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文档简介
2025届北京昌平临川育人学校数学高三上期末监测试题注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.过抛物线的焦点且与的对称轴垂直的直线与交于,两点,,为的准线上的一点,则的面积为()A.1 B.2 C.4 D.82.若双曲线的渐近线与圆相切,则双曲线的离心率为()A.2 B. C. D.3.已知集合,,则()A. B.C. D.4.要得到函数的图象,只需将函数图象上所有点的横坐标()A.伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向右平移个单位长度B.伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图像向左平移个单位长度C.缩短到原来的倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位长度D.缩短到原来的倍(纵坐标不变),再将得到的图象向右平移个单位长度5.已知函数,则()A. B.1 C.-1 D.06.双曲线:(),左焦点到渐近线的距离为2,则双曲线的渐近线方程为()A. B. C. D.7.A. B. C. D.8.在边长为的菱形中,,沿对角线折成二面角为的四面体(如图),则此四面体的外接球表面积为()A. B.C. D.9.已知集合,,则的真子集个数为()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个10.已知是双曲线的两个焦点,过点且垂直于轴的直线与相交于两点,若,则的内切圆半径为()A. B. C. D.11.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有刍甍,下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高二丈,问:积几何?”其意思为:“今有底面为矩形的屋脊状的楔体,下底面宽3丈,长4丈,上棱长2丈,高2丈,问:它的体积是多少?”已知l丈为10尺,该楔体的三视图如图所示,其中网格纸上小正方形边长为1,则该楔体的体积为()A.10000立方尺B.11000立方尺C.12000立方尺D.13000立方尺12.数列满足:,则数列前项的和为A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若函数的图像与直线的三个相邻交点的横坐标分别是,,,则实数的值为________.14.为了了解一批产品的长度(单位:毫米)情况,现抽取容量为400的样本进行检测,如图是检测结果的频率分布直方图,根据产品标准,单件产品长度在区间的一等品,在区间和的为二等品,其余均为三等品,则样本中三等品的件数为__________.15.袋中装有两个红球、三个白球,四个黄球,从中任取四个球,则其中三种颜色的球均有的概率为________.16.函数的定义域是____________.(写成区间的形式)三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在直角坐标系x0y中,把曲线α为参数)上每个点的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,得到曲线以坐标原点为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程(1)写出的普通方程和的直角坐标方程;(2)设点M在上,点N在上,求|MN|的最小值以及此时M的直角坐标.18.(12分)如图,直三棱柱中,分别是的中点,.(1)证明:平面;(2)求二面角的余弦值.19.(12分)已知函数,其中e为自然对数的底数.(1)讨论函数的单调性;(2)用表示中较大者,记函数.若函数在上恰有2个零点,求实数a的取值范围.20.(12分)将棱长为的正方体截去三棱锥后得到如图所示几何体,为的中点.(1)求证:平面;(2)求二面角的正弦值.21.(12分)已知在中,角、、的对边分别为,,,,.(1)若,求的值;(2)若,求的面积.22.(10分)在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的极坐标方程以及曲线的直角坐标方程;(2)若直线与曲线、曲线在第一象限交于两点,且,点的坐标为,求的面积.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
设抛物线的解析式,得焦点为,对称轴为轴,准线为,这样可设点坐标为,代入抛物线方程可求得,而到直线的距离为,从而可求得三角形面积.【详解】设抛物线的解析式,则焦点为,对称轴为轴,准线为,∵直线经过抛物线的焦点,,是与的交点,又轴,∴可设点坐标为,代入,解得,又∵点在准线上,设过点的的垂线与交于点,,∴.故应选C.【点睛】本题考查抛物线的性质,解题时只要设出抛物线的标准方程,就能得出点坐标,从而求得参数的值.本题难度一般.2、C【解析】
利用圆心到渐近线的距离等于半径即可建立间的关系.【详解】由已知,双曲线的渐近线方程为,故圆心到渐近线的距离等于1,即,所以,.故选:C.【点睛】本题考查双曲线离心率的求法,求双曲线离心率问题,关键是建立三者间的方程或不等关系,本题是一道基础题.3、C【解析】
求出集合,计算出和,即可得出结论.【详解】,,,.故选:C.【点睛】本题考查交集和并集的计算,考查计算能力,属于基础题.4、B【解析】
分析:根据三角函数的图象关系进行判断即可.详解:将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),
得到再将得到的图象向左平移个单位长度得到故选B.点睛:本题主要考查三角函数的图象变换,结合和的关系是解决本题的关键.5、A【解析】
由函数,求得,进而求得的值,得到答案.【详解】由题意函数,则,所以,故选A.【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题,其中解答中根据分段函数的解析式,代入求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.6、B【解析】
首先求得双曲线的一条渐近线方程,再利用左焦点到渐近线的距离为2,列方程即可求出,进而求出渐近线的方程.【详解】设左焦点为,一条渐近线的方程为,由左焦点到渐近线的距离为2,可得,所以渐近线方程为,即为,故选:B【点睛】本题考查双曲线的渐近线的方程,考查了点到直线的距离公式,属于中档题.7、A【解析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】本题正确选项:【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,是基础的计算题.8、A【解析】
