统考版2025届高考数学一轮复习课后限时集训41空间几何体的结构及其表面积体积理含解析北师大版

PAGE课后限时集训(四十一)空间几何体的结构及其表面积、体积建议用时：25分钟一、选择题1．下列说法中正确的是()A．斜三棱柱的侧面绽开图肯定是平行四边形B．水平放置的正方形的直观图有可能是梯形C．一个直四棱柱的正视图和侧视图都是矩形，则该直四棱柱就是长方体D．用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分形成的几何体就是圆台[答案]D2．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为()A．eq\f(16,3)π B．eq\f(32,3)πC．16π D．24πB[设球的半径为R，则S＝4πR2＝16π，解得R＝2，则球的体积V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32,3)π.]3．《九章算术》是我国古代数学名著，在《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．若某“阳马”的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该“阳马”的表面积为()A．1＋eq\r(2) B．1＋2eq\r(2)C．2＋eq\r(2) D．2＋2eq\r(2)C[由三视图可得该“阳马”的底面是边长为1的正方形，高为1，则表面积为1＋2×eq\f(1,2)×1×1＋2×eq\f(1,2)×eq\r(2)×1＝2＋eq\r(2)，故选C.]4．用长为8，宽为4的矩形做侧面围成一个圆柱，则圆柱的轴截面的面积为()A.32 B.eq\f(32,π)C.eq\f(16,π) D.eq\f(8,π)B[若8为底面周长，则圆柱的高为4，此时圆柱的底面直径为eq\f(8,π)，其轴截面的面积为eq\f(32,π)；若4为底面周长，则圆柱的高为8，此时圆柱的底面直径为eq\f(4,π)，其轴截面的面积为eq\f(32,π).]5.如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E为棱DD1上的点，F为AB的中点，则三棱锥B1­BFEA.eq\f(1,3) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,12) D.eq\f(1,6)C[由等体积法可知VB1­BFE＝VE­BFB1＝eq\f(1,3)S△BB1F·AD＝eq\f(1,6)×1×eq\f(1,2)×1＝eq\f(1,12).故选C.]6．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，已知AC1⊥平面α，则关于α①截面形态可能为正三角形 ②截面形态可能为正方形 ③截面形态可能为正六边形④截面面积最大值为3eq\r(3)其中推断正确的是()A．①③ B．①②③C.①②④ D．①③④D[如图，明显①③成立，下面说明D成立，如图截得正六边形时，面积最大，MN＝2eq\r(2)，GH＝eq\r(2)，OE＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝eq\f(\r(6),2)，所以S＝2×eq\f(1,2)×(eq\r(2)＋2eq\r(2))×eq\f(\r(6),2)＝3eq\r(3)，故④成立，故选D.]7．(2024·全国卷Ⅱ)已知△ABC是面积为eq\f(9\r(3),4)的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为()A.eq\r(3) B.eq\f(3,2)C.1 D.eq\f(\r(3),2)C[由等边三角形ABC的面积为eq\f(9\r(3),4)，得eq\f(\r(3),4)×AB2＝eq\f(9\r(3),4)，得AB＝3，则△ABC的外接圆半径r＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)AB＝eq\f(\r(3),3)AB＝eq\r(3).设球的半径为R，则由球的表面积为16π，得4πR2＝16π，得R＝2，则球心O到平面ABC的距离d＝eq\r(R2－r2)＝1，故选C.]8.如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为()A.eq\f(\r(2),3) B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(4,3) D.eq\f(3,2)A[(分割法)如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，简单求得EG＝HF＝eq\f(1,2)，AG＝GD＝BH＝HC＝eq\f(\r(3),2)，取AD的中点O，连接GO，易得GO＝eq\f(\r(2),2)，∴S△AGD＝S△BHC＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×1＝eq\f(\r(2),4)，∴多面体的体积V＝V三棱锥E­ADG＋V三棱锥F­BCH＋V三棱柱AGD­BHC＝2V三棱锥E­ADG＋V三棱柱AGD­BHC＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),4)×eq\f(1,2)×2＋eq\f(\r(2),4)×1＝eq\f(\r(2),3).