河北省保定市2023-2024学年高一下学期期末调研考试数学试题

2023—2024学年第二学期高一期末调研考试数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z满足，则复数z的虚部为（）A.1 B.－1 C. D.2.已知直线m，平面、、，下面条件能推出的是（）A.， B.，C.m与、所成的角相等 D.，3.若一组数据3，4，m，7，9的平均数为6，则这组数据的方差是（）A.3 B. C. D.4.在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，，，则c为（）A. B. C. D.55.底面积是，侧面积是的圆锥的体积是（）A. B. C. D.6.在正三棱柱中，，则点A到平面的距离为（）A. B. C. D.17.一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4.从中不放回的依次取出两个球，A表示事件“取出的两球不同色”，B表示事件“第一次取出的是红球”，C表示事件“取出的两球同色”，则下列说法错误的是（）A.A与C互斥 B.A与B相互独立 C. D.8.已知的外接圆圆心为O，且，，点D是线段BC上一动点，则的最小值是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知是虚数单位，下列说法中正确的是（）A.若，互为共轭复数，则B.若复数z满足，则复数z对应的点在以点为圆心，3为半径的圆上C.复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为D.若是关于x的方程的一个根，其中p，q为实数，则10.设Ox，Oy是平面内相交的两条数轴，其中（且），，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量.若平面向量满足，则有序数对称为向量在“仿射”坐标系xOy下的“仿射”坐标，记作，下列命题中是真命题的是（）A.已知，则B.已知，，则C.已知，，则D.已知，，若，则11.正方体的棱长为2，点M是四边形内部及边界上一动点，点P是棱上靠近点A的三等分点，下列结论正确的有（）A.B.当直线AM与平面所成的角为时，点M的轨迹长度为C.若，则点M的运动轨迹长度为D.直线被正方体的外接球所截得的线段的长度为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，，若，则______.13.在山脚A测得山顶P的仰角，沿倾斜角的公路向上走600m到达B处，在B处测得山顶P的仰角，如图，若在山高的处的点S位置建造下山索道，则此索道离地面的高度为______m.14.我国古代《九章算术》中将底面为矩形，顶部为一条棱，且棱与底面平行的五面体称为刍甍，如图，刍甍有外接球，且，，，，则该刍甍外接球的表面积为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）“青年大学习”是由共青团中央发起，广大青年参与，通过学习来提升自身理论水平、思维层次的行动.某市宣传部门为了了解广大青年的学习情况，从全市随机抽取了1000名共青团员进行调查，统计他们2023年下半年的学习时长，下图是根据调查结果绘制的频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中a的值，并估计学习时长的样本数据的67%分位数；（2）为了解广大青年学习的具体情况，现采用比例分配的分层随机抽样方法，从样本中再抽取50人参加座谈，则参加座谈的共青团员中学习时长在区间内的有多少人？16.（15分）如图在长方体中，，，点E在棱AB上移动.（1）证明：；（2）若点E满足，求二面角的平面角的正切值.17.（15分）甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，比赛规则如下：每次比赛两人上场比赛，第三人为裁判，一局结束后，败者下场作为裁判，原裁判上场与胜者比赛，按此规则循环下去，共进行4局比赛.三人决定由乙、丙先上场比赛，甲作为裁判.（1）第一局比赛开始前，丙提出由掷骰子决定谁先发球，连续抛掷一枚质地均匀的六面体骰子两次，记下骰子朝上的点数，若两次点数之和为6则由乙发球，两次点数之和能被4整除则由丙发球，用所学知识判断这个方法公平吗？并说明理由；（2）三人实力相当，在每局比赛中战胜对手的概率均为，每局比赛相互独立且每局比赛没有平局，求在四局比赛中甲当2局裁判的概率.18.（17分）一块四棱锥木块如图所示，平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，且，.（1）要经过点B、D将木料锯开，使得截面平行于侧棱SA，在木料表面该怎样画线？并说明理由；（2）计算（1）中所得截面的面积；（3）求直线SC与（1）中截面所在平面所成角的正弦值.19.（17分）阿波罗尼奥斯（Apollonius）是古希腊著名的数学家，他提出的阿波罗尼奥斯定理是一个关于三角形边长与中线长