专练10 四边形中比值问题-2021年中考数学压轴题专项高分突破训练（教师版含解析）

专练10四边形中比值问题

1.在矩形ABCD的CD边上取一点E,将ABCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处.

⑴如图1,若BC=2BA,求Z.CBE的度数；

(2)如图2,当AB=5,且AF•FD=10时，求BC的长;

⑶如图3,延长EF,与ZABF的角平分线交于点M,BM交AD于点N,当NF=AN+FD时,

求黑出的值.

DL

【答案】⑴解：•・,矩形ABCD,

AZ.A=90°,AD//BC

由折叠的性质可知BF=BC=2AB,ZCBE=|zCBF,

・・・ZAFB=30°,

，ZFBC=ZAFB=30°,

・・・ZCBE=15°

(2)解：由题意可得zA=zD=90°,

ZAFB+Z.DFE=90°,

△FED+ZDFE=90°

JZAFB=ZDEF

・•・AFAB-AEDF

・AFAB

・・———,

DEDF

・・・EF=CE=3,

由勾股定理得DF=5/32-22=V5，

/.AF=/=2A/5,

BC=AD=AF+FD=3V5;

(3)解：过点N作NG1BF于点G.

・・・ZNGF=zA=90°

又丁ZBFA=ZNFG

JANFG〜ABFA.

・.・NG-=—FG=—NF.

ABFABF

NF=AN+FD,即NF=LAD=LBC="F

222

・NGFGNF1

ABFABF2

又,；BM平分ZABF,NG1BF,ZA=90°,

，NG=AN,

,NG=AN=%AB,

2

.FG_BF-BG_BC-AB_1

**FA-AN+NF--AB+-BC-2

22

整理得：^=1.

DC5

2.如图1,将直角三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三

角板的一边交边CD于点F,另一边交CB的延长线于点G。

(2)如图2,移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，(1)中的结论是否

仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立，请说明理由；

(3)如图3,将(2)中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B,其他条件不变，若

AB=3,BC=6,则案=。

【答案】(1)证明：・・•四边形ABCD是正方形，

AZD=ZDAB=ZABG=90°,ED二BE,

VZDEF+ZBEF=90°,

ZGEF=90°,

・•・ZGEB+ZBEF=90°,

AZDEF=ZGEB,

/.RtAFED=RtAGEB(ASA),

・\EF=EG；

(2)成立，证明如下：

如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I,贝IJEH=EI,ZHEI=90°,

BHC

VZGEH+ZHEF=90°,ZIEF+ZHEF=90°,

Z.ZIEF=ZGEH,

ARtAFEIgRsGEH(ASA),

AEF=EG；

(3)2

【解析】(3)如图，过点E分别作BC、CD的垂线,垂足分别为M、N,则NMEN=90。,

AD

——Y

・・・EM〃AB,EN〃AD,

AACEN^ACAD,ACEM^ACAB,

・NECEEMCE

ADCAABCA

.NE_EM

**AD-AB'

.NEAD6

•■—=—=—=Nn,

EMAB3

ZNEF+ZFEM=ZGEM+ZFEM=90°,

AZGEM=ZFEN,

丁ZGME=ZFNE=90°,

AAGME^AFNE,

.EFNEo

GEEM

3.如图，△ABC中，BA=BC,CO_LAB于点O,AO=4,BO=6。

D13

(1)求BC,AC的长。

(2)若点D是射线OB上的一个动点，作DELAC于点E,连结0E。

①当点D在线段0B上时，若△AOE是以A0为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的0D的长。

②设DE交直线BC于点F,连结OF,CD,若SAOBF：SAOCF=1：4,则CD的长为多少？(直接写出结果)

【答案】⑴解：VAB=OA+BO=4+6=10,

，BC=AB=10,

VCO1AB,

OC=VBC2-OB2=V102-62=8,

AC=VOC2+OA2=V82+42=4V5

⑵解：①i)如图，当OA=OE=4时，过0作ON，AC于N,

VDEIAC,

AON//DE,

AOA：OD=AN：NE=1,

.,.OD=ON=4；

ii）当0A=EA=4时，如图,

在^AOC和^ADE中，

4A=ZA

4Aoe=ZAED=90°

.AO=AE

AAOC^AADE(AAS),

，AD=AC=4Z，

OD=AD-OA=4V5-4.

