高为（

）A．12 B．24 C．6 D．53．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1．点A、B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为__________．4．（2023春·安徽合肥·八年级校考期末）如图所示，在边长为单位的网格中，是格点图形，求中边上的高．

5．如图，在中，，，在中，是边上的高，，．(1)求的长．(2)求斜边边上的高．6．（2023秋·全国·八年级专题练习）在中，，，，是斜边上高．(1)求的面积；(2)求斜边；(3)求高．【类型二结合乘法公式巧求面积或长度】例题：已知在中，所对的边分别为a，b，c，若，则的面积为（

）A． B． C． D．【变式训练】1．在中，AD是BC边上的高，，则的面积为（

）A．18 B．24 C．18或24 D．18或303．直角三边长分别是x，和5，则的面积为__________．【类型三巧妙割补求面积】例题：（2023春·河南许昌·八年级校考期中）如图，在四边形中，已知，，，，．

(1)求证：是直角三角形；(2)求四边形的面积．【变式训练】1．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考期中）如图所示，是一块地的平面图，其中米，米，米，米，，求这块地的面积.

2．（2023春·安徽马鞍山·八年级校考期末）已知，，是的三边，且，，．(1)试判断的形状，并说明理由；(2)求的面积．3．（2023春·山东菏泽·八年级校考阶段练习）四边形草地中，已知，，，，且为直角．

(1)求这个四边形草地的面积；(2)如果清理草地杂草，每平方米需要人工费20元，清理完这块草地杂草需要多少钱？4．（2022春·重庆綦江·八年级校考阶段练习）计算：如图，每个小正方形的边长都为1．

(1)求线段与的长；(2)求四边形的面积；(3)求证：．【类型四“勾股树”及其拓展类型求面积】例题：（2023秋·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是6、10、4、6，则最大正方形E的面积是（

）A．20 B．26 C．30 D．52【变式训练】1．（2023·广西柳州·校考一模）如图，，正方形和正方形的面积分别是289和225，则以为直径的半圆的面积是（）A． B． C． D．2．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，以的三边向外作正方形，其面积分别为且，则___________；以的三边向外作等边三角形，其面积分别为，则三者之间的关系为___________．3．（2023春·八年级课时练习）已知：在中，，、、所对的边分别记作a、b、c．如图1，分别以的三条边为边长向外作正方形，其正方形的面积由小到大分别记作、、，则有，(1)如图2，分别以的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分、、，请问与有怎样的数量关系，并证明你的结论；(2)分别以直角三角形的三条边为直径作半圆，如图3所示，其面积由小到大分别记作S1、S2Sa，根据（2）中的探索，直接回答与有怎样的数量关系；(3)若中，，，求出图4中阴影部分的面积．4．（2023春·江西南昌·八年级南昌市第三中学校考期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．(1)①如图2，3，4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，面积分别为，，，利用勾股定理，判断这3个图形中面积关系满足的有________个．②如图5，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，也满足吗？若满足，请证明；若不满足，请求出，，的数量关系．(2)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，则__________．【类型五几何图形中的方程思想—折叠问题（利用等边建立方程）】例题：（2023春·河南许昌·八年级统考期中）已知直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将按如图所示的方式折叠，使点A与点B重合，则的长是（

）

A． B． C． D．【变式训练】1．（2023春·湖北咸宁·八年级校考阶段练习）如图，有一块直角三角形纸片，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（

）A． B． C． D．32．（2023春·山东菏泽·八年级统考期中）如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕交于点，交于点，则线段的长为．

3．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）如图，在中，，点是的中点，点是斜边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，交于点．若为直角三角形，则的长为．

4．（2022秋·河北张家口·八年级统考期中）在中，，点分别在边上（不与端点重合）．将沿折叠，点A落在的位置．

(1)如图①，当与点重合且．①直接写出的长；②求的面积．(2)当．①与点在直线的异侧时．如图②，直接写出的大小；②与点在直线的同侧时，且的一边与平行，直接写出的度数．【类型六几何图形中的方程思想—公边问题（利用公边建立方程）】例题：如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝9，AC＝17，则BC边上的高为_______．【变式训练】1．已知：如图，在中，是的角平分线，，则____．

