数列递推与通项公式22种归类-2023年高考数学一轮复习热点题型归纳与变式演练（原卷版）

专题6-1数列递推与通项公式22种归类

目录

一、热点题型归纳

【题型一】归纳法求通项................................................................2

【题型二】等差等比定义型..............................................................3

【题型三】累加法基础：等差等比与裂项求和型...........................................4

【题型四】累加法拔高：换元累加型......................................................5

【题型五】累加法拔高：构造............................................................5

【题型六】累积法......................................................................6

【题型七】前n项和型..................................................................6

【题型八】二阶等比....................................................................7

【题型九】二阶等差数列................................................................7

【题型十】sn与an型：消sn型..........................................................8

【题型H■—1sn与an型：消an型........................................................8

【题型十二】分式倒数递推..............................................................9

【题型十三】新数列前n项和型..........................................................9

【题型十四】高次幕取对数型...........................................................10

【题型十五】二阶含n等比数列型.......................................................10

【题型十六】二阶含n等差数列型.......................................................10

【题型十七】因式分解型...............................................................11

【题型十八】三阶递推.................................................................11

【题型十九】前n项积求通项...........................................................12

【题型二十】函数型递推...............................................................12

【题型二十一】周期数列...............................................................12

【题型二十二】奇偶讨论型.............................................................13

二、真题再现..........................................................................13

三、模拟检测.........................................................................14

综述：

数列求通项以及递推公式的方法和数学思想是学生学习数列思的比较好的切入

点。数列大题第一问往往也考察递推公式为主的求通项。这也是第一轮复习的重

点之一。

热点题型归纳

【题型一】归纳法求通项

【典例分析】

（2021・全国•高三课时练习）根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式，并在横

线上和括号中分别填上第5项的图形和点数.

927

2.（2021•江苏•高三专题练习）数列…的一个通项公式为

【提分秘籍】

基本规律

先通过计算数列的前几项，再观察数列中的项与系数，根据。“与项数〃的关系，猜想数列的通项公式,

最后再证明.

一般这类题，选择题很少，因为可以代特殊值求解。

【变式演练】

1.（2021.全国•高三课时练习）根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式4=

2.(2018•全国•高三课时练习)若数列的前4项为1,0,1,0,则这个数列的通项公式不可能是

A.+B.4=31-cos⑺80)]

。11,

C.a„=sin-(7/90)D.=(/J-l)(n-2)+-[l+(-ir-]

3.(2018•上海市杨浦高级中学高三期末)已知数列1、0、1、0、L,可猜想此数列的通项公式是().

A.a„=[l+(-l)fl-，](nejV*)B.4=：[l+(-L)[(〃wN*)

C.%+D.%=g(l_coswr)(〃eN*)

【题型二】等差等比定义型

【典例分析】

(2022・全国•高三课时练习)在数列｛丹｝中，4=2,北二=向+夜，则数列｛/｝的通项公式为.

【提分秘籍】

基本规律

等差数列判定：

①定义法："欲证等差，直接作差”，即证斯一斯=定值；

②等差中项法：即证2斯+|=斯+斯+2；

③函数结论法：即4,为一次函数或S“为无常数项的二次函数.

等比数列的判定方法：

(1)定义法："欲证等比，直接作比"，即证等=4(4^0的常数)0数列｛&｝是等比数列；

(2)等比中项法：即证居+]=斯•。〃+2(斯%+1斯+2*0，〃eN*)=数列｛斯｝是等比数歹！J.

【变式演练】

1.（2022.河南.模拟预测（文））已知数列｛4｝是单调递增的等差数列，若它的前5项的和为105,第2项、

第4项、第8项成等比数列，则它的通项公式为（）

A.。“=7”或。“=21B.an=—^-

C.4,=7〃D.4,=-^--

2.（2019北京•临川学校高三阶段练习（理））成等差数列的三个正数的和等于6,并且这三个数分别加上3、

6、13后成为等比数列也｝中的与、瓦、b5,则数列也｝的通项公式为

n22

A.bn=2'"'B.bn=3"-'C.bn=2-D.bn=3"-

3.（2021.甘肃.静宁县第一中学高三阶段练习（文））数列｛%｝的各项都是正数，4=2,4”=4+2,那么

此数列的通项公式为4=.

【题型三】累加法基础：等差等比与裂项求和型

【典例分析】

（2022•全国•高三专题练习）已知S”是等差数列｛4｝的前"项和,其中S,=6,S,=10,数列｛々｝满足4=1,

且〃+4=如，则数列也｝的通项公式为（）

人+2D九~一九+20n~c/广+〃+2

A.---------D.----------------C•—L）•----------------

2222

【提分秘籍】

基本规律

累加法：

若在已知数列中相邻两项存在：a“S）（〃N2）的关系，可用“累加法，，求通项.

