2021年中考数学专题复习 第5讲-相似三角形存在性问题

Section1相似三角形存在性综合

知识总结

1.相似判定：

判定1：三边对应成比例的两个三角形是相似三角形；

判定2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形；

判定3：有两组角对应相等的三角形是相似三角形.

以上也是坐标系中相似三角形存在性问题的方法来源，根据题目给的已知条件选择恰当的判定方

法，解决问题.

2.思路总结：

根据相似三角形的做题经验，可以发现，判定1基本是不会用的，这里也一样不怎么用，对比判

定2、3可以发现，都有角相等！

所以，要证相似的两个三角形必然有相等角，关键点也是先找到一组相等角.

然后再找：

思路1：两相等角的两边对应成比例；

思路2：还存在另一组角相等.

事实上，坐标系中在已知点的情况下，线段长度比角的大小更容易表示，因此选择方法可优先考

虑思路1.

【小结】搞定相似存在性问题，需解决好以下两个问题：

一、如何得到相等角？

二、如何构造两边成比例或者得到第二组角？

经典例题

【例1】如图，抛物线y=or2+fer+c与x轴交于点A(・1,0),点3(3,0),与y轴交于点C,且

过点0(2,-3).点。是抛物线广加+bx+c上的动点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图2,直线OQ与线段3C相交于点£当与△ABC相似时，求点。的坐标.

【例2】如图，已知抛物线丫="2-2》+。经过448。的三个顶点，其中点A(0,1),

点B(9,10),4C〃x轴.

(1)求这条抛物线的解析式；

(2)求31/ABC的值；

(3)若点。为抛物线的顶点，点E是直线4c上一点，当△COE与△ABC相似时，求点E的坐标.

【例3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线、=0^+法+。经过A(-1,O),B(4,0),C(0,4)三点.

(1)求抛物线的解析式及顶点。的坐标；

(2)点P为线段6c上一动点(点尸不与点8,C重合)，过点P作x轴的垂线交(1)中的抛物线

于点。，当APQC与A4BC相似时，求APQC的面积.

【例4】如图，已知抛物线yngf+bx+c与直线y='x+3交于A、B两点，交x轴于C、0两点,

连接AC、BC,已知A(0,3),C(-3,0).

(1)求此抛物线的解析式；

(2)在抛物线对称轴/上找一点M,使1"8一帅1的值最大，并求出这个最大值；

(3)点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接以，过点尸作P。，以交y轴于点Q,问：是否存在点

P，使得以A、P、。为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；

若不存在，请说明理由.

【例5】如图，在平面直角坐标系xO)，中，已知二次函数y=ox2+"+c的图像经过点A(-2,0),C

(0,-6),其对称轴为直线42.

(1)求该二次函数的解析式；

(2)点B是该二次函图像与x轴的另一个交点，点力是直线产2上位于x轴下方的动点，点E是第

四象限内该二次函数图像上的动点，且位于直线x=2右侧.若以点E为直角顶点的△8EO与aAOC

相似，求点E的坐标.

【例6】抛物线L：y=-f+法+c经过点A(0,1),与它的对称轴直线产1交于点B.

(1)直接写出抛物线L的解析式；

(2)如图，将抛物线L向上平移m(m>0)个单位长度得到抛物线L,,抛物线A,与y轴交于点C,

过点C作y轴的垂线交抛物线右于另一点D.F为抛物线L,的对称轴与x轴的交点，P为线段

OC上一点.若△PC。与相似，并且符合条件的点尸恰有2个，求，"的值及相应点P

的坐标.

[例1]

(1)抛物线：y=X2-2x-3；

(2)思路：考虑到aABC和ABOE有一组公共角，公共角必是对应角.

NA3C的两边A4、3c与N03E的两边5。、BE成比例即可，故可得:

BEBA少BEBC

——=——或——=——•

BOBCBOBA

L9L

解得：BE=2夜或3七==0,

4

故E点坐标为(1,-2)或弓,-0

当E点坐标为(1,-2)时，直线0E解析式为y=-2x,

联立方程：一2%=/一2X一3,解得：玉二百，x2=-\/3,

此时。点坐标为(△-2百)或(-瓜2月；

当E点坐标为时，直线OE解析式为y=-3x,

联立方程：—3工二/一2%一3,解得：x}=—，“2=―-

此时。点坐标为一三一,一三一或一三一,一三一

[22)[22J

说明：过程应详细分类讨论两种情况，分别求出结果.