2．如图，在和中，，，，延长，交于点．

(1)求证：点A在的平分线上；(2)若，，，求的长．【类型七实际问题中的方程思想】例题：（2022·全国·八年级）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻译成现代文为：如图，秋千绳索OA悬挂于O点，静止时竖直下垂，A点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（AC＝1尺）．将它往前推进两步（EB⊥OC于点E，且EB＝10尺），踏板升高到点B位置，此时踏板离地五尺（BD＝CE＝5尺），则秋千绳索（OA或OB）长______尺．【变式训练】1．（2022·全国·八年级课时练习）如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（）A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸2．（2022·河南·金明中小学八年级期中）《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高短2尺；斜放，门对角线长恰好是竿长的倍．问门高、门宽各为多少？3．（2022·重庆市求精中学校八年级期中）在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得千米，千米，千米．(1)问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明．(2)求原来的路线AC的长．4．（2022·浙江·浦江县实验中学八年级期中）图1是一张可以折叠的小床展开后支撑起来放在地面的示意图，此时点A、B、C在同一直线上，且∠ACD＝90°，图2是小床支撑脚CD折叠的示意图，在折叠过程中，△ACD变形为四边形ABC'D'，最后折叠形成一条线段．某家装厂设计的折叠床是AB＝4cm，BC＝8cm，（1）此时CD为_________cm；（2）折叠时，当AB⊥BC′时，四边形ABC′D′的面积为_______cm2．

专题11解题技巧专题：勾股定理与面积问题、方程思想压轴题七种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【类型一三角形中，利用面积求斜边上的高】 1【考点二结合乘法公式巧求面积或长度】 8【考点三巧妙割补求面积】 10【考点四“勾股树”及其拓展类型求面积】 14【考点五几何图形中的方程思想—折叠问题（利用等边建立方程）】 20【考点六几何图形中的方程思想—公边问题（利用公边建立方程）】 25【考点七实际问题中的方程思想】 28【典型例题】【类型一三角形中，利用面积求斜边上的高】例题：（2023春·新疆阿克苏·八年级校联考阶段练习）若一个直角三角形的两条直角边长分别是和，则斜边上的高为多少（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】设斜边上的高为，利用勾股定理可求出斜边的长，利用面积法即可求出的值，可得答案．【详解】∵直角三角形的两条直角边分别为，，斜边长为，直角三角形的面积为，解得：，故选：D．【点睛】本题考查勾股定理，直角三角形两直角边边长的平方和等于斜边边长的平方；灵活运用三角形的面积的两种不同的表示方法得到等量关系是解题关键．【变式训练】1．（2023春·内蒙古鄂尔多斯·八年级统考期末）如图，在的方格中，小正方形的边长是，点、、都在格点上，则边上的高为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据图形，可以求出的面积，然后即可求出边上的高．【详解】解：的面积：，，设边上的高为，由题意得：，，故选：．【点睛】本题考查了勾股定理、正方形面积、三角形面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合思想解答．2．（2023春·辽宁朝阳·八年级校考期中）如果一个等腰三角形的腰长为13，底边长为24，那么它底边上的高为（

）A．12 B．24 C．6 D．5【答案】D【分析】根据题意画出图形，如图，根据等腰三角形的性质求出，再用勾股定理求解即可．【详解】解：如图所示

根据题意得，．∴，在中，根据勾股定理得，，∴，即：底边上的高为5，故选：D．【点睛】此题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，正确作出图形、熟练掌握等腰三角形的性质是关键．3．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1．点A、B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为__________．【答案】##【解析】【分析】根据勾股定理计算AC的长，利用面积差可得三角形ABC的面积，由三角形的面积公式即可得到结论．【详解】】解：由勾股定理得：AC=，∵S△ABC=3×4-×1×2-×3×2-×2×4=4，∴AC•BD=4，∴×2BD=4，∴BD=，故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．4．（2023春·安徽合肥·八年级校考期末）如图所示，在边长为单位的网格中，是格点图形，求中边上的高．