其中f（n）是常见可求和的数列通项，如等差，等比，和裂项型求和

【变式演练】

1.（2020・湖南•长郡中学三模（文））已知等比数列｛为｝满足=0,且成等差数列.若数列｛，｝

满足。，川=4,+么（〃GN*）,且4=1,则数列他｝的通项公式4=

A.21-"B.2"-1C.2"+1D.22"+1

3

2.(2020•内蒙古•包头市第六中学高三期中)在数列｛〃〃｝中,m=3,q[,.1=%+——~-，则通项公式an

+n(n+\)

【题型四】累加法拔高：换：元累加型

【典例分析】

位=%+ln(l+2

在数列｛%｝中，4=2,则a=)

〃+1n\nn

A.agB.2+(〃-l)ln〃C-1+n+In/?D.2n+n\nn

【提分秘籍】

基本规律

通过换元，转化为(〃*2)累加求通项，最后再反解回去。

【变式演练】

1.已知数列｛4｝满足：4=13,(〃+1)。川一阳“=2〃+1,〃eN*，则下列说法正确的是()

A.an+｝>anB.an+x<anc.数列｛q｝的最小项为4和。4D.数列｛%｝的最大项为的和%

2.已知数列｛可｝满足q=j,

(1)求数列｛为｝的通项公式；

(2)设数列｛《,｝的前〃项和为S,,,求满足S“<12的所有正整数〃的取值集合.

【题型五】累加法拔高：构造

【典例分析】

已知数列｛《,｝满足4=；,〃(〃+1)(。向一?)=%+必“，则数列｛%｝的通项公式。“=—.

人教A版(2019)选择性必修第二册过关斩将第四章数列专题强化练3数列的递推公式及通项

公式

【变式演练】

1.已知数列｛4,｝满足〃a“+i+N*),q=2,贝!|生021=.

浙江省台州市2021届高三下学期4月二模数学试题

2.已知数列｛4｝满足4=1,。“一。用=二笔叱则〃4的最小值是（）

（〃+1）（〃+2）\/

23

A.-B•一C.1D.2

54

【题型六】累积法

【典例分析】

（2023•全国•高三专题练习）数列｛%卜满足：4=|,（2"+2一1）“向=（2向-2）4,（”eN"）,则｛q｝的通项公式

为.

【提分秘籍】

基本规律

对于递推公式为詈=/（〃），一般利用累乘法求出数列的通项公式，对于递推公式为%-=/（〃），

一般利用累加法,出数列的通项公式；

【变式演练】

1.（2020.上海黄浦.高三期末）已知数列｛4｝（〃eN*）满足4=1,且=—二%,则通项公式4,=.

2.（2020・广东•广州市天河外国语学校高三期中）若数列｛4｝满足司=1,an+1=2"a〃则数列｛4｝的通项公式

an=•

【题型七】前n项和型

【典例分析】

（2021•全国•高三专题练习（文））数列｛q｝的前〃项和为5,，若且内，4，牝成等比数

列，则该数列的通项公式为（）

A.。“=7—2〃B.an=6n-\C.。〃=2"+3D.an=6-n

【提分秘籍】

基本规律

若在已知数列中存在：5“=/（4）或5“=/（〃）的关系，可以利用项和公式q=；'『）,、小，求

（"22）

数列的通项.

【变式演练】

1.（2022.全国•高三专题练习）已知数歹曙叫的前〃项和为S“=/+4〃-3,则｛4｝的通项公式为

2.（2021.天津市红桥区教师发展中心高三期中）已知数列｛4｝的前"项和S,,=2"-3,则数列｛%｝的通项公

式是.

【题型八】二阶等比

【典例分析】

（2019•浙江•余姚中学高三阶段练习）已知数列｛《,｝满足4=1,a,、：''+3（”22）,则通项公式。“=

【提分秘籍】

基本规律

二阶等比构造法有两种方法：

1.形如4,+i=q%+P（qr0,l,p,q为常数），构造等比数列｛q+%｝"=」一。特殊情况下，

夕一1

当q为2时，2=p，

2.形如4=〃的+4（的工。），变形为贤=/+/（网=0,2=1）,新数列累加法即可

【变式演练】

1.（2021•贵州・遵义市第五中学高三阶段练习）设数列｛q｝满足q=4,。向=；4+2,则｛凡｝的通项公式=

2.（2021•宁夏六盘山高级中学高三期中（理））己知数列｛aQ中，ai=l,an=3an,i+4（n6N*且R2）,,则数列

｛an｝通项公式an为

A.3nJB.3n+l-8C.3n-2D.3n

【题型九】二阶等差数列

【典例分析】

1?