②i)当D在线段OB上时，如图，过B作BGJ_EF于G,

,/SAOBF：SAOCF=1：4,

ABF：CF=1:4,

.,.BF，CB=U,

33

VEF±AC,BG±AC,

；.BG〃CE,

.".ZA=ZDBG,ZACB=ZGBF,

VAB=BC,

AZA=ZACB,

・・・NDBG=NGBF,

...△DBF为等腰三角形，

••.BD=BF=—,

3

1nA

A0D=0B-BD=6~=-，

33

CD=VOC2+OD2=J82+⑸之=

i)当D在线段OB的延长线上时，如图，过B作BGLEF于G,

同理得BF：CF=l:4,

；.BF=2,

同理得△DBF为等腰三角形，

；.BD=BF=2,

在RtACOD中，CD=VOC2+OD2=y/82+(6+2)2=8a.

4.某数学课外兴趣小组成员在研究下面三个看联索的问题，请你帮助他们解决:

图i图3

(I)如图I,矩形ABCD中，AB=8,BC=6,将矩形对折，使得点B、点D重叠，折痕为EF,过点F作

AB的垂线交AB于点G,求EF的长;

(2)如图2,矩形ABCD中，AB=a,BC=b，点E,F分别在AB,DC上，点G,H分别在AD,BC上且

EF1GH,求黑的值;

(3)如图3,四边形ABCD中，ZABC=90°,AB=AD=8,BC=CD=4,AM_LDN,点M,N分别在边BC,

AB上，求捐的值.

【答案】⑴解：•••四边形ABCD是矩形,

・・・ZA=ZABC=ZC=90°,AB〃CD,AD=BC=6,

/.NADB+NABD=90。,BD=VAB24-AD2=10,

・；FG_LAB于G,

/.ZFGE=90°,FG=BC=6,

AZFGA=ZA

•・•翻折，AEF±BD,.・・NADB+/AEF=180°,

又・.・NFEG+NAEF=180。，

/.ZFEG=ZBDA,又T/FGE=NA,

•♦•△EFGsaDBA,.,•黑=黑，代入数据：

DUrb

案=!，解得EF=£,

1Uo乙

(2)解：如图，过点G作GMLCB于M,过点E作ENLCD于点N

•.•四边形ABCD是矩形，

/.ZA=ZB=ZC=ZD=90°,AB〃CD,AD〃BC,

VGM1BC,EN1CD,

・・・GM=CD=AB=a,EN=AD=BC=b,

VEF±GH,ZBCD=90°,

JZEFC+ZGHC=180°,ZDFE+ZEFC=180°,

AZEFN=ZGHC,又YNENF=NGMH=90。，

/.△EFN^AGHM,

・EFNEb

..----=-----=—,

GHMGa

(3)解：如图，过点D作EFJ_BC,交BC的延长线于F,过点A作AELEF,连接AC,

VZABC=90°,AE1EF,EF±BC,

J四边形ABFE是矩形，

AZE=ZF=90°,AE=BF,EF=AB=8,

•・・AD=AB,BC=CD,AC=AC,

/.AACD^AACB(SSS),/.ZADC=ZABC=90°,

・・・ZADE+ZCDF=90°,且NADE+NEAD=90。，

AZEAD=ZCDF,且NE=NF=90。，AAADE^ADCF,

.CDCFDF1

••,

ADDEAE2

・・・AE=2DF,DE=2CF,

■:DC2=CF2+DF2,:.16=CF2+(8-2CF)2

；.CF=4(不合题意舍去),CF=y,

.♦.BF=BC+CF=y=AE,

5.如图，四边形ABCD中，AD//BC,/BCD=90。，AD=6,BC=3,DE_LAB于E,AC交

DE于F.

⑴若Z.DAB=60°,求CD的值.

(2)若CD=4,求黑的值.

FC

⑶若CD=6,过A点作AM//CD交CE的延长线于M,求鬻的值.

【答案】（D解：如图1，过B点作BH_LAD于H,

/.ZBHD=90°.

