十四 空间点、线、面之间的位置关系（解析版）-2022届高三《新题速递数学》8月刊（江苏等新高考地区专用 适用于高考复习）

专题十四空间点、线、面之间的位置关系

第I卷（选择题）

一、单选题

1.设a,£表示平面，/表示直线，A8,C表示三个不同的点，给出下列命题：

①若A&l,A&a,B&l,Bea,贝”ua；

②若a,£表示不同的平面，A,^a,A&/3,则C口A=43；

③若/（za,Aw/,则Aea;

④若AB,Cea,A8,CG〃，则a与4重合.

其中，正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】

由平面的基本性质的公理1可判断①；由公理2判断②；由线面的位置关系可判断③；由平面基本性质的

公理3可判断④.

【详解】

a,夕表示两个平面，/表示直线，A，8，C表示三个不同的点，

①若Ae/，Aea，Bel，Bea,贝Hua，由平面的基本性质的公理1,可得①正确；

②a,万不重合，若Awa,Ae〃，Bea，8e£,则。口尸=AB,由平面的基本性质的公理2,可

得②正确；

③若/（Z。，Aw/,则Awa或Aia,可得③不正确；

④若A，B，Cea,A，B，C&/3,如果A,B，。不共线，则a与尸重合，如果3点共线，则a

与夕可以相交.由平面的基本性质的公理3,可得④不正确.

其中正确的个数为2,

故选：B

2.设牡〃是两条不同的直线，a,/3,7是三个不同的平面，给出下列四个命题：

①若加//a,a1/3,则加_L£：②若〃z_L/?,〃?//I,则a_L/?；

③若cn/?=加，ml!y,则a//y,£///；④若0工y,则。//月；

则真命题为（）

A.②③B.③④C.②D.②④

【答案】C

【分析】

利用特例法判断①③④，利用线面平行的性质以及面面垂直的判定定理判断②.

【详解】

若m//a,aL/3,有可能mu。，①不对；

若机m//a，则平面a内存在一条直线〃//相，可得〃，4，则a_k月,②正确；

若£口尸=加，加/什，则a，/以及都可能相交，如三棱柱的三个侧面，③不对：

若a，/,Z?±/,则a,£有可能相交，④不对：

故选：C.

3.在长方体中，BC和CQ与底面ABCQ所成的角分别为30。和45°,则异面直线用C

和G。所成角的余弦值为（）

A1B2c历DC

4444

【答案】C

【分析】

由题意可知该长方体为正四棱柱，各边长度的关系也确定了，再将异面直线通过平行关系构造异面直线所

成角，然后求值.

【详解】

如图：:ABJ.平面ABC。，，/吕。々是BC与底面所成角，.•.NBC4=30°,•••CG，底面AB8,

二ZCDC,是CQ与底面所成的角，二ZCDC）=45°,连接AQ,,则AD〃B、C.

或其补角为异面直线BC与G。所成的角.不妨设=1,则CG=1,CB]=DA=2,

BC=6；.C[D=C，4G=2.在等腰A4G。中，cosZADC=亚,所以异面直线8。

.个IA。4

和G。所成角的余弦值为注.

故选：c.

4.已知m,n是两条不同的直线a，B是两个不同的平面有下列4个命题：

(1)若加//〃,〃ua.则机//。：

(2)若加_L〃,/n_La,〃cZa.则n//a；

(3)若aVf3,mLa,nVp.则m±n；

(4)若"2,"是异面直线机ua,〃u£,m//A.则n!la.

其中正确的命题有()

A.(1)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)D.(2)(4)

【答案】B

【分析】

利用空间中直线与平面，直线与直线之间的位置关系逐一判断即可

【详解】

对于(1)：也可能mu故(1)错误；

对于(2)：过直线及作垂直于加的平面夕，由M_La,〃za.可知a//〃，于是必有〃//a,故(2)正

确

对于(3)：有条件易知〃?//£或mu/?,又〃_L£.因此必有mVn,故(3)正确；

对于(4)：取正方体中两异面的棱及分别经过此两棱的不平行的正方体的两个面即可判断命题不成立，故

(4)错误

综上可知(2)(3)正确

故选：B

5.已知直线a、b是两条不重合的直线，a、乃是两个不重合的平面，则下列命题正确的是()

A.若a_La，a:廿,则。〃£

B.若W/a,blip,alip,则a//)

C.若a_L/?,b±a,allp,则a〃/?