【答案】中边上的高为【分析】如图所述，过点作的延长于点，过点作于点，可得的长，在中，可求出的长，根据，即三角形的等面积法即可求解．【详解】解：如图所述，过点作的延长于点，过点作于点，

∵是格点图形，每个小正方形的边长为单位，∴，，，∴在中，，∵，∴，∴中边上的高为．【点睛】本题主要考查格点三角形，勾股定理，等面积法求高等知识的综合，掌握以上知识是解题的关键．5．如图，在中，，，在中，是边上的高，，．(1)求的长．(2)求斜边边上的高．【答案】(1)(2)斜边AB边上的高是4.8【分析】（1）根据在中，是边上的高，，，可以计算出的长，然后根据勾股定理即可得到的长；（2）根据等面积法，可以求得斜边边上的高．【详解】（1）解：（1）∵在中，是边上的高，，，∴，即，解得，∵在中，，，∴；（2）解：作于点F，∵，，∴，解得，即斜边AB边上的高是4.8．【点睛】本题考查勾股定理，三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．6．（2023秋·全国·八年级专题练习）在中，，，，是斜边上高．(1)求的面积；(2)求斜边；(3)求高．【答案】(1)的面积为6(2)斜边为5(3)高的长为【分析】（1）根据三角面积公式底乘高除以2求出即可．（2）根据勾股定理求出．（3）根据等面积法求出高．【详解】（1）的面积．故的面积是6；（2）在中，，，，∴；（3）∵，∴，解得．故高的长为．【点睛】此题考查了求三角形面积、勾股定理，解题的关键是熟悉三角形面积公式、勾股定理．【类型二结合乘法公式巧求面积或长度】例题：已知在中，所对的边分别为a，b，c，若，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据题意可知，的面积为，结合已知条件，根据完全平方公式变形求值即可【详解】解：中，所对的边分别为a，b，c，∵∴故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理，完全平方公式变形求值，解题的关键是完全平方公式的变形．【变式训练】1．在中，AD是BC边上的高，，则的面积为（

）A．18 B．24 C．18或24 D．18或30【答案】D【解析】【分析】由勾股定理分别求出BD和CD，分AD在三角形的内部和AD在三角形的外部两种情况，由三角形面积公式计算即可．【详解】解：在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD==12，在Rt△ACD中，由勾股定理得：CD==，分两种情况：①如图1，当AD在△ABC的内部时，BC=12+3=15，则△ABC的面积=BC×AD=×15×4=30；②如图2，当AD在△ABC的外部时，BC=12-3=9，则△ABC的面积=BC×AD=×9×4=18；综上所述，△ABC的面积为30或18，故选：D．【点睛】本题考查的是勾股定理、三角形面积以及分类讨论等知识，熟练掌握勾股定理，进行分类讨论是解题的关键．3．直角三边长分别是x，和5，则的面积为__________．【答案】6或30【解析】【分析】根据是直角三角形，则在中分类讨论，运用勾股定理即可求出答案．【详解】解：是直角三角形，则在中即可运用勾股定理，不确定与哪一个大，所以讨论：（1）若，则存在，解得，；（2）若，则，解得．的面积为6或30．故答案为：6或30．【点睛】本题主要考查直角三角形中勾股定理的应用，本题中讨论与的大小是解题的关键．【类型三巧妙割补求面积】例题：（2023春·河南许昌·八年级校考期中）如图，在四边形中，已知，，，，．

(1)求证：是直角三角形；(2)求四边形的面积．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据角的直角三角形的性质得到，再根据跟勾股定理的逆定理即可得证；（2）根据勾股定理得到，再利用三角形的面积公式即可得到结论．【详解】（1）证明：∵，，，∴，在中，，，，∵，即，∴是直角三角形；（2）解：∵在中，，，，∴，∴，又∵，∴．∴四边形为．【点睛】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，角的直角三角形的性质，三角形的面积．熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考期中）如图所示，是一块地的平面图，其中米，米，米，米，，求这块地的面积.