AD//BC,ZBCD=90°,

:.ZCDH=90°,

・♦・四边形BCDH为矩形，

/.HD=BC=3,AH=AD-HD=3.

vZDAB=60°,

・•・BH=AHtan60°=3V3,

.・.CD=BH=3V3

(2)解：vzAHB=Z.AED=90°,Z.HAB=zEAD

.*.△AHBAED,

AB_AH

•・AD-AE'

・•・AB•AE=AH-AD=18.

延长DE、CB交于点G,如图2,

G13C

图2

,:AH=3,AE-AB=18,四边形BCDH是矩形,

则有BH=CD=4,AB=VAH2+BH2=5，

A「1818187

•**AE=~~=~~~，EB=r5~—•二.

AB555

vAD//GC,

•••△AEDBEG,

ADAE

—=—,

BGEB

618

••—=—,

BG7

BG=-,

3

7o16

33

vAD//GC,

AFDCFG,

.AF_AD_6_9

“«一而一亘一3•

3

(3)解：延长AB、DC交于点N,如图3.

VAD//BC,

NBCNAD,

・NCBC

••~~~=",

NDAD

:.__N_C____3一1

••NC+6-6-2'

解得NC=6，

••・DN=12,

AAN=A/AD2+DN2=6A/5,

ncADDN6x1212西

:.DE=-------=—T=-=--,

AN6755

•••AE=VAD2-DE2=，

IT1UANTA17H/F6752475

:.EN=AN-AE=6V5——=—^―

AE1

A—=",

EN4

VAM//CD,

••・△AEMNEC,

ME_AE_1

CE-NE-4

6.在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、AD边上一点，NDFC=2NFCE.

(1)如图1,若四边形ABCD是正方形,/DFC=60°,BE=4,贝UAF=

(2)如图2,若四边形ABCD是菱形，NA=120。，NDFC=90。，BE=4,求处的值.

AE

(3)如图3,若四边形ABCD是矩形，点E是AB的中点，CE=12,CF=13,求怔的值.

AE

【答案】(D4V3-4

(2)解：过E作EGJ_BC,如图1：

VZDFC=90°,NDFC=2NFCE,

，/FCE=/BCE=45。，

：/A=120。，

；.NB=60。，

/.BG=2,EG=2V3

GC=EG=2V3

；.BC=CD=AB=AD=2+2A/3

DF=-AD=1+V3

2

AF=1+V3

,AE=AB-BE=2+2V3-4=2V3-2

・AF=一百=2+B

AE2后22

(3)解：延长FE交CB延长线于点M,如图2：

在^AFE与4BME中，

ZEBM=ZEAF=90°

{EB=AE

ZBEM=zAEF

.・・AAFE^ABME(ASA),

・・・BM=AF,ME=EF,

VZDFC=2ZFCE,

・・・CE是NFCB的角平分线，

/.CM=CF=13,

在RtAMEC中，ME=VMC2-CE2=/132-122=5,

VZEMB=ZEMB,NEBM=NEBC=90。，

AAEMB^AEMC,

AF_BM_ME_5

AEBECE12

【解析】解：(])♦.♦四边形ABCD是正方形，NDFC=60。，

AZDCF=30°,

VZDFC=2ZFCE,

AZFCE=ZECB=30°,

・・・BC=4V3

・・・DF=4,

・•・AF=4V3-4

故答案为：4V—4

7.如图，矩形ABCD中，已知AB=6.BC=8,点E是射线BC上的一个动点，连接AE并延长，交射线DC

于点F.将△ABE沿直线AE翻折，点B的对应点为点B,延长AB，交直线CD于点M.

图1图2备用图

(1)如图1,若点E为线段BC的中点，求证：AM=FM；

(2)如图2,若点B恰好落在对角线AC上，求零的值;

⑶若S=1，求线段AM的长.

【答案】(1)证明：•••四边形ABCD为矩形，

AAB//CD,

AZF=ZBAF,

由折叠可知：ZBAF=ZMAF,

AZF=ZMAF,

・・・AM=FM.