D.若。〃尸，。与a所成角和b与"所成角相等，则a〃5

【答案】A

【分析】

对选项A,根据垂直于同一条直线的两个平面互相平行，即可判断A正确,对选项B,C,D,借助长方体

和正方体依次判断即可得到答案.

【详解】

对选项A,根据垂直于同一条直线的两个平面互相平行，即可判断A正确;

对选项B,在长方体中，如图所示：

Ob

满足a〃a，blip,alip,此时4与b的位置关系为异面，故B错误；

对选项C,在长方体中，如图所示：

1/

满足二bA-a,a//p,此时a与夕相交，故C错误；

对选项D,在正方体中，如图所示：

0

满足a〃万，。与。所成角和b与夕所成角相等，此时。与人相交，故C错误；

故选：A

6.在长方体A6CO-4&G〃中，AB=AD=\，A4,=C，直线AQ和BC所成的角为（）

【答案】C

【分析】

根据题意画出示意图，再根据平行线找到异面直线所成的角，最后根据线段长度求出角的大小即可.

【详解】

由题意，画出示意图如下：

由于8C7/AD,

所以百线AC,和所成的角为内线AC,和AD所成的角即NDAG,

连接。G，因为AD_L而CDD6，且。Gu面CDD£,

所以AOLOG，

因为AB=AZ>=1，A4=V2,所以AG=2,

则在直角AD4G中，cosND4cl=g,

TC

所以ND4G=—，

3

yr

由于异面直线所成角的范围为（0,]],

TT

所以直线AG和8C所成的角为一.

故选：C

Z)1G

7.已知长方体ABC。-AAGA的底面是边长为4的正方形其外接球的表面积为64兀，则异面直线与

A4所成的角的余弦值为（）

A.EB.也C・立D.巫

8223

【答案】C

【分析】

根据外接球的表面积求解出长方体的高，然后通过平行关系先确定出异面直线所成角为或其补角，

然后根据长度关系可完成计算.

【详解】

设长方体的高为/?,长方体外接球的半径为A，所以4万A?=64%，所以火=4，

乂因为长方体的体对角线为外接球的直径，

所以2/?=142+42+〃2=8,所以〃=40，

连接，如下图所示:

因为A&//OA,所以直线Bq与A4所成的角即为NBA。或其补角，

又因为BD,=^42+42+（4>/2）2=8，DD、=h=4日

「二卜1/onn_DDI_4>/2_V2

,所以cosNBD[D=----=-----,

1fiD,82

所以异面直线BD「与A4,所成的角的余弦值为在，

2

故选：C.

8.已知菱形A6C。中有A3=BZ）=2,把△A3。沿8D折起，使点A到达点P处，且PC=3,若点E

为线段PO中点，则异面直线属与PC所成角的余弦值为（）

A上B6c1口5

24212

【答案】B

【分析】

本题首先可结合题意绘出图形，取CO中点F，连接8E、BF、EF，然后根据所//PC得出NB防或

其补角即异面直线砧与PC所成角，最后通过余弦定理即可求出结果.

【详解】

如图，结合题意绘出图形，

p

BC

取CO中点/，连接BE、BF、EF,

因为点E为线段PO中点，1r是线段CO中点，

3

所以EF//PC,EF=—,NBE/或其补角即异面直线BE与PC所成角,

2

因为四边形ABCD是菱形，AB=BD=2,所以8£=8尸=6，

故异面直线BE与PC所成角的余弦值为昱，

故选：B.

