第02讲平行线及其判定（原卷版）

第02讲平行线及其判定知识点1：平行线的定义及画法1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b．注意：(1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可；(2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行．(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系．2.平行线的画法：用直尺和三角板作平行线的步骤：①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合.②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边.③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点.④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行.知识点2：平行公理及推论1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．记作：如果a∥b，b∥c，那么a∥c．注意：(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．（2）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性．知识点3：平行线的判定判定方法（1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单说成：同位角相等，两直线平行．几何语言：∵∠1＝∠2，∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．判定方法（2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．∵∠2＝∠3，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．判定方法（3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．∵∠4＋∠2＝180°，∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．考点剖析考点一：平行线的定义【典例1】在同一平面内两条直线的位置关系可能是（

）A．相交或垂直 B．垂直或平行 C．平行或相交 D．相交或重合【变式11】下列说法正确的是（

）A．在同一平面内，两条线段不相交就平行 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行C．两条射线或线段平行是指它们所在的直线平行 D．两条不相交的直线是平行线【变式12】如图，工人师傅在贴长方形的瓷砖时，为了保证所贴瓷砖的外缘边与上一块瓷砖的两边互相平行，一般将两块瓷砖的一边重合，然后贴下去．这样做的数学依据是．【变式13】如图，在同一平面内，经过直线外一点的4条直线中，与直线相交的直线至少有条．

考点二：平行线公理及推论【典例2】是直线，下列说法正确的是()A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【变式21】如果，那么．考点三：平行线判定同位角相等，两直线平行【典例3】如图，点A在射线上，点C在射线上，，．求证：．请将下面的证明过程补充完整．证明：∵（已知），，∴______，∵（已知），∴______（______），∴（______）．【变式31】下面是李强想出画一条直线的平行线的方法，这种画法的依据是（

）（1）

（2）过点作直线

（3）作，则A．两直线平行，同位角相等 B．内错角相等，两直线平行C．同旁内角互补，两直线平行 D．同位角相等，两直线平行【变式32】已知：如图，直线与被所截，．求证：．

【变式33】如图所示，直线，相交于点C，过点C作射线，使得平分，若，试说明．

考点四：平行线判定内错角相等，两直线平行【典例4】如图，已知于点于点．试说明：．

解：（已知），（__________）．同理，．（__________），即．（已知）_______（___________）．∴__________（____________）．【变式41】如图所示，已知，平分，试说明．

【变式42】如图，，，分别是，的平分线，，试探究与的位置关系并说明理由．

请完善下列解题过程．解：与的位置关系是___________．，分别是，的平分线（已知），___________，___________（

）．（已知），___________．又（已知），（

），（

）．【变式43】如图，点在上，，且平分．

(1)平分吗？试说明理由．(2)若，，求证：．考点五：平行线判定同旁内角互补，两直线平行【典例5】如图，已知平分平分，且与互余．试说明：．

【变式51】如图，已知，求证：∥．

过关检测一、选择题1．如图，已知，要使，则需具备的另一个条件是（

）

A． B． C． D．2．下列命题正确的是（

）①在同一平面内，两条直线不平行就相交；②如果线段与线段不相交，那么直线和平行；③如果，，那么；④同旁内角相等，两直线平行．（

）A．③ B．②③ C．①③ D．①②③3．如图，能判定的条件是（

）

A． B． C． D．4．如图，能判定的是（

）

A． B． C． D．5．如图，已知直线外一点，过点画直线，使，借助三角板有如下操作：①固定直尺，并沿方向移动三角板，使斜边经过点；②用三角板的斜边靠上直线；③沿三角板斜边画直线；④用直尺紧靠三角板的一条直角边．正确的操作顺序是（

）A．①②③④ B．②④③① C．②④①③ D．④③②①6．如图，已知，是上一点，直线与的夹角，要使，直线绕点按逆时针方向至少旋转（

）度

A． B． C． D．7．如图，将一副三角尺如图放置，、交于点，，，则下列结论不正确的是(

)

A． B．C．若，则 D．若，则8．一学员练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（

）A．第一次向左拐，第二次向右拐 B．第一次向右拐，第二次向左拐C．第一次向右拐，第二次向右拐 D．第一次向左拐，第二次向左拐9．如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是（

）

A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等10．下列语句中正确的个数有（

）①过一点有且只有一条直线与已知直线平行②在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直③如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离⑤如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行A．1 B．2 C．3 D．411．工人师傅对如图所示的零件进行加工，把材料弯成了一个40°的锐角，然后准备在A处第二次加工拐弯，要保证弯过来的部分与BC保持平行，弯的角度是()A．40° B．140° C．40°或140° D．50°二、填空题12．如图，两块三角板形状大小完全相同，则边的依据是．（写一个即可）13．如图所示，一个弯形管道的拐角，，管道，的关系是，依据是．

三、解答题14．如图，已知E，B，C三点共线，平分，，试说明：．因为平分（），所以=（），又因为（