(2)解：由(1)可知△ACF是等腰三角形，AC二CF,

在RSABC中，VAB=6,BC=8,

:.AC=VAB2+BC2=V62+82=10

ACF=AC=10,

VAB/7CF,

/.△ABE^AFCE,

..«—BE=—AB=—6=—3

CECF105

(3)解：①当点E在线段BC上时，如图，AB，的延长线交CD于点M,

D

由AB〃CF可得：aABEsaFCE,

.ABBE3刖63

••,L»J———

CFCE2CF2

/.CF=4,

由(I)可知AM=FM.

设DM=x,则MC=6-x,则AM=FM=10-x,

在RSADM中，AM2=AD2+DM2,即(10-x)2=82+x2

解得：x=|

则AM=10-x=10-|=y

②当点E在BC的延长线上时，如图，

由AB〃CF可得：△ABE^AFCE

・MDDE.O°J

..—=—=~,即Mn一=一

CFCE2CF2

ACF=4,

则DF=6-4=2,

设DM=x,则AM=FM=2+x,

在RtZkADM中，AM2=AD2+DM2,即(2+x)2=82+x2

解得：x=15,

则AM=2+x=17

综上所述：AM的长为羡或17.

8.看图:

(1)(探究证明)：某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究,

提出下列问题，请你给出证明.

如图1,矩形ABCD中，EF±GH,EF分别交AB,CD于点E,F,GH分别交AD,BC于点G,H.求证：

EF_AD

GHAB；

(2)(结论应用)：如图2,在满足(1)的条件下，又AMLBN,点M,N分别在边BC,CD上，若亮=《，

Gn10

则黑的值为________；

AM

(3)(联系拓展)：如图3,四边形ABCD中，ZABC=90°,AB=AD=8,BC=CD=4,AMXDN,点M,N分别

在边BC,AB上，则器=________.

AM

【答案】(1)证明：过点A作AP〃EF,交CD于P,过点B作BQ〃GH,交AD于Q,如图1,

图1

・・•四边形ABCD是矩形，

AAB/7DC,AD/ZBC.

・・・四边形AEFP、四边形BHGQ都是平行四边形,

/.AP=EF,GH=BQ.

又・・・GH_LEF,

AAPIBQ,

・♦・ZQAT+ZAQT=90°.

•.•四边形ABCD是矩形，

AZDAB=ZD=90°,

:.ZDAP+ZDPA=90°,

:.NAQT=NDPA.

AAPDA^AQAB,

.AP_AD

"BQ-AB

・,・-E-F=-A-D

GHAB

竭

喉

【解析】(2)如图2,

图2

VEF1GH,AM1BN,

••・由⑴中的结论可得紧黑黑嗡

・BN_EF

•・AM-GH

..EF_

・GH~10

・BN7

AM10

(3)过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R,交BC的延长线于S,如图3,

RDS

图3

则四边形ABSR是平行四边形.

ZABC=90°,

・・・平行四边形ABSR是矩形,

AZR=ZS=90°,RS=AB=8,AR=BS.

VAM1DN,

工由⑴中的结论可得照=3

设SC=x,DS=y,则AR=BS=4+x,RD=8-y,

在RSCSD中，x2+y2=16①，

在RSARD中，（4+x）2+（8-y）2=64②，

_12

解由②、①组成的方程组得：｛“一专，｛x"~4（舍去）

V=—yu

J5

32

AAR=4+x=Y，

.DNAR4

>•----=—=-

AMAB5

(1)如图①，若点P恰好在边BC上，连接AP,求黑的值；

DE

(2)如图②，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F,求BF的长.

【答案】(1)解：如图①中，取DE的中点M,连接PM.

.,.ZBAD=ZC=90°,

由翻折可知，AO=OP,AP_LDE,/2=/3,/DAE=/DPE=90。,

在RSEPD中，VEM=MD,

・・・PM=EM=DM,

AZ3=ZMPD,

AZ1=Z3+ZMPD=2Z3,

VZADP=2Z3,

AZ1=ZADP,

VAD//BC,

AZADP=ZDPC,

AZ1=ZDPC,

VZMOP=ZC=90°,

/.△POM^ADCP,

,POCD82

PMPD123

・AO_2Po_2

"DE-2PM-3,

(2)解：如图②中，过点P作GH〃BC交AB于G,交CD于H.则四边形AGHD是矩形，设EG=x,贝I]BG

=4-x

・・・NEPG+NDPH=90。，ZDPH+ZPDH=90°,

・・・NEPG=NPDH,

/.△EGP^APHD,

.EG_PG_EP_4_1

—PH-DH-PD-12-3'