9.如图，圆台。。的上底面半径为0,4=1,下底面半径为Q4=2,母线长A4=1,过OA的中点B作OA

的垂线交圆。于点c,则异面直线oq与4c所成角的大小为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】B

【分析】

连接AB，OC，可知NB4C为异面直线。。与A。所成的角，在/?以46。中，BC=A,B,从而可

得答案.

【详解】

由题知8在直角梯形OGAA中，因为B为OA的中点，。4=2,

所以0A=OB=AB-1,

连接易证四边形。QA6为矩形，所以。。"/48,

所以NB41c为异面直线。。「与AC所成的角，

在HNABA中，A4|=2,所以4,5=6，

连接0C，在用AOBC中，由08=1,0C=2,得BC=6；

在心AABC中，BC=\B,所以NB4C=45。，

故选：B.

【点睛】

思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题

化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：

(1)平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角：

(2)认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；

(3)计算：求该角的值，常利用解三角形；

(4)取舍：由异面直线所成的角的取值范围是[0,],当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面

直线所成的角.

10.已知四棱锥。-A8CO的底面ABC。为平行四边形，M是棱上靠近点。的三等分点，N是BQ

的中点，平面AMNcC"=",则黑=(

)

【答案】D

【分析】

将图形补全为三棱柱，然后证得所以〜AEC"，从而得到曳L=0乜=2,然后即可求得结果..

HCEC3

【详解】

将棱锥补全成棱柱，作D|E〃AB,艮。5=48,因为四边形A5CD为平行四边形，所以CD〃AB,且

CD=AB，所以AE〃A3〃C£>,且D|E=A8=CD,因为N是5鼻的中点，所以延长AN必过点E,

连接ME交QC于H,此时四点共面，因为四边形为平行四边形，所以RO〃CE,且

DQ=CE,所以AM'H〜AEC”,又因为〃是棱。£\上靠近点D的三等分点，所以也=型人=-,

HCEC3

故选：D.

11.己知棱长为。的正方体43。-44Gq的所有顶点均在体积为32百万的球。上，动点P在正方形

A用GA内运动（包含边界），若直线ca与直线AP所成角的正弦值为:，则（）

A.a=2

B.点P运动轨迹的长度为也》

C.三棱锥P-AGA体积的取值范围为一；

D.线段。尸长度的最小值为

【答案】C

【分析】

由正方体ABC£>—AB|GR的棱长为。，求出球。的半径为走4,利用体积求解4判断A；说明乙4田尸

2

即直线CG与直线AP所成的角，连接AP，转化求解点尸运动轨的长度判断5；由等体积法可知

Vp-AG。,=匕/Go,，求解体积的范围判断c；设正方形A4GA的中心为0{,连接O,P,oo,,当a,

p,a-：点共线时，0尸取得最小值，求出最小值判断。.

【详解】

由正方体的棱长为。，得球。的半径为且。，

2

所以%=g）与a=32后，解得a=4,故4错误；

因为CC//A&，所以NA/P即直线CG与直线AP所成的角，

1

所以sin/4Ap=§,所以tan/AAPu%-.

连接4尸，因为朋=4,所以AP=A4,TanNA1Ap=0，

所以点P的运动轨迹是以A为圆心，72为半径的圆的四分之一，

所以点P运动轨的长度为LX2"X0=-,故B错误；

42

由等体积法可知VpfCQ,=匕-PG。,，由点P的运动轨迹可知，P到线段£2的距离d满足4一及WdW4,

所以△PGA的面积Se[8—2j5,8]，易知平面PGA，所以

,71..「F32-87232],,一

=匕-户的。1=§SAPCQIG，彳，故C正确；

设正方形A&G。的中心为。「连接gp,。。,则0%加=Joo；+a可，易知当A，P，O|三点共线

时，。产取得最小值，所以OP“、g=8?+（2垃-垃）2=正,故。错误.