故选A.]二、填空题9.有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为________．2＋eq\f(\r(2),2)[如图1，在直观图中，过点A作AE⊥BC，垂足为E.图1图2在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，∴BE＝eq\f(\r(2),2).而四边形AECD为矩形，AD＝1，∴EC＝AD＝1，∴BC＝BE＋EC＝eq\f(\r(2),2)＋1.由此可还原原图形如图2.在原图形中，A′D′＝1，A′B′＝2，B′C′＝eq\f(\r(2),2)＋1，且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′，∴这块菜地的面积S＝eq\f(1,2)(A′D′＋B′C′)×A′B′＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋1＋\f(\r(2),2)))×2＝2＋eq\f(\r(2),2).]10．圆台的上、下底面半径分别是10cm和20cm，它的侧面绽开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的表面积为________cm2(结果中保留π)．1100π[如图所示，设圆台的上底周长为C，因为扇环的圆心角是180°，所以C＝π·SA.又C＝2π×10＝20π，所以SA＝20(cm)．同理SB＝40(cm)．所以AB＝SB－SA＝20(cm)．S表＝S侧＋S上底＋S下底＝π(r1＋r2)·AB＋πreq\o\al(2,1)＋πreq\o\al(2,2)＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1100π(cm2)．故圆台的表面积为1100πcm2.]11.依据不同的程序，3D打印既能打印实心的几何体模型，也能打印空心的几何体模型．如图所示的空心模型是体积为eq\f(17\r(17),6)πcm3的球挖去一个三棱锥P­ABC后得到的几何体，其中PA⊥AB，BC⊥平面PAB，BC＝1cm.不考虑打印损耗，当用料最省时，AC＝________cm.3[设球的半径为R，由球的体积eq\f(4π,3)R3＝eq\f(17\r(17),6)π，解得R＝eq\f(\r(17),2)cm.因为BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，BC⊥AB，BC⊥PA.因为PA⊥AB，AB∩BC＝B，所以PA⊥平面ABC，所以PA⊥AC.由BC⊥AB可知，AC为截面圆的直径，故可设AC＝xcm(1＜x＜eq\r(17))，取PC的中点O，连接OA，OB(图略)，则PO＝OC＝OA＝OB，故O为球心，所以PC＝eq\r(17)cm.在Rt△PAC中，PA＝eq\r(17－x2)cm，在Rt△ABC中，AB＝eq\r(x2－1)cm，所以VP­ABC＝eq\f(1,3)×S△ABC×PA＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(x2－1)×1×eq\r(17－x2)＝eq\f(1,6)eq\r(x2－117－x2)≤eq\f(1,6)eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2－1＋17－x2,2)))2)＝eq\f(4,3)(cm3)，当且仅当x2－1＝17－x2，即x＝3时，等号成立．所以当用料最省时，AC＝3cm.]12．已知某圆锥的母线长为3，底面半径为1，则该圆锥的体积为_____．设线段AB为该圆锥底面圆的一条直径，一质点从A动身，沿着该圆锥的侧面运动，到达B点后再沿侧面回到A点，则该质点运动路径的最短长度为______．eq\f(2\r(2)π,3)6[该圆锥的高h＝eq\r(32－1)＝2eq\r(2).所以该圆锥的体积V＝eq\f(1,3)×π×12×2eq\r(2)＝eq\f(2\r(2),3)π.将圆锥侧面沿母线SA绽开，如图所示．因为圆锥底面周长为2π，所以侧面绽开后得到的扇形的圆心角∠ASA′＝eq\f(2π,3).由题意知点B是侧面绽开后得到的扇形中弧AA′的中点，连接AB，A′B，SB，则∠ASB＝eq\f(π,3)，可得AB＝A′B＝AS＝3.所以该质点运动路径的最短长度为AB＋A′B＝6.]1．已知三棱锥S­ABC的全部顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为()A.eq\f(\r(2),6) B.eq\f(\r(3),6)C.eq\f(\r(2),3) D.eq\f(\r(2),2)A[由于三棱锥S­ABC与三棱锥O­ABC底面都是△ABC，O是SC的中点，因此三棱锥S­ABC的高是三棱锥O­ABC高的2倍，所以三棱锥S­ABC的体积也是三棱锥O­ABC体积的2倍．在三棱锥O­ABC中，其棱长都是1，如图所示，S△ABC＝eq\f(\r(3),4)×AB2＝eq\f(\r(3),4)，高OD＝eq\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2)＝eq\f(\r(6),3)，∴VS­ABC＝2VO­ABC＝2×eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×eq\f(\r(6),3)＝eq\f(\r(2),6).]2．(2024·福州质检)如图，以