・・・PG=2EG=3x,DH=AG=4+x,

在RtAPHD中，:PH2+DH2=PD2,

A(3x)2+(4+x)2=122,

解得：x=y(负值已经舍弃)，

164

.♦.BG=4-《=g，

在RSEGP中，GP=VEP2-EG2=Y，

VGHZ/BC,

AAEGP^AEBF,

・EGGP

••~，

EBBF

•—16—12

••工=工,

4BF

.♦.BF=3.

10.如图，正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），连结BP将BP绕点B顺

时针旋转90°到BQ,连结QP交BC于点E,QP延长线与边AD交于点F.

⑴连结CQ,求证：AP=CQ；

(2)若AP=：AC,求CE:BC的值；

4

⑶求证：PF=EQ.

【答案】(1)解：:四边形ABCD为正方形,

AAB=BC,ZABC=90°,

IBP绕点B顺时针旋转90°到BQ,

ABP=BQ,ZPBQ=90°,

/.ZABC-ZPBC=ZPBQ-ZPBC,

AZABP=ZCBQ,

在^APB和^CQB中，

AB=BC

{Z.ABP=ZCBQ,

BP=QB

/.△APB^ACQB(SAS),

AAP=CQ.

(2)设AP=x,贝!JAC=4x,PC=3x,由(1)知CQ=AP=x,

△ABC为等腰直角三角形，；.BC='AC=2或x,

在RSPCQ中，由勾股定理有：PQ=7PC2+CQ2=V9x2+xz=VlOx.

且4PBQ为等腰直角三角形，

二BQ=YPQ=V5x,

又NBCQ=NBAP=45。，NBQE=45。，

；./BCQ=/BQE=45。，且NCBQ=/CBQ,

/.△BQE^ABCQ,

••・煞温，代入数据：亳=莪,

/.BE=也x,/.CE=BC-BE=越x,

44

3、历

CE:BC=、=m>

2V28

故答案为：!.

O

(3)在CE上截取CG,并使CG=FA,如图所示：

・：NFAP二NGCQ二45。，

且由⑴知AP=CQ,且截取CG二FA,

故有△PFA^AQGC(SAS),

；・PF=QG,ZPFA=ZCGQ,

又：ZDFP=18O°-ZPFA,ZQGE=180°-ZCGQ,

・・・NDFP=NQGE,

VDAnBC,

.\ZDFP=ZCEQ,

:.ZQGE=ZCEQ,

...△QGE为等腰三角形，

.♦.GQ=QE,

故PF=QE.

II.已知：如图①，将一块45。角的直角三角板DEF与正方形ABCD的一角重合，连接AF,CE，点M是

CE的中点，连接DM.

到①图②

（1）请你猜想AF与DM的数量关系是.

（2）如图②，把正方形ABCD绕着点D顺时针旋转a角（0。<a<90°）.

①AF与DM的数量关系是否仍成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由：（温馨提示：延长DM

到点N,使MN=DM,连接CN）

②求证：AFIDM；

③若旋转角a=45。，且NEDM=2NMDC,求黑的值.（可不写过程，直接写出结果）

【答案】（1）AF=2DM

⑵①AF=2DM仍然成立，

理由如下：延长DM到点N,使MN=DM,连接CN,

•••M是CE中点，

；.CM=EM

又NCMN=/EMD,

/.△MNC^AMDE

；.CN=DE=DF,/MNC=NMDE

・・・CN〃DE,

又AD〃BC

AZNCB=ZEDA

/.△ADF^ADCN

AAF=DN

AAF=2DM

©VAADF^ADCN

AZNDC=ZFAD,

VZCDA=90°,

・•・ZNDC+ZNDA=90°

・・・ZFAD+ZNDA=90°

・・・AF_LDM

③;a=45°,

:.ZEDC=90°-45°=45°

'/ZEDM=2ZMDC,

2

AZEDM=-ZEDC=30°,

3

:.ZAFD=30°

过A点作AG±FD的