故选：c

12.如图，在直四棱柱ABC。-A5GD]中，底面ABCQ为矩形，AB=^AD,E,P分别为BBi,AB的

A.AG〃平面。EF且4G_L。尸

B.4G〃平面DEF且4G与。尸不垂直

C.4G与平面DEF相交且4G，。尸

D.AiG与平面OEF相交且4cl与OF不垂直

【答案】C

【分析】

延长。尸、CB相交于点M,连接ME并延长，根据平面几何性质可证得M、E、G三点共线，可判断AG

与平面。所的位置关系，连接4c与田相交于点。，根据三角形相似的判定可证得NAOF=90。，证得

AC1DF,由此可得选项.

【详解】

FBMBBE1

延长DF、CB相交于点M,连接ME并延长，因为点E、尸分别是89,AB的中点，所以后==—=-,

DCMCCCj2

所以例、E、G三点共线，所以AG与平面OE尸相交不平行，4a与平面DEF相交不平行，故A、B选项

不正确；

A£)4»厂

对于C、D：连接4c与尸。相交于点O,因为A8=0AO,F是AB的中点，所以——=—=V2,

rAFBC

又ZDAB=ZABC=90°.所以〜AABC，

所以ZA£)E=NGW，ZDFA=ZACB,又NCA5+ZAC8=9()，所以NCA8+NZ)E4=90"，

所以NAOF=90°，所以AC_LOf,又ACHg,所以故C正确，D不正确,

二、多选题

13.下列说法正确的是()

A.若直线。在平面a外，则a//a

B.若平面a//平面au平面a,则“//4

C.若直线a//直线6hu平面a,那么直线。平行于平面。内的无数条直线

D.平面a内有无数多条直线与平面尸平行，则a///7

【答案】BC

【分析】

根据空间线面、面面间的位置关系判断各选项.

【详解】

直线a在平面a外，包含a//a，及。与。相交，A错；

平面a//平面力，则必，无公共点，au平面a,。与万无公共点，则a/R,B正确：

力u平面a,a内有无数条直线与〃平行，它们也都与a平行，c正确；

设。口£=/，则a内有无数条直线与/平行，这无数条直线与户平行，D错误.

故选：BC.

14.己知空间中两条直线4，％所成的角为50°,P为空间中给定的一个定点，直线/过点尸且与直线a和

直线b所成的角都是6（0°＜。＜90。），则下列选项正确的是（）

A.当夕=15°时，满足题意的直线/不存在B.当6=25。时;满足题意的直线/有且仅有1条

C.当6=40°时，满足题意的直线/有且仅有2条D.当8=6（）。时，满足题意的直线/有且仅有3条

【答案】ABC

【分析】

为了讨论：过点。与。所成的角都是6（0°轰R90。）的直线/有且仅有几条，先将涉及到的线放置在同一

个平面内观察，只须考虑过点。与直线叫、仇所成的角都是6（0°效890。）的直线/有且仅有几条即可，再

利用cos6=cos4•cosa.进行角之间的大小比较即得.

【详解】

过点0作q//a，bj/b,则相交直线a,、瓦确定一个平面a.4与4之间形成的角为50°或130°,

设直线04与4、4均为。角，

作A8_L1面a于点8,8（71.%于点。，BD1.瓦于点D，

记=ZBOC==25°或65°）,则有cose=cosq

因为0啜切90°,所以砥1上os。cos。”

当冬=25°时，由喷电os。cos250,得25啜J990°；

当％=65。时，由噫心os6cos65°,得65啜上90°.

故当8<25°时,直线/不存在；

当6=25°时，直线/有且仅有1条；

当25°<。<65°时，直线/有且仅有2条；

当6=65°时、直线/有且仅有3条；

当65°<6<90°时,直线/有且仅有4条;

当。=90。时，直线/有且仅有1条.

故A,B,。均正确，。错误.

故选：ABC.

【点睛】

关键点睛：本题考查线面角大小的判断，处理技巧上，将直线。力转化成共面直线非常关键，考查/数形结

合，分类讨论的数学思想.