【答案】24平方米【分析】连接，根据勾股定理求出米，根据，，根据直角三角形的面积公式求出结果即可．【详解】解：如图，连接，如图所示：

，米，米，米，米，米，，，这块地的面积为：（平方米）．【点睛】本题主要考查了勾股定理和逆定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形．2．（2023春·安徽马鞍山·八年级校考期末）已知，，是的三边，且，，．(1)试判断的形状，并说明理由；(2)求的面积．【答案】(1)是直角三角形，理由见解析(2)【分析】（1）根据勾股定理的逆定理进行计算即可求解；（2）根据三角形的面积公式进行计算即可求解．【详解】（1）解：是直角三角形．理由：∵，，，∴，∴是直角三角形，且是直角；（2）解：的面积．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．3．（2023春·山东菏泽·八年级校考阶段练习）四边形草地中，已知，，，，且为直角．

(1)求这个四边形草地的面积；(2)如果清理草地杂草，每平方米需要人工费20元，清理完这块草地杂草需要多少钱？【答案】(1)(2)清理完这块草地杂草需要720元钱【分析】（1）连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理逆定理得出，最后根据即可求解；（2）根据每平方米需要人工费20元，即可解答．【详解】（1）解：连接，∵，，为直角，∴，∵，，∴，∴，∴．

（2）解：（元），答：清理完这块草地杂草需要720元钱．【点睛】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方，两边平方和等于第三边平方的三角形是直角三角形．4．（2022春·重庆綦江·八年级校考阶段练习）计算：如图，每个小正方形的边长都为1．

(1)求线段与的长；(2)求四边形的面积；(3)求证：．【答案】(1)，(2)(3)见解析【分析】（1）根据勾股定理解答即可；（2）运用分割法解答即可；（3）连接，根据勾股定理的逆定理解答即可．【详解】（1）∵每个小正方形的边长都为1，∴，（2）（3）连接，

∴，∵，，∴，∴是直角三角形，且为斜边，∴．【点睛】此题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理得出各边的长解答．【类型四“勾股树”及其拓展类型求面积】例题：（2023秋·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是6、10、4、6，则最大正方形E的面积是（

