四川省仁寿第一中学北校区2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学

高2023级第二学期半期质量检测数学试卷时间：120分钟总分：150分一、单选题（每题5分，共40分。每小题只有一个正确选项，选对5分，选错0分）1．已知复数，则复数（

）A． B． C． D．2．已知，则的值是（

）A． B． C． D．3．已知非零向量满足，则在方向上的投影向量为（

）A． B． C． D．4．内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，的面积为，则（

）A． B． C．2 D．45．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，如图所示，，则原平面图形的面积为（

）A． B． C． D．6．以边长为2的正三角形的一边所在直线为旋转轴，将该正三角形旋转一周所得几何体的表面积为（

）A． B． C． D．7．已知正三棱锥的侧棱与底面边长的比值为，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥的高为（

）A．1 B． C． D．8．在平行四边形中，为的中点，，与交于点，过点的直线分别与射线，交于点，，，，则的最小值为（

）A．1 B． C． D．二、多选题（每题6分，共18分。全部选对得6分，少选得部分分，选错得0分）9．已知直线，，平面，，则下列说法错误的是（）A．，，则B．，，，，则C．，，，则D．，，，，，则10．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，则（

）A．的外接圆半径为 B．C． D．为锐角三角形11．如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，是线段上的动点，则下列说法中正确的是（

）A．存在点，使四点共面B．存在点，使平面C．三棱锥的体积为D．经过四点的球的表面积为三、填空题（每小题5分，共15分。请将答案填在答题卡的相应位置）12．已知向量，若，则.13．正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素．如图，该几何体是一个棱长为2的正八面体，则此正八面体的体积与表面积的数值之比为.

已知函数在上有且仅有三个零点，则的取值范围是.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答写出文字说明、证明过程或者演算步骤）15．（13分）如图，已知四棱锥中，底面是平行四边形，为侧棱的中点.

(1)求证：平面；(2)设平面平面，求证：.16．（15分）已知向量满足，．(1)求；(2)求；(3)若向量与向量的方向相反，求实数的值．17．（15分）记的内角的对边分别为，已知(1)试判断的形状；(2)若，求周长的最大值.18．（17分）函数在内只取到一个最大值和一个最小值，且当时，；当时，.（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调递增区间；（3）是否存在实数，满足不等式？若存在，求出的范围（或值）；若不存在，请说明理由.19．（17分）如图，在直三棱柱中，，D是BC边的中点，．(1)求直三棱柱的体积；(2)求证：面；(3)一只小虫从点沿直三棱柱表面爬到点D，求小虫爬行的最短距离．5月半期质量检测数学答案1．B【详解】由复数的运算可得.2．C【详解】因为，所以，即．3．B【详解】在方向上的投影向量为.4．D【详解】由，则，因为sinB>0，,故,又，所以，由的面积为，得，解得.5．A【详解】如图，在直观图中过点，作交于点，因为，所以，，即将直观图还原为平面图如下：则，，，所以.C【详解】如图，正三角形绕所在直线为旋转轴旋转一周，得到几何体是两个同底的全等圆锥，底面半径,母线长,由圆锥的侧面积公式可得该几何体的侧面积为.7．B【详解】如图，为等边三角形，设为中点，面，，则，所以，设三棱锥外接球的半径为，由正棱柱性质可知球心为在直线上，则，即，所以.由，解得.所以三棱锥的高为.8．C【详解】由，，共线，可设，由,,三点共线，故可设，则有，解得：，故，由题意，，，三点共线，故可设，则，整理得，故，当且仅当，即时等号成立，则的最小值为；9．ABC【详解】选项A中，若，，则可能在内，也可能与平行，故A错误；选项B中，若，，，，则与也可能相交，故B错误；选项C中，若，，，则与也可能相交，故C错误；选项D中，若，，，，，依据面面平行的判定定理可知，故D正确．10．BC【详解】对于A，因为，所以．因为，所以，所以的外接圆半径为，故A不正确；对于B，因为，所以，故B正确；对于C，因为，所以，即．因为，所以，故C正确；对于D，由选项C，，因为，即，所以角是钝角，所以为钝角三角形，故D不正确．11．ABC【详解】A：如图，在正方体中，连接．因为N，P分别是的中点，所以．又因为，所以．所以四点共面，即当Q与点重合时，四点共面，故A正确；B：连接，当Q是的中点时，因为，所以．因为平面平面，所以平面，故B正确；C：连接，因为，则，故C正确；D：分别取的中点E，F，构造长方体，则经过C，M，B，N四点的球即为长方体的外接球．设所求外接球的直径为，则长方体的体对角线即为所求的球的直径，即，所以经过C，M，B，N四点的球的表面积为，故D错误．12．【详解】由向量，因为，可得，解得.13．【详解】正八面体的表面是8个全等的正三角形组成，其中正边长为2，则正八面体的表面积，而正八面体可视为两个共底面的，侧棱长与底面边长相等的正四棱锥与拼接而成，正四棱锥的高，则正八面体的体积，于是得，所以正八面体的体积与表面积之比为.14.【详解】因为，故可得，由，故可得，令，可得，则或或或，，因为在上有且仅有三个解，，解得．证明：（1）设，连接，因为是平行四边形，故，又为侧棱的中点，故.又平面，平面，故平面.因为，平面，平面所以平面.又因为平面平面，平面所以16．(1)(2)(3)【详解】（1）因为，，所以，则，所以，所以，所以；（2）因为，所以；（3）因为，，所以，，因为与共线，则，解得或，当时，，，则，此时与方向相同，不符题意；当时，，，则，此时与方向相反，符合题意；综上可得．17．(1)是直角三角形(2)【详解】（1）解：由，可得，所以，即，所以，又由余弦定理得，可得，所以，所以是直角三角形（2）解：由（1）知，是直角三角形，且，可得，所以周长为，因为，可得，所以，当时，即为等腰直角三角形，周长有最大值为.18．（1）；（2）.（3）存在，【详解】（1）由题意，可得，，所以，所以，所以.由点在函数图象上，得，因为，所以，所以.（2）当时，即时，函数单调递增，所以函数的单调递增区间为.（3）由题意，实数满足，解得.因为，所以，同理，由（2）知函数在上单调递增，若，只需，即成立即可，所以存在，使成立.19．(1)144；(2)证明见解析；(3).【详解】（1）在直三棱柱中，由，得，由，得，，所以直三棱柱的体积.（2）连接，连接，由矩形，得是的中点，而D是BC边的中点，则，又平面，平面，所以平面.（3）当小虫从点沿爬到点D，把矩形与置于同一平面内，如图，连接，过作于，交于点，由，得，，，，则，因此；当小虫从点沿正方形爬到点D