15.如图，在正方体ABC。—44G2中，E、尸分别为棱CG、AA1的中点，则下列说法正确的有（）

A.直线AG与直线DE共面

B.DXFHBE

IT

C.二面角E-BO—下的大小为一

2

D.直线4G与平面£05所成角的正弦值为"

3

【答案】BD

【分析】

连接AC,AC//4G，容易判断直线AC与直线OE异面，进而得出选项A错误；由图象及正方体的性

质容易判断选项BC-.利用等体积法求出点C到平面6OE的距离，由此即可求得直线AG与平面£08所

成角的正弦值.

【详解】

连接AC，显然AC//AG，而直线OE与平面ABC。相交于点。，且。不在直线ACL,

二直线AC与直线DE异面，则直线AG与直线DE异面，选项A错误;

在正方体ABC。—49中，显然。尸//3七，选项3正确:

显然平面EBO不垂百平面EB£＞，即二面角七一瓦）一厂的大小不为一，选项C错误;

2

直线AG与平面瓦汨所成角即为直线AC与平面区2B所成角，设为a,

设正方体边长为2,则=gx2*2=2,CE=1,OE=g,S^DE=；乂2近乂上=瓜，

设点C到平面曲的距离为d，呜—3…，即2=用,解得。邛,

逅

・“皿喂*邛,选项。正确.

故选：BD.

16.已知。，b,。为空间中直线，a,4为空间中平面，下列命题错误的是（）

A.若a"b,bua,则。〃。

B.若a〃6，aua,bu0,则a〃方

C.若alla,bua,则a〃5

D.若a〃a,al1/3,且cfl月=人，则a〃。

【答案】ABC

【分析】

利用特例法判断ABC；利用线面平行的性质判断D.

【详解】

若a〃b,bua，则。〃a或。ua,A错误；

若a〃力，aua,bu』,则a〃b或a,。是异面直线，B错误；

若勿/a,bua，则a〃力或。力是异面直线，C错误；

若alia,a〃/?，且an»=。，过。作平面/分别与。，夕相交于直线人”,则由线面平行性质定理得

a/lm,alln=>mlIn,再由线面平行性质定理得加/〃=a//〃,D正确，

故选：ABC.

17.已知加，〃，5是三条不同的直线，a,乃是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）

A.若m"n,mils,则〃〃s

B.若mHa,n//[3,aA.f3,则〃?_L〃

C.若m_L。，nila,则m_L〃

D.若加与△所成角为a与4的锐二面角为则加〃a或加ua

【答案】AC

【分析】

根据平行的传递性，可判断选项A；根据已知线面、面面的位置关系，可得判断B；根据线面垂直、线面平

行关系，可判断C；根据线与面所成角及面面所成角时线面关系，可判断D.

【详解】

对A：根据平行的传递性，可得〃〃s,故A正确；

加，“可能平行，故B错误;

对C：过〃作平面4交a于/,根据线面平行的性质定理，可得〃/〃，又加，。，lua,所以加，/,

所以根故C正确；

加与a可能相交，故D错误.

18.如图，在直三棱柱ABC—44cl中，A8=Ji4A=28，AABC是等边三角形，点。为该三棱柱

外接球的球心，则下列命题正确的是（）

B.异面直线BC与A4所成角的大小是5

6

C.球。的表面积是20%

D.点O到平面AB、C的距离是姮

13

【答案】ACD

【分析】

根据线面平行的判定定理可判断A选项；由A4//CG可得NBCG是异面直线B©与A4所成的角，求出

其正切值，从而求出角的大小，由此判断B选项；设八4,46外接圆的圆心为a，连接oa，aG，oG，

AB.

可得球。的半径R=OJ,由此判断C选项：设VA4c外接圆的半径为r,由正弦定理求得r=.」,

sinZB,Ac

则点。到平面ABtC的距离d=JR2一户,由此判断D选项.

