【北京卷】北京市海淀区2024-2025学年高三上学期10月月考（10.5-10.7）数学试卷+解析

数学试题1.设集合M={2m-1,m-3}，若-3∈M，则实数m=()A.0B.-1C.0或-1D.0或1【答案】C【解析】【分析】根据元素与集合的关系，分别讨论2m-1=-3和m-3=-3两种情况，求解m并检验集合的互异性，可得到答案.【详解】设集合M={2m-1,m-3}，若-3∈M，:-3∈M，:2m-1=-3或m-3=-3，当2m-1=-3时，m=-1，此时M={-3,-4}；当m-3=-3时，m=0，此时M={-3,-1}；所以m=-1或0.故选：CA.an=2n-5B.an=3n-10C.Sn=2n2-8nD.Sn=n2-2n【答案】A【解析】【分析】等差数列通项公式与前n项和公式．本题还可用排除，对B，5S45【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断.【答案】B【解析】【分析】根据指对数的性质，分别求三个数的范围，再比较大小.1.50.30.3故选：B【答案】D【解析】【分析】利用复数除法法则计算出=2i，求出模长.2故选：D5.下列函数中，既是偶函数又是区间(0,+∞)上的增函数的是()A.B.C.y=lgxD.【答案】C【解析】【分析】根据幂函数和指对函数的奇偶性和单调性，逐一检验选项，得出答案.选项A，y=是非奇非偶函数，是区间(0,+∞)上的增函数，错误；选项B，y=是偶函数，是区间(0,+∞)上的减函数，错误；选项C，y=lgx是偶函数，是区间(0,+∞)上的增函数，正确；选项D，y=是奇函数，是区间(0,+∞)上的增函数，错误；故选：CA.6B.5C.5D.6【答案】C【解析】出实数t的值. 2222故选：C.A.若a+b=0，则f(x)为奇函数B.若a+b=，则f(x)为偶函数C.若ba=，则f(x)为偶函数D.若ab=π,则f(x)为奇函数【答案】B【解析】【分析】根据选项中a,b的关系，代入f(x)的解析式，对AD用特值说明f(x)不是奇函数，对BC用奇偶性的定义验证即可.【详解】f(x)的定义域为R，f(0)=cosa一sina=0不恒成立，故f(x)不是奇函数；f(x)，故f(x)为偶函数，B正确；故f(x)不是偶函数，故C错误；若f(x)为奇函数，则f(0)=0，而f(0)=一cosb+sinb=0不恒成立，故f(x)不是奇函数；故选：B,若对任意的x≤1有f(x+2m)+f(x)>0恒成立，则实数m的取值A.【答案】A【解析】【分析】根据奇函数的定义证明f(x)为奇函数，再判断函数的单调性，利用函数的性质化简不等式可得m的取值范围.函数f(x)为奇函数，又当x>0时，f(x)=·为单调递减函数，所以不等式f(x+2m)+f(x)>0可化为f(x+2m)>f(一x)，由已知对任意的x≤1有x<-m恒成立，所以1<-m，即m<-1，故m的取值范围是(-∞,-1).故选：A. A.3-1B.3+1C.2D.2-3【答案】A【解析】【分析】先确定向量a-、b-所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值..re2222 因此，-的最小值为圆心(2,0)到直线y=±、i3x的距离=v3减去半径1，为s3-1.选A.【点睛】以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法.10.已知函数f(x)=·+k，若存在区间[a,b]，使得函数f(x)在区间[a,b]上的值域为[a+1,b+1]则实数k的取值范围为()A.(-1,+∞)B.(-1,0]【答案】D【解析】【分析】根据函数的单调性可知即得故可知··,ib+1是方程x2-x-k=0的两个不同非负实根，由根与系数的关系即可求出.【详解】根据函数的单调性可知即可得到即可知·a+1,·b+1是方程x2-x-k=0的两个不同非负实根，所以故选：D.【点睛】关键点睛：利用函数的单调性以及一元二次方程的根与系数的关系是解决本题的关键.【答案】##0.5【解析】【分析】由三角函数定义得到cosα=再由诱导公式求出答案.【详解】由三角函数定义得cosα=由诱导公式得=cosα=故答案为：12.记Sn为数列{an}的前n项和，若Sn=2an+1，则S6=.【答案】-63【解析】【分析】首先根据题中所给的Sn=2an+1，类比着写出Sn+1从而确定出数列{an}为等比数列，再令n=1，结合a1,S1的关系，求得a1=-1，之后应用等比数列的求和公式求得S6的值.所以数列{an}是以-1为首项，以2为公比的等比数列，所以=-63，故答案是-63.点睛：该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令n=1，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.【解析】况，得到不等式，求出答案.14.若函数f(x)=Acosx-sinx(A>0)的最大值为2，则A=，f(x)的一个对称中心为_______答案不唯一）【解析】【分析】根据辅助角公式对函数f(x)进行化简，再根据最大值求出A，最后利用余弦型函数求出对称中心.又函数f(x)的最大值为2，则·=2， (π)故答案为：3，|(3,0, (π)15.