已知数列｛〃｝,｛九｝满足&=1,an+1=l--,bn=其中neN+.

£an-L

（1）求证：数列｛%｝是等差数列，并求出数列｛与｝的通项公式；

⑵略.

【变式演练】

1.已知数列｛4,｝有《,70,S,,是它的前〃项和，4=3且5.2=3”24,+5L，〃22.（1）求证：数列

｛为+。,用｝为等差数列・

(2)略.

2.在数列恒，，｝中，2%+丹=可一。,用.

（1）求%，出；（2）证明：数列,为等差数列，并求数列｛%｝的通项公式；

laJ

【题型十】sn与an型：消sn型

【典例分析】

（2022.云南.二模（文））已知数列｛q｝的前〃项和为S”.若《=|,”向=2,，则数列｛《,｝的通项公式为〃“=

【提分秘籍】

基本规律

S”与凡的递推关系求见，常用思路是：利用q=5“-5,1，〃22转化为区,的递推关系，再求其通项公

式；c、.时，一定要注意分"=1，〃22两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否

电-S,i，〃22

整合在一起.

【变式演练】

2s

1.（2021•江西赣州•一模（理））记5,为数列｛4｝的前"项和.若4=1,%=T，则数列｛为｝的通项公式

/?+1

为.

2.（2022・全国•高三专题练习（文））已知数列｛%｝的前〃项和为S“，若4=2,且S,用=2S.+1,则数列｛叫

的通项公式为.

【题型H--1sn与an型：消an型

【典例分析】

（2021•江苏•高三课时练习）已知数列｛q｝的前〃项和为S“（S，尸0）,且满足%+4§一£=0（〃22）,4=；,

则«„的通项公式为.

【提分秘籍】

基本规律

S"与%的递推关系求也可以结合式子结构与数据，利用〔S"-Si，〃N2转化为S.的递推关系，

先求出S”与〃之间的关系，再求应用关系式

【变式演练】

1.（2020•辽宁・高三阶段练习）已知数列｛《,｝的各项均为正数，其前〃项和为5,,,若4=1,且

6二+疯=。向(〃eN、,则数列｛an｝的通项公式为.

2.(2021•全国•高三课时练习)已知各项为正数的数列｛%｝的前〃项和为S“，且4=1,S“=(W+扃

(〃22,ncN),则数列｛%｝的通项公式为.

【题型十二】分式倒数递推

【典例分析】

(2020•山西・怀仁市大地学校高中部高三阶段练习(文))在数列｛《,｝中，«,=1,且甯，则其通项

公式为()

A.-.----B.—Z------

n~-n+ln-〃+2

-22

C.------D.—------

n~-n+1n~-n+2

【提分秘籍】

基本规律

a“=Pa-_L__L=旦

形如"qa"-\+P,可以取倒数变形为%-lP

【变式演练】

向=1

1.(2021•全国•高三专题练习)已知数列｛“/满足2且％=1,则数列｛%｝的通项公式为(

)

A-SB.一…12

C.%D.an=n

2/?-1

%

2.(2022・全国•高三专题练习)已知在数列｛4｝中，4=1,""3+2见，则数列｛""｝的通项公式为为=

【题型十三】新数列前n项和型

【典例分析】

2

(2023・全国•高三专题练习)数列｛%｝满足：4=；,al+a2+...+an=n-a,l,则数列｛%｝的通项公式％=

【提分秘籍】

基本规律

形如其1总|+其2抽2+。。。f(n)a“=g(n),可以设

c“=f(n)a“，c”的前n项和为s“，f⑴a1+f⑵a2+。。。f(n)a“=s"，则转化为s“求通项型

【变式演练】

1.（2020•四川•宁南中学高三开学考试（理））数列｛%｝满足，gq+54+5％+…+/q,=2〃+I,写出数列

｛4｝的通项公式.

2.（2019•江苏•高三专题练习）已知4+2,+2243+..+2'14=9-6”，贝1」数歹（|｛%｝的通项公式,=.

【题型十四】高次幕取对数型

【典例分析】

（2021.全国•高三课时练习）已知数列｛%｝,4,=点（〃*2），4=e，则数列｛叫的通项公式为4=.

【提分秘籍】

基本规律

形如qM=ma：,可以通过取对数构造等比数列求通项公式

【变式演练】

1.（2021•全国•高三课时练习）设正项数列｛%｝满足q=1,4=2＜《后2）,则数列｛4｝的通项公式是.