【详解】

解：如图，由题意可知AG〃AC,因为ACu平面4?C，ACU平面Age,所以4G〃平面Age,故A

正确；

因为A4//CG,所以ZB,CC）是异面直线B£与AA,所成的角，

因为AB=百朋=2上,所以tanZB^C,

71

所以/用。0=§,故B错误;

设△ABiG外接圆的圆心为。「连接。a，ac，oc,

2I----1I-

由题意可得=§xJ12-3=2,00]=-A4,=1,则球。的半径R=OC1=6,

从而球0的表面积是4万A?=4乃x（、3）2=20%,故C正确;

设VA3。外接圆的半径为，，由题意可得4旦=4。=，12+4=4,

48^/13

则sinN与AC="6二3=姮,由正弦定理可得「

2x反13，

144

4

[64V13.,.之

birir故口止确;

则点O到平面ABtC的距离d=J/??-产

故选：ACD.

19.在正方体A8CD-4月。。］中，异面直线。和匕分别在上底面A4G2和下底面AB8上运动，。与

。的夹角为8,且sine=±®

,当BG与。所成角为60°时，则”与侧面BCG4所成角的正切值可能为

10

11

A.2B.3C.—D.一

23

【答案】AC

【分析】

根据空间线面关系，由异面直线所成角的解法，进行不断的平移转化，结合图形利用线线平行确定线面角

即可得解.

【详解】

易得直线3。所成角为60°,所以力〃8。或AC.

当匕〃80时，过点C作直线CE与8D交于点0，

直线CE与80夹角的正弦值为亚，则。〃CE，

10

此时e=NC0D或NB0C，a与侧面所成角为NECB，

因为sin6=2-----，所以tan6=3.

10

\tan6八/-tan—冗1

当。=/。0。时，tanZECB=tan］。一Q=_________4_=1;

4J1+tan-tan—2

4

人冗

\/\tan0+tan—

当6=/80。时，tanZ.ECB=tan-0―tan。+=4=2.当匕〃

4）141l-tan9-tan三

4

同理.

故选：AC

20.如图，在正方体ABC0-4由iCiDi中,Ai"_L平面AB。，垂足为“，则下面结论正确的是（）

A.直线4”与该正方体各棱所成角相等

B.直线4,与该正方体各面所成角相等

C.垂直于直线4”的平面截该正方体，所得截面可能为五边形

D.过直线AiH的平面截该正方体所得截面为平行四边形

【答案】ABD

【分析】

结合线线角与线面角的定义判断选项A，B,由垂直于直线4"的平面与平面AqA平行判断选项C，由

四边形为ACC为矩形判断选项D.

【详解】

连结AC，BD，DC,,BQ,根据正方体的体对角线与面对角线垂直，可得AC_LA耳，\CLAD,,

因为ADtp\=A,则AC_L平面A4A，

所以直线A"与直线4C重合，

对于A，因为直线4C与该正方体各棱所成角相等，均为arctan夜，所以直线4"与该正方体各棱所成

角相等，故选A正确；

对于3,因为直线AC与该正方体各面所成角相等，均为arctan^Z，所以直线4"与该正方体各面所成

2

角相等，故选项5正确；

对于C,垂直于直线的平面与平面A4A平行，截正方体ABC。-A44R所得截面为三角形或六

边形，故选项C错误；

对于。，过直线4C的平面截该正方体所得截面为4ACC为矩形，即过直线4〃的平面截该正方体所得

截面为平行四边形，故选项D正确.

故选：ABD.

5

第II卷（非选择题）

三、填空题

21.如图，在正方体ABCD-44GA中,M,N分别是GA，BC的中点,P是4。上一点，且P"=34p,

则异面直线AP与MN所成角的余弦值为.