对于函数y=f(x)，若在其定义域内存在x0，使得x0f(x0)=1成立，则称函数f(x)具有性质P.（1）下列函数中具有性质P的有.①f(x)=-2x+2（2）若函数f(x)=alnx具有性质P，则实数a的取值范围是.【答案】①.①②④②.a＞0或a≤-e.【解析】（2）问题转化为方程xlnx=有根，令g(x)=xlnx，求导函数，分析导函数的符号，得所令函数的单调性及最值，由此可求得实数a的取值范围.【详解】解1）在x≠0时，有解，即函数具有性质P，令-2x+2，即-2x2+2·i2x-1=0，)具有性质P；令此方程无解不具有性质P；)有交点，所以ln有根，所以综上所述，具有性质P的函数有：①②④;（2）f(x)=alnx具有性质P，显然a≠0，方程xlnx=有根，'g当-1<x<时，g'所以在上单调递减，当x>时， 上单调递增，'g(x)>0，所以g(x)在【点睛】方法点评：解决本题的关键是审清题意，把方程的解转化为两个图象有交点，本题考查的是方程的根，新定义，函数的值域，是方程和函数的综合应用，难度比较大.已知，使VABC存在且唯一确定，并解决下面的问题：（1）求角B的大小；（2）3或4（2）求VABC的面积.2兀（2）VABC的面积为1.【解析】【分析】（1）选①,利用三边关系可判断VABC不存在；选②：利用余弦定理可求得角B的值；选③：利用正弦定理可求得tanB的值，结合角B的取值范围可求得角B的值；（2）利用余弦定理可求得c的值，再利用三角形的面积公式可求得VABC的面积.【小问1详解】选①：因为c=4，则a+b<c，则VABC不存在；2选③：:acosB=bsinA，则sinAcosB=sinAsinB，【小问2详解】17.已知Sn是等差数列{αn}的前n项和，S5=a11=20，数列{bn}是公比大于1的等比数列，且b=b6，（1）求数列{αn}和{bn}的通项公式；设cn=，求使cn取得最大值时n的值.n【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项及前n项和公式求出首项与公差，即可求出数列{αn}的通项公式，再求出数列{bn}的首项与公比，即可得{bn}的通项公式；（2）先求出{cn}的通项，再利用作差法判断数列的单调性，根据单调性即可得出答案.【小问1详解】设等差数列{αn}的公差为d，设等比数列{bn}的公比为q(q>1)，则，解得所以bn=2n；【小问2详解】234，0,c4c5所以当n=3或4时，cn取得最大值.（1）求f(x)的最小正周期和单调增区间；（2）若函数y=f(x)一a在x∈[,]存在零点，求实数a的取值范围.【解析】【分析】（1）化简函数=3sin结合三角函数的图象与性质，即可求解；（2）根据题意转化为方程上有解，以2x一为整体，结合正弦函数图象运算求解.【小问1详解】,所以函数f(x)的最小正周期为T==π,令-+2kπ£2x-£+2kπ,kÎZ，则-+kπ#x+kπ,kZ，∴函数f(x)的单调递增区间为【小问2详解】a3故实数a的取值范围是[0,3].（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）当a>0时，求证：函数f(x)在区间(0,1)上有且仅有一个零点.当a>0时，f(x)的单调递减区间为单调递增区间为.（2）证明过程见解析【解析】【分析】（1）求出导数，然后通过对a分情况讨论，研究导数的符号研究函数的单调性2）结合第一问的结果，判断出函数在(0,1)上的单调性，然后结合端点处的函数值的符合证明【小问1详解】当a=0时，f,，由f,>0得：x<2，故此时f(x)的单调递减区间为单调递增区间为(|(一,2),当a>0时，f(x)的单调递减区间为单调递增区间为【小问2详解】由（1）可知，当a>0时，f(x)的单调递增区间为，而，所以f在上所以f(0).f(1)<0，由零点存在性定理可得函数f(x)在区间(0,1)上有且仅有一个零点（1）求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；（2）求f(x)在区间[一1,1]上的最大值；（3）设实数a使得f(x)+x>aex对x∈R恒成立，写出a的最大整数值，并说明理由.（3）2，理由见解析【解析】【分析】（1）求出函数在x=0处的导数，即切线斜率，求出f(0)，即可得出切线方程；（2）求出函数在区间[一1,1]上的单调性，求出最值即可；数的单调性和最小值，进而得证.【小问1详解】所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=一x.【小问2详解】令g(x)在[1,1]上单调递增.所以当x∈(1,x0)时，f,(x)<0，f(x)单调递减；1)时，f,(x)>0，f(x)单调递增，所以max=f【小问3详解】理由如下：不等式f(x)+x>aex恒成立等价于a<sinx一恒成立. xeh,(x)与h(x)的情况如下：x1h,(x)一0+h(x)1e(1)=，当x趋近正无穷大时，h(x)<0，且h(x)无限趋近于0，因为sinx∈[1,1]，所以φ(x)的最小值小于1且大于2.（1）对于数列{an}：1,2,3，列出集合T的所有元素；（2）若an=2n是否存在i,j∈N*，使得S(i,j