）A．20 B．26 C．30 D．52【答案】B【分析】根据正方形的面积公式并结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积即可．【详解】解：如图：根据勾股定理的几何意义，可得：===26故选B．【点睛】本题考查勾股定理，熟悉勾股定理的几何意义是解题的关键．【变式训练】1．（2023·广西柳州·校考一模）如图，，正方形和正方形的面积分别是289和225，则以为直径的半圆的面积是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用勾股定理求出，再求半圆的面积即可．【详解】解：∵正方形和正方形的面积分别是289和225，∴，∵，∴，∴以为直径的半圆的面积为：；故选B．【点睛】本题考查勾股定理．熟练掌握勾股定理，是解题的关键．2．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，以的三边向外作正方形，其面积分别为且，则___________；以的三边向外作等边三角形，其面积分别为，则三者之间的关系为___________．【答案】12；s1+s2=s3【分析】首先根据正方形面积公式得到三个正方形的面积与Rt△ABC的三边关系，然后根据勾股定理找到Rt△ABC的三边之间的关系，并由此得到三个正方形的面积关系，最后算出S3的值；第二空同理根据正三角形面积公式与勾股定理，得到S1，S2，S3三者之间的关系，完成解答．【详解】解：∵AC、BC、AB都是正方形的边长，∴S1=AC2，S2=BC2，S3=AB2，又∵△ABC是直角三角形，∴AC2+BC2=AB2，∴S3=4+8=12，又∵Rt△ABC三边向外作等边三角形，其面积为S1，S2，S3，∴S1==×AC2，同理可得：S2=×BC2，S3=×AB2，∵△ABC是直角三角形，∴AC2+BC2=AB2，∴S1+S2=S3．故答案是：12，S1+S2=S3．【点睛】本题考查勾股定理和正方形、正三角形的计算，解题的关键在于灵活运用勾股定理．3．（2023春·八年级课时练习）已知：在中，，、、所对的边分别记作a、b、c．如图1，分别以的三条边为边长向外作正方形，其正方形的面积由小到大分别记作、、，则有，(1)如图2，分别以的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分、、，请问与有怎样的数量关系，并证明你的结论；(2)分别以直角三角形的三条边为直径作半圆，如图3所示，其面积由小到大分别记作S1、S2Sa，根据（2）中的探索，直接回答与有怎样的数量关系；(3)若中，，，求出图4中阴影部分的面积．【答案】(1)，证明见解析(2)(3)24【分析】（1）由扇形的面积公式可知，，，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2＋BC2＝AB2，即S1＋S2＝S3；（2）根据（1）中的求解即可得出答案；（3）利用（2）中的结论进行求解．【详解】（1）解：①，根据勾股定理可知：，；（2）解：由（1）知，同理根据根据勾股定理：，从而可得；（3）解：由（2）知．【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题关键是对勾股定理的熟练掌握及灵活运用．4．（2023春·江西南昌·八年级南昌市第三中学校考期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．(1)①如图2，3，4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，面积分别为，，，利用勾股定理，判断这3个图形中面积关系满足的有________个．②如图5，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，也满足吗？若满足，请证明；若不满足，请求出，，的数量关系．(2)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，则__________．【答案】(1)①3；②满足，证明见解析(2)【分析】（1）设两直角边分别为，，斜边为，用，，分别表示正方形、圆、等边三角形的面积，根据，求解之间的关系，进而可得结果；②根据，，，可得；（2）由题意知，，，，，，代入求解即可．【详解】（1）①解：设两直角边分别为，，斜边为，则图2中，，∵，∴，故图2符合题意；图3中，，，，∵，∴，故图3符合题意；图4中，，，，∵，∴，故图4符合题意；∴这3个图形中面积关系满足的有3个，故答案为：3；②解：满足，证明如下：由题意知，，，∴；（2）解：由题意知，，，，，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理，勾股树．解题的关键在于正确的表示各部分的面积．【类型五几何图形中的方程思想—折叠问题（利用等边建立方程）】例题：（2023春·河南许昌·八年级统考期中）已知直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将按如图所示的方式折叠，使点A与点B重合，则的长是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据图形翻折变换的性质可知，，设，则，，再中利用勾股定理即可求出的长度．【详解】解：∵△ADE翻折后与完全重合，∴，设，则，，∵在中，，即，解得，，∴．故选：B【点睛】本题考查了图形的翻折变换，解题中应注意折叠是一种对称变换，属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．【变式训练】1．（2023春·湖北咸宁·八年级校考阶段练习）如图，有一块直角三角形纸片，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（

）A． B． C． D．3【答案】C【分析】利用勾股定理求得，由折叠的性质可得，，求得，设，则，根据勾股定理可得，进而求解即可．【详解】解：∵，∴，由折叠的性质得，，，∴，设，则，在中，，解得，故选：C．【点睛】本题考查勾股定理、折叠的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．2．（2023春·山东菏泽·八年级统考期中）如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕交于点，交于点，则线段的长为．

【答案】/【分析】由折叠的性质可得，根据勾股定理可求的长，即可求的长．【详解】解：是中点，，，将折叠，使点与的中点重合，，，在中，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强．3．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）如图，在中，，点是的中点，点是斜边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，交于点．若为直角三角形，则的长为．

【答案】1或【分析】分和两种情形分类讨论，当时，根据，点是的中点，算出根据以及翻折性质得出即可解答；当时，作交的延长线于，设，在和中用勾股定理即可解答．【详解】解：如图，当时，

在中，如图，当时，作交的延长线于，设，

在中，在中，解得，综上所述，满足条件的的值为1或，故答案为：1或．【点睛】本题考查翻折变换、勾股定理、特殊直角三角形、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考常考题型．4．（2022秋·河北张家口·八年级统考期中）在中，，点分别在边上（不与端点重合）．将沿折叠，点A落在的位置．