恪案】警

【分析】

在边4C上取点E,使得C1E=；GB，连接ME，NE,在边B£上取点F,使BF=；B©，连接

PF,BF,可证得EN〃AP，所以/MNE为异面直线叱与MN所成角，然后在△〃汽石中求解即可

【详解】

解：设45=4,在边4G上取点E,使得CE=；G4=1,连接A/E，NE,

因为所以A,P=；AA=I，

在边WG上取点F，使4b=：4G，连接P£BF,则可得A3EP为平行四边形，所以A尸〃

因为EE=g4G，BN=；3C,BC〃BQBg=BC,

所以EF〃BN，EF=BN,

所以四边形EFBN为平行四边形，

所以FB〃EN,

所以EN〃AP

所以4MNE为异面直线AP与MN所成角.

因为A5=4,所以M£=石，

MN=>JNC2+MC2=7^C2+C,C2+C,M2=74+16+4=276，

NE=BF=716+1=V17，

GrN24+17-53V102

所以cosNMNE=----产~~==------.

2x2V6xV1734

故答案为：亚@

34

71

22.已知空间四边形ABCD,45=8=2,且A8与CD所成的角为一，设E、尸分别是8。、A£＞的

3

中点，则及'的长度为.

【答案】1或G

【分析】

连接5D，取5。的中点0,连接。£、OF,分NE0F=&或ZE0F=」进行讨论，结合余弦定理可

33

求得上产的长.

【详解】

连接30,取3。的中点。，连接0£、OF,如下图所示：

A

・・・0、E分别为3。、8C的中点，则。石〃CD且OE=』CD=1,

2

同理可知OFHAB且OF=—AB=1,

2

TTTT27r

因为A3与。。所成的角为一，则NEOF=—或NEOF=—.

333

TT

①若NEOF=—,则△石O尸为等边三角形，故EF=OE=1；

3

②若ZEOF=—,由余弦定理可得EF=JOE2+OF2-2OE-OFcos—=.

3V3

综上所述，EF=T或6-

故答案为：1或0.

23.在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）A8CD中，M,N分别为8cA。的中点，则直线A"

和CN夹角的余弦值为.

2

【答案】-

3

【分析】

连接MD,取“。中点E,连接EMCE,所以NE//AM，所以直线AM和OV夹角即为NCNE,分

别求得各个长度，结合余弦定理，即可求得答案.

【详解】

连接用/）,取MD中点E,连接EV,CE,

因为A8CO为正四面体，且棱长为I,M,N分别为5C,AD的中点，

所以OV=AV=yjAB2-BM2=—，

2

因为E,N分别为M。，AC中点,

所以NE//AM，且NE=」AV=走，

24

所以直线4W和CN夹角即为ACNE,

在Rt/\MEC中,EC=7ME2+MC2=—■

4

NE2+CN2-CE22

所以在AOVE中，cosNCNE=+3_巴=4

2乂NExCN3

2

所以直线AM和CN夹角的余弦值为；.

3

2

故答案为：—

3

24.正方体43CD—44GA的棱长为6，P为8。的中点，〃为A3的中点，。为线段CC，上的动点,

过点H、P、。的平面截该正方体所得的截面记为S,当CQ=4时，S与GA的交点为A，求线段弓尺

的长度.

3

【答案】一

2

【分析】

延长"P交。C的延长线于点例，连接“。并延长交CO于点R,利用平行线分线段成比例定理可求得

CM的长度，进而可求得GR的长度.

【详解】

当CQ=4时，如下图所示：

延长HP交DC的延长线于点M，连接MQ并延长交于点R,

P分别为AB、8c的中点，则8”=8P=3,PC=3,

CMPC

QAB//CD,则——=——，可得，

yBHPBCM=3

••・CQ=4,则GQ=2,因为则笑=哭=!，故GR=』CM=3.

CMCQ222

3

故答案为：一.

2

25.如图，正方体AC的棱长为1,点M在棱4。上，4M=2MQ”过M的平面。与平面A山G平行,

且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为

【答案】3亚.

【分析】

先利用平行关系得到截面与正方体的交点位于靠近。I,A,C的三等分点处，从而得到截面为M//7GFE,利

用正方体的棱长求出截面的周长即可.