画图取的中点M,法一:四边形的外接圆直径为OM,即可求半径从而求外接球表面积;法二:根据,即可求半径从而求外接球表面积;法三:作出的外接圆直径,求出和,即可求半径从而求外接球表面积;【详解】如图,取的中点M,和的外接圆半径为,和的外心,到弦的距离(弦心距)为.法一:四边形的外接圆直径,,;法二:,,;法三:作出的外接圆直径,则,,,,,,,,,.故选:A【点睛】此题考查三棱锥的外接球表面积,关键点是通过几何关系求得球心位置和球半径,方法较多,属于较易题目.9、C【解析】
求出的元素,再确定其真子集个数.【详解】由,解得或,∴中有两个元素,因此它的真子集有3个.故选:C.【点睛】本题考查集合的子集个数问题,解题时可先确定交集中集合的元素个数,解题关键是对集合元素的认识,本题中集合都是曲线上的点集.10、B【解析】
首先由求得双曲线的方程,进而求得三角形的面积,再由三角形的面积等于周长乘以内切圆的半径即可求解.【详解】由题意将代入双曲线的方程,得则,由,得的周长为,设的内切圆的半径为,则,故选:B【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质,考查三角形的内心的概念,考查了转化的思想,属于中档题.11、A【解析】由题意,将楔体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体,作出几何体的直观图如图所示:
沿上棱两端向底面作垂面,且使垂面与上棱垂直,
则将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱,
则三棱柱的体积V1四棱锥的体积V2=13×1×3×2=2【点睛】本题考查三视图及几何体体积的计算,其中正确还原几何体,利用方格数据分割与计算是解题的关键.12、A【解析】分析:通过对an﹣an+1=2anan+1变形可知,进而可知,利用裂项相消法求和即可.详解:∵,∴,又∵=5,∴,即,∴,∴数列前项的和为,故选A.点睛:裂项相消法是最难把握的求和方法之一,其原因是有时很难找到裂项的方向,突破这一难点的方法是根据式子的结构特点,常见的裂项技巧:(1);(2);(3);(4);此外,需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题,导致计算结果错误.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、4【解析】
由题可分析函数与的三个相邻交点中不相邻的两个交点距离为,即,进而求解即可【详解】由题意得函数的最小正周期,解得故答案为:4【点睛】本题考查正弦型函数周期的应用,考查求正弦型函数中的14、100.【解析】分析:根据频率分布直方图得到三等品的频率,然后可求得样本中三等品的件数.详解:由题意得,三等品的长度在区间,和内,根据频率分布直方图可得三等品的频率为,∴样本中三等品的件数为.点睛:频率分布直方图的纵坐标为,因此每一个小矩形的面积表示样本个体落在该区间内的频率,把小矩形的高视为频率时常犯的错误.15、【解析】
基本事件总数n126,其中三种颜色的球都有包含的基本事件个数m72,由此能求出其中三种颜色的球都有的概率.【详解】解:袋中有2个红球,3个白球和4个黄球,从中任取4个球,基本事件总数n126,其中三种颜色的球都有,可能是2个红球,1个白球和1个黄球或1个红球,2个白球和1个黄球或1个红球,1个白球和2个黄球,所以包含的基本事件个数m72,∴其中三种颜色的球都有的概率是p.故答案为:.【点睛】本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.16、【解析】
要使函数有意义,需满足,即,解得,故函数的定义域是.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)的普通方程为,的直角坐标方程为.(2)最小值为,此时【解析】
(1)由的参数方程消去求得的普通方程,利用极坐标和直角坐标转化公式,求得的直角坐标方程.(2)设出点的坐标,利用点到直线的距离公式求得最小值的表达式,结合三角函数的指数求得的最小值以及此时点的坐标.【详解】(1)由题意知的参数方程为(为参数)所以的普通方程为.由得,所以的直角坐标方程为.(2)由题意,可设点的直角坐标为,因为是直线,所以的最小值即为到的距离,因为.当且仅当时,取得最小值为,此时的直角坐标为即.【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程,考查极坐标方程化为直角坐标方程,考查利用曲线参数方程求解点到直线距离的最小值问题,属于中档题.18、(1)证明见解析(2)【解析】
(1)连接交于点,由三角形中位线定理得,由此能证明平面.(2)以为坐标原点,的方向为轴正方向,的方向为轴正方向,的方向为轴正方向,建立空间直角坐标系.分别求出平面的法向量和平面的法向量,利用向量法能求出二面角的余弦值.【详解】证明:证明:连接交于点,则为的中点.又是的中点,连接,则.因为平面,平面,所以平面.(2)由,可得:,即所以又因为直棱柱,所以以点为坐标原点,分别以直线为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系,则,设平面的法向量为,则且,可解得,令,得平面的一个法向量为,同理可得平面的一个法向量为,则所以二面角的余弦值为.【点睛】本题主要考查直线与平面平行、二面角的概念、求法等知识,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于中档题.19、(1)函数的单调递增区间为和,单调递减区间为;(2).【解析】
(1)由题可得,结合的范围判断的正负,即可求解;(2)结合导数及函数的零点的判定定理,分类讨论进行求解【详解】(1),①当时,,∴函数在内单调递增;②当时,令,解得或,当或时,,则单调递增,当时,,则单调递减,∴函数的单调递增区间为和,单调递减区间为(2)(Ⅰ)当时,所以在上无零点;(Ⅱ)当时,,①若,即,则是的一个零点;②若,即,则不是的零点(Ⅲ)当时,,所以此时只需考虑函数在上零点的情况,因为,所以①当时,在上单调递增。又,所以(ⅰ)当时,在上无零点;(ⅱ)当时,,又,所以此时在上恰有一个零点;②当时,令,得,由,得;由,得,所以在上单调递减,在上单调递增,因为,,所以此时在上恰有一个零点,综上,【点睛】本题考查利用导数求函数单调区间,考查利用导数处理零点个数问题,考查运算能力,考查分类讨论思想20、(1)见解析;(2).【解析】
(1)取的中点,连接、,连接,证明出四边形为平行四边形,可得出,然后利用线面平行的判定定理可证得结论;(2)以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系,利用空间向量法可求得二面角的余弦值,进而可求得其正弦值.【详解】(1)取中点,连接、、,且,四边形为平行四边形,且,、分别为、中点,且,则
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