2.（2020•上海市进才中学高三期末）数列｛《J中,若eV）,4=3,则SJ的通项公式为______.

【题型十五】二阶含n等比数列型

【典例分析】

（2021・全国•高三课时练习）已知数列｛4｝满足a,M=2a“+3x5"，4=6,则数列｛4｝的通项公式％=

【提分秘籍】

基本规律

形如a,,”=ta,,+f（n）,可以构造等比数列求通项。通过配凑构造等比，如果配凑不容易观察，可以待

定系数来构造

【变式演练】

_7

1.（2023・全国•高三专题练习）已知数列间满足“一§,"向=3%-4"+2,eN）.数列出｝满足bn=a„-2n,

则数列也｝的通项公式为.

2.（2021.江西.高三阶段练习（理））已知首项为2的数列｛《,｝的前〃项和为3,若Sm=S“+3”“+2〃-1,则

｛。,,｝的通项公式为.

【题型十六】二阶含n等差数列型

【典例分析】

（2022•全国•高三专题练习）已知数列｛〃〃｝中，＜〃=1,*=2a“+2”+'则数列｛〃〃｝的通项公式的=.

【提分秘籍】

基本规律

n

形如a„+l=tan+m,可以同除来构造等差数列求通项。,

【变式演练】

1.（2017•四川泸州・一模（理））已知数列｛4｝的前〃项和严+2（〃€*）,则数列｛叫的通项

公式-

2.（2023・全国•高三专题练习）已知数列｛a,t｝中，％=1,“e=3a,,+3",求数列｛4｝的通项公式__________

【题型十七】因式分解型

【典例分析】

（2023♦全国•高三专题练习）设｛4｝是首项为1的正项数列，且（n+2）a“1-s2+2a”“=o（〃eN）,求通

项公式。“=___________

【变式演练】

1.（2023・全国•高三专题练习）设应｝是首项为1的正项数列且〃“3+（〃+1/一（2"+1）44“=°（〃€“），且

“向\，求数列｛%｝的通项公式

2..（2023•全国•高三专题练习）设数列｛4｝是首项为1的正项数列，且（〃+1）及「叫：+4"「4，=°,则它的

通项公式""=.

【题型十八】三阶递推

【典例分析】

2

（2022・全国•高三课时练习）已知数列｛q｝满足q=1,«2=>且4什1=2%+34,T（n>2,neN*），则数

列｛4｝的通项公式为4,=.

【提分秘籍】

基本规律

形如%+1+sa„+tan-\+r=0,常凑配系数构等比数列。

【变式演练】

1.（2021,江苏・泰兴市第一高级中学高三期中）已知5"是数列｛”“｝的前〃项和，an+l-3an+2a„.t=l,a,=1,

4=4,求数列｛a,,｝的通项公式.

2.（2021•江苏•高三单元测试）在数列｛%｝中，4=1,%=3,且对任意的〃eN",都有24,

则数列｛q｝的通项公式为

【题型十九】前n项积求通项

【典例分析】

12

(2022•宁夏石嘴山•一模(理))己知。"为数列｛"｝的前”项积，若了一丁=1，则数列｛4｝的通项公式4=

A.3—2〃B.—3+2〃C.3—4AzD.1—2〃

【变式演练】

1.(2022•全国•高三专题练习)设正项数列｛〃〃｝的前”项和为S〃，数列｛5〃｝的前〃项之积为且

=1,则数列｛a〃｝的通项公式是.

2.(2021•河南•一模(理))设正数数列｛q｝的前〃项和为S"，数列｛SJ的前八项之积为7.，且S,,+2(=1,

则数列｛a,,｝的通项公式是.

【题型二十】函数型递推

【典例分析】

(2021・全国•高三专题练习(理))已知g(x)=/(x+1)-3是R上的奇函数，«„=/(0)+/(-)+

2n

n—1

…+/(幺」)+八1),〃£升,则数列的通项公式为()

n

2

A.an=n+\B.an=3n4-1C.%=3〃+3D.an=n-2w+3

【变式演练】

1.(2023・全国•高三专题练习)已知/(幻=/1+；)-1是R上的奇函数，

4=/(0)+噌)+/(£]+…+/(汩+〃1)5”),则数列｛4｝的通项公式为()

2

A.an=nB.a“=2〃C.an=n+\D.an=n-2n+3

2.(2022・全国•高三单元测试)若/(幻+/(1-％)=24=/(0)+/(3+/(2)+.“+/(曰)+八1)(〃€*)，则

nnn

数列｛〃“｝的通项公式是.