【例2】

（1）y=—x2-2x+l；

3

（2）tanZABC=-;

2

（3）思路：平行得相等角，构造两边成比例

若点。为抛物线的顶点，则。点坐标为（3,-2）,

直线CD解析式为：＞

又直线AB解析式为：y=x+9,

故C£）〃A8,：.ZBAC=ZACD,

故点£在点C左侧，

考虑NBAC的两边AB、AC与CE、CO成比例:

CDAC—CDAB

——=——或——=——

CEABCEAC

解得：CE=9或2,

故E点坐标为（-3,1）或（4,1）.

【例3】

⑴解析式：y=-£+3x+4；。点坐标为（|曰.

（2）由8、C两点坐标易求直线BC解析式：y=-x+4,

不难得出NCPQ=NBCO=NOBC,即在△CPQ和/XABC中，NCPQ=NABC.

接下来求角两边对应成比例：

表示点：设尸点坐标为（m,-m+4）（0＜机＜4）,则。点坐标为（犯-nr+3帆+4）,

表示线段：PC=,PQ=—nr+4m,

分类讨论

情况一：当△CPQsaABC时，则包=丝，

ABBC

代入得：皿=-而*,解得：叫=口，啊=0（舍），

54夜”5一

对应P点坐标为（上上［，PQ=—,

I55；25

011296576

“82525125

情况二：当△CPQsaCBA时，则色=丝，

CBBA

/心v2w-/n2+4m切出11八/人、

代入得：—尸=--------,解得：叫=一,mA=0（舍）,

4五5544

对应尸点坐标为（工口，PQ=—,

（416

c11155605

aPCQ2416128

综上所述，当APQC与AABC相似时，△PQC的面积为——或；.

125128

【例4】

(1)解析式：y=—x2+—x+3；

•22

(2)连接MC,则MC=M£>,故问题可转化为的最大值.

如图当8、C、M三点共线时，|MB-MC|=8C=0为最大值.

(3)思路：已知直角构造直角边成比例，化斜为直

考虑到A(0,3)、C(-3,0)、B(-4,1),

易得aABC是直角三角形，ZACB=90°,且两直角边之比二=3,

BC

若△APQ与△ABC相似，则竺=3或竺=L

PQPQ3

考虑到AP、PQ均为斜线，并不容易表示，可转化比例：

过点P作轴交y轴于”点，则一=—

PQHP

表示点：设尸点坐标为("4疗+’+3)(w>0),则H点坐标为+1+3

表示线段：AH=—m2+—m,PH=m

22

分类讨论：

情况一：当"=3时，即也=3,

PQHP

125

由题意得：Z———=3,解得：m=\,

m

对应的P点坐标为(1,6).

情况二：当"=_L时，即必=J_,

PQ3HP3

125

由题意得：——2-=-,解得：〃?=一"（舍）.

in33

综上所述，P点坐标为（1,6）.

【例5】

（1）解析式：y=—x2-2x-6；

2

（2）考虑到N3£Q=90°=ZAOC,故只需再满足有一组锐角相等即可.

情况一：当N8DE=NC4。时，即tanNBZ）E=tanNG4O二'，

3

如图，构造三垂直相似：丛DNEsAEMB,相似比为DF~=上1，

BE3

12,

设E点坐标为『外耳苏-2m-6卜则硒=〃2-2,BM=——"i"+2m4-6，

2

考虑至IJ包FN=D2F=上1，即m-2

]二­，

BMBE3——m2+2m+63

2

解得：町=4,^=-6（舍）,

故E点坐标为（4,-6）.

情况二：当/BDE=NAC。时，即tanZBDE=tanZACO=-,

3

如图，构造三垂直相似：ADNEsWMB,相似比——=3,

EB

同上设点E坐标为-2m-6^j,则EN=〃?-2,BM=-g病+2机+6,

tn-2

考虑至喘喘=3,即=3,

1,、一:

-m+2m+o

2

解得…卡5-V145

（舍）,

S+V1451-V145"

・・・E点坐标为

39J

5+V1451-

综上所述，E点坐标为（4,・6）或

-3-'一

【例6】

（1）解析式：y=-x2+2x+1；

（2）题目要求恰好有2个P点，且是求〃，的值，所以一定是个特殊位置.

考虑到NOCP=/FOP,故有两种对应关系：

①若△DCPs/\FOP,

无论m为何值，有且仅有一个这样的P点使得△QCPS/\FOP.

②老△DCPsWOF,

不难求得NQPF=90°,

作辅助圆：连接。