《2 对数函数的性质》讲义

《2对数函数的性质》讲义一、课程导入同学们，咱们之前已经学习了对数函数的概念，今天呢，咱们要深入研究一下对数函数的性质。就像我们认识一个人，光知道他叫什么还不够，还得了解他的脾气秉性一样，咱们得好好探究对数函数这个家伙到底有哪些特点。二、知识讲解（一）对数函数的定义域1、回顾对数函数的定义对数函数的表达式是$y＝＼log_{a}x$（＄a＞0$且$a＼neq1$）。2、定义域的确定同学们想一下，对数函数里这个$x$有没有什么限制呢？对数函数中，真数得是大于0的数。为啥呢？因为对数是指数的逆运算，比如说$a^｛y}＝x$，＄a$是正数，不管$y$取什么值，＄x$肯定是大于0的。所以对数函数$y＝＼log_{a}x$的定义域就是$（0,＋＼infty)＄。这就好比一个房子，只有符合条件（大于0）的数才能住进来成为对数函数这个房子里的居民。（二）对数函数的单调性1、分情况讨论当$a＞1$时，咱们来看个例子，比如说$y=＼log_{2}x$。我们可以取几个特殊的点来看看，当$x＝1$时，＄y=＼log_{2}1＝0$；当$x＝2$时，＄y=＼log_{2}2＝1$；当$x＝4$时，＄y=＼log_{2}4＝2$。同学们发现没有，随着$x$的值越来越大，＄y$的值也越来越大。这就是说当$a＞1$时，对数函数$y＝＼log_{a}x$在定义域$（0,＋＼infty)＄上是单调递增的。当$0＜a＜1$时，比如$y=＼log_{＼frac{1}｛2}｝x$。同样取几个点，当$x＝1$时，＄y=＼log_{＼frac{1}｛2}｝1＝0$；当$x=＼frac{1}｛2}＄时，＄y=＼log_{＼frac{1}｛2}｝＼frac{1}｛2}＝1$；当$x=＼frac{1}｛4}＄时，＄y=＼log_{＼frac{1}｛2}｝＼frac{1}｛4}＝2$。这次我们发现，随着$x$的值越来越大，＄y$的值却越来越小。所以当$0＜a＜1$时，对数函数$y＝＼log_{a}x$在定义域$（0,＋＼infty)＄上是单调递减的。2、总结这就好比我们跑步，当$a＞1$的时候，对数函数这个运动员是越跑越远（＄y$值随着$x$增大而增大）；当$0＜a＜1$的时候，这个运动员是越跑越近（＄y$值随着$x$增大而减小）。（三）对数函数的奇偶性1、判断方法对于对数函数$y＝＼log_{a}x$，它的定义域是$（0,＋＼infty)＄，这个定义域是关于原点不对称的。同学们想想，一个函数要是有奇偶性，它的定义域得关于原点对称才行。就像我们的两只手，左右对称一样。所以对数函数$y＝＼log_{a}x$是非奇非偶函数。（四）对数函数的值域1、分析因为对数函数的定义域是$（0,＋＼infty)＄，当$a＞1$时，＄y＝＼log_{a}x$单调递增，＄x$趋近于0的时候，＄y$趋近于$＼infty$；＄x$趋近于$＋＼infty$的时候，＄y$趋近于$＋＼infty$。当$0＜a＜1$时，＄y＝＼log_{a}x$单调递减，＄x$趋近于0的时候，＄y$趋近于$＋＼infty$；＄x$趋近于$＋＼infty$的时候，＄y$趋近于$＼infty$。所以对数函数的值域是$（＼infty,＋＼infty)＄，就像这个函数的取值可以在整个实数范围内任意驰骋一样。三、重点与难点（一）重点1、对数函数的单调性的判断和应用。这在比较对数函数值的大小、解对数不等式等问题中经常用到。2、对数函数的定义域和值域的准确确定。这是对数函数相关问题的基础，就像盖房子得先打好地基一样。（二）难点1、对数函数单调性的理解。特别是对于底数$a$的不同取值对单调性的影响，同学们要多结合具体例子去理解，不要死记硬背。2、根据对数函数的性质解决复杂的函数问题，比如说对数函数和其他函数组合在一起的综合问题。这就需要同学们把对数函数的性质掌握得很扎实，然后灵活运用。四、互动环节（一）提问一1、我先问个问题啊，那对数函数$y=＼log_{3}x$是单调递增还是单调递减呢？同学们可以先想想对数函数单调性的判断方法哦。（等待同学们回答）对啦，因为底数$3＞1$，所以这个对数函数是单调递增的。（二）提问二2、那对数函数$y=＼log_{＼frac{1}｛5}｝x$的值域是什么呢？（给同学们一点思考时间）没错，根据我们刚刚讲的，对数函数的值域都是$（＼infty,＋＼infty)＄，这个函数也不例外。五、课堂练习（一）选择题1、对数函数$y＝＼log_{0.8}x$在$（0,＋＼infty)＄上是（）A.单调递增B.单调递减C.先递增后递减D.先递减后递增答案：B。因为底数$0.8<1$，根据对数函数单调性的性质，当$0＜a＜1$时对数函数在$（0,＋＼infty)＄上单调递减。（二）填空题2、对数函数$y＝＼log_{5}x$的定义域是____________。答案：＄（0,＋＼infty)＄。对数函数的定义域就是$（0,＋＼infty)＄，不管底数是多少，只要是对数函数，真数就得大于0。