【题型二十一】周期数列

【典例分析】

已知数列｛。“｝满足4=2,。"+|=~~,(〃€N),则％…02009'.2010=-

1一

江苏省涟水中学2019-20120学年高三下学期第一次模拟考试数学试题

【提分秘籍】

基本规律

周期数列

1.若数列｛aj满足a“=a,,12,则同｝周期T=6

2.若数列｛a0｝满足a“+a,i=s,则｛a,J周期T=2

3.若数列｛aj满足a“+a,i+a,12=s,则｛a“｝周期T=3

4,若数列｛a。｝满足a“xa“_]=s,则｛a“｝周期T=2

5.若数列｛a。｝满足a“xa“_]xa“_2=s，则｛a“｝周期T=3

6.a“=ma，E-b,m+d=0,则卜“｝的周期T=2

ca-i-d

【变式演练】

1.已知数列｛%｝中，q=2,an+l=一一]€N*),则S2020=_________.

。〃十1

2.数列｛“"｝中，q=3,an-anan+i=1(〃eN*)，A“表示数列｛%｝的前n项之积，.

【题型二十二】奇偶讨论型

【典例分析】

（2021•全国•高三专题练习）已知数列｛《,｝满足q=2,a„+a„+1=（-l）\则数列｛q｝的通项公式为

【提分秘籍】

基本规律

讨论型：

1.分段数列

2.奇偶各自是等差，等比或者其他数列

【变式演练】

1.（2021・全国•高三阶段练习（理））已知数列满足2,%=1,数列｛“，，｝的奇数项单调递增，偶数

匣匚匈=1.

项单调递减，若2//+1,在数列的通项公式为.

2.己知数列｛4｝满足。,用=（-1）”（。”+〃），则｛%｝的前40项和为•

，尽真题再现,

1.（2022•全国•高考真题）记5"为数列｛4｝的前〃项和，己知是公差为g的等差数列.

（1）求｛〃〃｝的通项公式；（2）证明：―+―+—<2.

a\a2an

Q

2.（2021.浙江.高考真题）已知数列｛《,｝的前〃项和为S,,4=-彳，且4S,用=3S“-9.

（1）求数列｛q｝的通项；（2）设数列｛〃｝满足沌+（〃-4）a.=0（〃eN*）,记圾｝的前〃项和为7”，若14独,

对任意〃eN*恒成立，求实数4的取值范围.

3.（2020•全国.高考真题（理））设数列｛“〃｝满足可=3,%=3%-4”.

（1）计算42,as,猜想｛〃〃｝的通项公式并加以证明；

（2）求数列｛2W九｝的前几项和S〃.

4.（2017•全国•高考真题（文））设数列｛%｝满足％+3/+...+（2"-1）。〃=2〃.

（1）求｛q,｝的通项公式；（2）求数列｛肃J的前几项和.

5.（2019•全国♦高考真题（理））已知数列｛初｝和｛加｝满足。尸1,〃尸0,4an+i=3an-bn+4,4bn+l=3btt-an-4.

（1）证明：｛即+而｝是等比数列，-加｝是等差数列；

（2）求｛〃〃｝和｛加｝的通项公式.

模拟检测

1.（2022.四川•宜宾市叙州区第一中学校高三期中）数列《，，二，上,…的一个通项公式是（）

261220

11111

A.an=~~B.4〃=：^nC・a=-----------D.a=1----

〃1）2（2/7-1）n〃〃+1nn

2.（2022•浙江省杭州学军中学高三阶段练习）在等差数列｛%｝中，4=3,且％,4,即,成等比数列，则%

的通项公式为（）

A.a〃=2〃+1B.。”=〃+2

C.。〃=2〃+1或。〃=3D.。〃=〃+2或。“=3

3..（2020•云南省楚雄天人中学高三阶段练习）已知数列㈤｝满足4=La,,=a,i+3”-2（〃22）,则｛《,｝的通

项公式为()

2

A.a„=3nB.劭=3〃2+〃C.D.an=-

4.已知数列｛%｝满足q=1,(〃eN"),则%=

5.已知数列｛%｝中，q=2,〃（4+「a"）=a,+l,〃eN*，则子的取值范围是

6.（2022・全国•高三课时练习）已知4=1,%=〃（%「a.）（〃wN+）,则数列｛4｝的通项公式是4=（）

A.2n-lB.（四）C.“2D.n

7.（2020•福建•厦门一中高三阶段练习）已知函数｛q｝的前〃项和满足s"=2"+|-1,则数列㈤｝的通项公式

为（）

[3,n=i[3»n=\

A.a=2nB.a=2nC,、今D・

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