(1)如图①，当与点重合且．①直接写出的长；②求的面积．(2)当．①与点在直线的异侧时．如图②，直接写出的大小；②与点在直线的同侧时，且的一边与平行，直接写出的度数．【答案】(1)①4；②(2)①；②的度数分别为，【分析】（1）①直接根据勾股定理即可求出的长；②设，则，根据勾股定理求出x的值，再根据三角形面积公式即可求解；（2）①根据三角形的外角定理可得，，即可求解；②根据题意进行分类讨论：当时，当时，即可进行解答．【详解】（1）解：①在中，由勾股定理得，，②设，则，∵将沿折叠，点A落在的位置，∴，在中，由勾股定理得，，解得：∴．（2）解：①∵将沿折叠，点A落在的位置，，∴，∴，∵，∴，∴；

②当时，如图：∵，，∴，∵由折叠所得，∴；

当时，如图：∵，，∴，∵由折叠所得，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴．

综上：的度数分别为，．【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形那个的内角和定理，折叠的性质，平行线的性质，解题的关键是掌握勾股定理内容，根据勾股定理建立方程求边的长度；掌握三角形是内角和为，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，平行线的性质．【类型六几何图形中的方程思想—公边问题（利用公边建立方程）】例题：如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝9，AC＝17，则BC边上的高为_______．【答案】8【解析】【分析】作交的延长于点，在中，，在中,，根据列出方程即可求解．【详解】如图，作交的延长于点，则即为BC边上的高，在中，，在中,，，AB＝10，BC＝9，AC＝17，，解得，故答案为：8．【点睛】本题考查了勾股定理，掌握三角形的高，直角三角形是解题的关键．【变式训练】1．已知：如图，在中，是的角平分线，，则____．

【答案】6【分析】作，如图，根据角平分线的性质可得，勾股定理求出，证明，推出，设，根据勾股定理列出方程即可求出．【详解】解：作于点E，如图，∵在中，是的角平分线，，∴，∴，∵，∴，∴，设，则，在直角三角形中，根据勾股定理可得：，即，解得：，即；故答案为：6．

【点睛】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，属于常见题型，熟练掌握上述知识，利用勾股定理得出方程是解题的关键．2．如图，在和中，，，，延长，交于点．

(1)求证：点A在的平分线上；(2)若，，，求的长．【答案】(1)见解析(2)5【分析】（1）连接，证明，可得，根据角平分线的判定即可解决问题；（2）证明，设，所以，根据勾股定理即可解决问题．【详解】（1）证明：如图，连接，

在和中，∵，，，，，，，平分，点在的平分线上；（2）解：，，，，设，，在中，，，．．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，勾股定理，解决本题的关键是得到．【类型七实际问题中的方程思想】例题：（2022·全国·八年级）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻译成现代文为：如图，秋千绳索OA悬挂于O点，静止时竖直下垂，A点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（AC＝1尺）．将它往前推进两步（EB⊥OC于点E，且EB＝10尺），踏板升高到点B位置，此时踏板离地五尺（BD＝CE＝5尺），则秋千绳索（OA或OB）长______尺．【答案】【解析】【分析】设OB=OA=x（尺），在Rt△OBE中利用勾股定理构建方程即可解决问题．【详解】解：设OB=OA=x（尺），在Rt△OBE中，OB=x，OE=x-4，BE=10，∴x2=102+（x-4）2，∴x=，∴OA或OB的长度为（尺）．故答案为：．【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．【变式训练】1．（2022·全国·八年级课时练习）如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（）A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸【答案】C【解析】【分析】取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理解答即可得到结论．【详解】解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，则AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE＝CD＝1寸，∴AE＝（r﹣1）寸，在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，解得：r＝50.5，∴2r＝101（寸），∴AB＝101寸，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键．2．（2022·河南·金明中小学八年级期中）《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高短2尺；斜放，门对