【详解】

在平面4ADA中寻找与平面4BG平行的直线时，只需要ME〃BCi,如图所示，

因为4M故该截面与正方体的交点位于靠近Oi,4,C的三等分点处，故可得截面为M///GFE,

设正方体的棱长为3“，则”后=2亿,〃/=亿,/”=2>/54”6=亿，FG=2y/2a,EF=®,

所以截面MIHGFE的周长为ME+EF+FG+GH+HI+IM=90a，

又因为正方体AC的棱长为1,即3a=1,

故截面多边形的周长为3亚-

故答案为：3亚.

26.已知三棱锥P-48c的所有棱长为2,D,E,尸分别为孙，PB,PC的中点，则此三棱锥的外接球被

平面。EF所截的截面面积为.

47r

【答案】—

3

【分析】

根据正四面体的边长，求得外接球半径，并求得外接球球心到被平面OEF所截的截面的距离，从而求得外

接球被平面QEF所截的截面所在的圆的半径，从而求得面积.

【详解】

作PNA平面ASC于N点，交平面。石尸于〃点，取三棱锥尸-48C的外接球球心为0,则设外接球半

径OP=OB=r,

易知BN=当，PN=二半,

则在放△OM?中，/=（当）2+（当—7）2,解得「=乎

又。，E,F分别为办，PB,PC的中点，则00=！呐=且

23

则球心到平面DEF的距离0M=旦一旦=显

236

此三棱锥的外接球被平面DEF所截的截面为以。知2=马巨为半径的圆，

3

则截面面积为万（孚）2=g万

47r

故答案为：—

3

27.如图，在核长为2的正方体ABC。-44GA中，E是A4的中点，则平面CEQ截正方体所得的截

【答案】3V2+2V5

【分析】

取A5中点F，连接CF,EF，A8,证明四边形EFCR即为平面CE^载正方体所得的截面多边形，进而

求解.

【详解】

解：取AB中点/，连接CF,E£43,

由正方体的性质知4。//5C,A2=BC,

所以四边形AQC8是平行四边形，所以AB//RC,

在AAAB中，点产为A3中点，E是AA的中点，

所以A,5//EF,所以EF//D。,

所以四边形EFCD、即为平面C£D,截正方体所得的截面多边形，

所以其周长为石尸+尸。+。。+。石=正+石+20+石=30+26.

故答案为：3五+2出

【点睛】

本题考查空间几何体的截面问题，考查运算求解能力，逻辑推理能力，空间想象能力，是中档题.本题解题

的关键在于根据题意，构造辅助线，求得平面CEP1截正方体所得的截面多边形.

28.已知三棱柱A3C-A4G，侧棱底面A8C,E,F分别是的中点，且

AC=BC=2,AC±BC,AA,=4,过点E作一个截面与平面BFg平行，则截面的周长为

【答案】^+272+275

【分析】

如图，取AF中点G,分别在CC,,BC上取点H,M,使”G=；CG，,连接EG,GH,HM,EM,

可得平面即为所需截面，求出其周长即可.

【详解】

如图，取AP中点G,分别在CCt,BC上取点H,M,使HC]=~CCt,BM=^BC,

连接EG,GH,HM,EM,

又EG分别是A4AF中点，.•.卬=；441,

乂A4,//CG，AA=CC,,FG//”G,FG=HC],四边形FGHC,为平行四边形,

GH/FFt,GH=FC「，GH〃平面BFC，

113

•••HCX=-CC[,BM=-EC,:.MH//BC\,MH二BC[,MH//平面BFC1,

又MHcGH=H，；.平面EGHM//平面BFC一

乂平面ABC,AC=BC=2,瓦尸分别是AB,A&的中点，AC±5C，M=4,

:.AB=2y/2,AF=AlF=2,

EG=gBF=AF?+AB?=6,GH=FJ=网尸+年：=2叵,

HM=|fiC,=q[BB；+BC；=,氐

在中，BM=>BC=LBE=-^,NEBM=45°，

42

EM2=BM2+BE2